积分（Edexcel IAL P2）

Q: 我需要为Edexcel IAL P2考试背诵梯形法则的公式吗？

不需要，梯形法则的公式会在考试公式手册中提供。你只需要记住如何正确代入数值并解读结果即可。

Q: 计算面积时如果曲线下探到x轴下方会发生什么？

如果在区间到内，积分会得到负值。你必须取该积分的绝对值，才能得到x轴下方区域的正面积。

Edexcel 国际A-Level 数学· 2018 Specification Issue 3, WMA12 Unit P2 §8.1-8.3· 25 分钟阅读

1. 求解定积分★★☆☆☆⏱ 7 min

✓ 计算器

📘 定义

定积分求值

要求解定积分 $\int_{a}^{b} f (x) d x$ ，首先求出 $f (x)$ 的原函数 $F (x)$ ，再计算 $F (b) - F (a)$ 。积分常数会抵消，因此定积分中可以省略它。

定积分是P2积分所有面积计算题型的基础。即使你用计算器验证最终答案，也需要完整写出上下限代入的过程。

📐 例题

求解定积分 $\int_{1}^{3} (3 x^{2} - 4 x + 2) d x$

1
对被积函数的每一项关于 $x$ 积分：
$F(x) = x^3 - 2x^2 + 2x$
2
将上限 $x = 3$ 代入 $F (x)$ ：
$F(3) = 3^3 - 2(3)^2 + 2(3) = 27 - 18 + 6 = 15$
3
将下限 $x = 1$ 代入 $F (x)$ ：
$F(1) = 1^3 - 2(1)^2 + 2(1) = 1 - 2 + 2 = 1$
4
用上限结果减去下限结果：
$\int_1^3 (3x^2 -4x +2) dx = F(3) - F(1) = 15 - 1 = 14$

Exam tip:

作答时务必明确写出 $F (b) - F (a)$ 这一行：几乎所有定积分题中，即使最终答案错误，这一步也能拿到1个方法分。

2. 使用积分计算面积★★★☆☆⏱ 10 min

✓ 计算器

📘 定义

面积计算规则

当 $x = a$ 到 $x = b$ 之间 $y \geq 0$ 时的曲线下面积： $A = \int_{a}^{b} f (x) d x$ ；2. $x = a$ 到 $x = b$ 之间两条曲线的面积： $A = \int_{a}^{b} (f_{u pp er} (x) - f_{l o w er} (x)) d x$

📐 例题

求由曲线 $y = 6 x - x^{2}$ 和直线 $y = 2 x$ 围成的区域的精确面积

1
求两个函数交点的x坐标，得到积分上下限：
$6x - x^2 = 2x \implies x^2 -4x = 0 \implies x(x-4)=0 \implies x=0, x=4$
2
确定 $x = 0$ 到 $x = 4$ 之间的上函数（二次曲线）和下函数（直线），因此被积函数为上函数减下函数：
$f_{upper} - f_{lower} = (6x - x^2) - 2x = 4x - x^2$
3
对得到的表达式积分：
$F(x) = 2x^2 - \frac{x^3}{3}$
4
在 $0$ 到 $4$ 之间求定积分：
$\int_0^4 (4x -x^2) dx = F(4) - F(0) = \left(2(4)^2 - \frac{4^3}{3}\right) - 0 = 32 - \frac{64}{3} = \frac{32}{3}$
5
精确面积为 $\frac{32}{3}$ 平方单位。

Exam tip:

如果你不确定哪个是上函数，或者函数在上下限之间交叉，就画一张标注清楚的草图，确定哪里需要拆分积分。

3. 梯形法则★★★☆☆⏱ 8 min

✓ 计算器

📘 定义

梯形法则

当无法求出精确原函数时，用于近似定积分值的数值方法。公式在考试手册中提供： $\int_{a}^{b} y d x \approx \frac{1}{2} h {(y_{0} + y_{n}) + 2 (y_{1} + ... + y_{n - 1})}$ ，其中 $h = \frac{b - a}{n}$ ， $n$ 为条带数。

增加条带数会减小每个梯形的宽度，得到更准确的估计值。如果曲线向上凹，梯形法则会高估面积；如果曲线向下凹，梯形法则会低估面积。

📐 例题

使用4个条带的梯形法则近似 $\int_{0}^{1} (2^{x} + 1) d x$ ，结果保留三位有效数字。

1
计算每个条带的宽度 $h$ ，其中 $a = 0$ ， $b = 1$ ， $n = 4$ 个条带：
$h = \frac{b-a}{n} = \frac{1-0}{4} = 0.25$
2
在 $0$ 到 $1$ 之间以0.25为增量，计算每个 $x$ 处 $y = 2^{x} + 1$ 的值：
$y_0 = 2^0 +1 = 2, y_1 = 2^{0.25}+1 \approx 2.1892, y_2 = 2^{0.5}+1 \approx 2.4142, y_3=2^{0.75}+1≈2.6818, y_4=2^1+1=3$
3
代入梯形法则公式：
$\int_0^1 y dx \approx 0.5h\left\{(y_0 + y_4) + 2(y_1 + y_2 + y_3)\right\}$
4
代入数值：
$\approx 0.5 \times 0.25 \times \left\{(2+3) + 2(2.1892 + 2.4142 + 2.6818)\right\} = 0.125 \times (5 + 14.5704) = 0.125 \times 19.5704 ≈ 2.45$
5
积分的近似值为 $2.45$ （三位有效数字）。

Exam tip:

对于 $n$ 个条带，务必确认你有 $n + 1$ 个y值：常见错误是漏掉最后的 $y_{n}$ 值，或者把条带数当成y值的数量。

4. 常见陷阱

错误做法:

求解定积分时加上积分常数(+C)

原因:

上下限相减时常数会抵消，加入它是多余的，还可能导致计算错误

正确做法:

所有定积分计算都省略积分常数

错误做法:

计算两曲线间面积时用上函数减去下函数的顺序颠倒

原因:

即使面积恒为正，这样也会得到负值

正确做法:

始终用下函数减去上函数的反序，或者对积分结果取绝对值

错误做法:

梯形法则中把条带数 $n$ 当成y值的数量

原因:

$n$ 个条带会产生 $n + 1$ 个y值（ $y_{0}$ 到 $y_{n}$ ），标注错误会导致公式中少项或多项

正确做法:

y值的数量为 $n + 1$ ，其中 $n$ 是题目指定的条带数

错误做法:

曲线下探到x轴下方时忘记对积分取绝对值

原因:

负函数的积分是负值，这样会错误地减去面积而不是累加

正确做法:

在x轴截距处拆分积分，对 $f (x) < 0$ 的区域的积分取绝对值，再将所有正面积相加

错误做法:

梯形法则中计算 $h$ 为 $\frac{b - a}{n + 1}$ 而不是 $\frac{b - a}{n}$

原因:

这会得到错误的条带宽度，导致最终近似值误差很大

正确做法:

按以下方式计算条带宽度 $h$ ： $h = \frac{上限 - 下限}{条带数}$

5. 速查表

概念	公式/规则	关键提示
定积分求值	$\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$ , $F^{'} (x) = f (x)$	不需要积分常数；用上限结果减去下限结果
曲线下面积（ $y \geq 0$ ）	$A = \int_{a}^{b} f (x) d x$	对于 $f (x) < 0$ 的区域，对积分取绝对值
两曲线间面积	$A = \int_{a}^{b} [f_{u pp er} (x) - f_{l o w er} (x)] d x$	求曲线交点得到上下限 $a$ 和 $b$
梯形法则	$\int_{a}^{b} y d x \approx \frac{1}{2} h {(y_{0} + y_{n}) + 2 (y_{1} + ... + y_{n - 1})}, h = \frac{b - a}{n}$	$n$ = 条带数；条带越多精度越高

6. 常见问题

我需要为Edexcel IAL P2考试背诵梯形法则的公式吗？

不需要，梯形法则的公式会在考试公式手册中提供。你只需要记住如何正确代入数值并解读结果即可。

计算面积时如果曲线下探到x轴下方会发生什么？

如果在区间 $a$ 到 $b$ 内 $f (x) < 0$ ，积分会得到负值。你必须取该积分的绝对值，才能得到x轴下方区域的正面积。

深入阅读

official_syllabusEdexcel IAL 数学 P2 考纲积分相关内容请参考第36页

下一步

掌握这些P2积分技能是你后续学习纯数学3（P3）和纯数学4（P4）中更进阶积分技巧的关键基础，包括三角函数、指数函数和倒数函数的积分，以及换元积分法、分部积分法和部分分式积分法。你还会在P4的旋转体体积问题中用到这些面积计算技能。在即将到来的P2考试中，务必练习将积分与其他P2主题（如坐标几何和求导）结合的历年真题，这类题型是常见的高分值题型。即使你用计算器验证最终答案，也要写出所有步骤，尽可能拿到所有方法分。