# 微分的应用（Edexcel IAL P2）

> Edexcel 国际A-Level 数学 · IAL P2 数学
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-math-p2-differentiation/

本指南涵盖Edexcel IAL 纯数学2（P2）要求的所有微分应用内容，包括驻点、极大值/极小值分类、曲线绘图和实际优化问题。默认你已经掌握P1的基础多项式微分知识。

**先修:** [多项式函数的基础微分](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-math-p1-differentiation/); [二阶导数的计算](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-math-p1-differentiation/)

## 学习目标

- 利用一阶导数区分增函数与减函数
- 使用一阶和二阶导数测试定位并分类驻点（极大值、极小值）
- 利用驻点、截距和终态行为绘制多项式曲线
- 利用极大值/极小值技巧求解基于实际场景的优化问题

## 增函数与减函数

如果一个函数在某区间内的一阶导数对所有$x$都非负（$f'(x) \geq 0$），则称该函数在该区间上递增；若$f'(x) > 0$则为严格递增。若$f'(x) \leq 0$则函数递减，若$f'(x) < 0$则为严格递减。这是P2考试中常见的3-4分证明题。

**增/减函数** — 对于定义在区间$[a,b]$上的$f(x)$：1. 增函数：对所有$x \in (a,b)$，$f'(x) \geq 0$；2. 减函数：对所有$x \in (a,b)$，$f'(x) \leq 0$

*例:* $f(x) = x^3 + 2x$对所有实数$x$严格递增，因为对所有$x$都有$f'(x) = 3x^2 + 2 > 0$。

**例题:** 证明$f(x) = 2x^3 + 5x - 1$对所有实数$x$严格递增。

1. 使用P1幂法则计算一阶导数：

   $$f'(x) = 6x^2 + 5$$
2. 分析$f'(x)$的符号：对所有实数$x$，$x^2 \geq 0$，因此$6x^2 \geq 0$，即对所有$x$都有$6x^2 + 5 \geq 5 > 0$。
3. 得出结论：由于对所有实数$x$都有$f'(x) > 0$，因此$f(x)$对所有实数$x$严格递增。

> **考试提示:** 证明题要拿到满分，你必须明确说明一阶导数在区间内所有取值的符号，不能只陈述它是正/负的。

*计算器:* allowed

## 驻点与分类

驻点出现在$f'(x) = 0$处，意味着曲线的切线是水平的。P2中常见的两类驻点是局部极大值（峰值）和局部极小值（谷值）。你可以使用一阶导数测试（检查点附近$f'(x)$的符号变化）或者更快捷的二阶导数测试来对它们分类。

**驻点** — 曲线$y=f(x)$上梯度为零、切线水平的点。

*记法:* $f'(c) = 0$ at $x=c$

*例:* $f(x) = x^2$在$x=0$处有一个极小值驻点，此处$f'(0) = 0$。

**例题:** 求并分类$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$的驻点。

1. 计算一阶导数并令其等于零，求出驻点的x值：

   $$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 0 \\ 3(x^2 - 4x + 3) = 0 \\ 3(x-1)(x-3) = 0 \\ x = 1 \text{ or } x=3$$
2. 计算用于分类的二阶导数：

   $$f''(x) = 6x - 12$$
3. 在每个驻点处计算$f''(x)$：对于$x=1$，$f''(1) = 6(1) - 12 = -6 < 0$，因此这是一个局部极大值；对于$x=3$，$f''(3) = 6(3) - 12 = 6 > 0$，因此这是一个局部极小值。
4. 计算对应的y值：极大值点为$(1, 6)$，极小值点为$(3, 2)$。

> **tip**
>
> 如果$f''(c) = 0$，二阶导数测试无法得出结论。请使用一阶导数测试：检查$x=c$左右附近的$f'(x)$。符号从正变负为极大值，从负变正为极小值，无符号变化则为驻点拐点。

*计算器:* allowed

## 利用微分绘制曲线

要绘制多项式曲线，需要结合微分得到的信息（驻点和分类）与基础坐标几何知识（截距、终态行为）。这是P2考试中常见的4-6分题目，不需要完全按比例绘图，只需要形状正确、关键点标注清晰即可。

1. 令$x=0$求y轴截距
2. 令$y=0$求解多项式方程，得到x轴截距
3. 用微分求出所有驻点并分类
4. 确定终态行为：对于最高次项$ax^n$，若$a>0$，当$x \to +\infty$时$y \to +\infty$；若$n$为偶数，当$x \to -\infty$时$y \to +\infty$，若$n$为奇数则$y \to -\infty$。若$a<0$则所有趋势反转。
5. 标出所有关键点，绘制一条穿过这些点的平滑曲线。

**例题:** 绘制曲线$y = x^3 - 3x^2 - 4x$，标注所有截距和驻点。

1. 求y轴截距：令$x=0$，得$y=0$，截距为$(0,0)$。
2. 求x轴截距：令$y=0$并因式分解：

   $$x^3 - 3x^2 - 4x = 0 \\ x(x-4)(x+1) = 0 \\ x = -1, 0, 4$$
3. 求驻点：计算一阶导数并求解$f'(x)=0$：

   $$f'(x) = 3x^2 -6x -4 = 0 \\ x = \frac{6 \pm \sqrt{84}}{6} \approx 2.53 \text{ and } -0.527$$
4. 用二阶导数分类：$f''(x) = 6x -6$。$x=-0.527$是极大值点（y≈1.13），$x=2.53$是极小值点（y≈-13.13）。
5. 终态行为：$x^3$项系数为正，因此当$x \to +\infty$时$y \to +\infty$，当$x \to -\infty$时$y \to -\infty$。标出所有标注好的点，绘制平滑曲线。

> **考试提示:** 即使曲线形状正确，如果没有在草图上标注所有截距和驻点坐标，你也会被扣分。

*计算器:* allowed

## 实际优化问题

优化问题要求你在给定约束下，求现实世界中某个量的最大值或最小值（例如盒子的体积、材料的成本）。你首先需要推导出待优化量关于单个变量的函数，再使用驻点技巧求出所需值。

**优化** — 在给定场景约束下求函数最大值或最小值的过程，是P2微分类题目中分值占比最高的题型之一。

*例:* 求用固定尺寸的硬纸板制作的无盖盒子的最大体积。

**例题:** 用一块20cm×20cm的正方形硬纸板，在每个角剪去边长为$x$ cm的正方形后折起四边，制作一个无盖长方体盒子。求盒子的最大可能体积，以及对应的$x$值。

1. 推导体积函数：剪去边长为$x$的正方形后，底面尺寸为$(20 - 2x)$ cm，高为$x$ cm。体积$V$为：

   $$V(x) = x(20 - 2x)^2 = 4x^3 - 80x^2 + 400x$$
2. 定义有效定义域：$x > 0$且$20 - 2x > 0$，因此$0 < x < 10$。
3. 对$V(x)$求导并令其等于零，求出驻点：

   $$V'(x) = 12x^2 - 160x + 400 = 0 \\ 3x^2 - 40x + 100 = 0 \\ (3x - 10)(x - 10) = 0 \\ x = \frac{10}{3} \text{ or } x=10$$
4. 舍去$x=10$（超出有效定义域）。用二阶导数对剩余点分类：

   $$V''(x) = 24x - 160 \\ V''(10/3) = 80 - 160 = -80 < 0 \\ \text{So this is a maximum point}.$$
5. 计算最大体积：$V(10/3) = 16000/27 \approx 592.6$ 立方厘米。结论：当$x=10/3$ cm时，最大体积为16000/27 立方厘米。

> **考试提示:** 务必根据场景说明变量的定义域，并且明确对驻点进行分类，确认你求出的是最大值/最小值，而不是任意一个驻点。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 证明函数递增/递减时没有说明$f'(x)$的符号
  - 原因: 考官要求你明确证明导数在区间内没有符号变化，而不是仅陈述它的符号。
  - 正确做法: 说明导数的所有项都是非负/非正、没有符号变化，以此证明你的结论。
- **错误做法:** 假设$f''(c) = 0$就意味着驻点是拐点
  - 原因: 当$f''(c)=0$时二阶导数测试无法得出结论，该点仍可能是极大值或极小值。
  - 正确做法: 使用一阶导数测试检查$x=c$紧邻两侧的$f'(x)$的符号变化，以此对该点分类。
- **错误做法:** 优化问题中没有舍去无效的驻点
  - 原因: 场景约束（例如长度不能为负）可能会让$f'(x)=0$的部分解不成立。
  - 正确做法: 首先定义变量的有效定义域，在分类之前排除所有超出该定义域的驻点。
- **错误做法:** 场景类问题中忘记计算实际的优化后量（例如体积）
  - 原因: 题目要求的是最大值/最小值，而不仅仅是驻点的x坐标。
  - 正确做法: 将驻点的x值代回原函数，最终答案带上单位。
- **错误做法:** 绘制曲线时跳过驻点分类
  - 原因: 即使你求出了正确的x值，如果把极大值画成极小值或者反过来，你也会被扣分。
  - 正确做法: 在绘制曲线之前，使用一阶或二阶导数测试对每个驻点进行分类。

## 速查表

| 任务 | 方法 | 关键检查 |
| --- | --- | --- |
| 识别增/减函数 | 计算$f'(x)$，检查区间内的符号 | $f'(x) \geq 0$ 为增函数；$f'(x) \leq 0$ 为减函数 |
| 求驻点 | 解方程$f'(x) = 0$求$x$ | 检查解是否符合给定场景 |
| （快速）分类驻点 | 使用二阶导数测试：$f''(c) < 0$ 为极大值；$f''(c) > 0$ 为极小值 | 若$f''(c) = 0$，使用一阶导数符号变化测试 |
| 绘制多项式曲线 | 求截距、驻点、终态行为 | 在草图上清晰标注所有关键点 |
| 求解优化问题 | 推导单变量函数，求驻点并分类 | 最终答案带上单位和场景说明 |

## 下一步

掌握P2微分应用后，你可以继续学习纯数学3中的高级微分技巧，包括链式法则、乘积法则、商法则，以及三角函数、指数函数和对数函数的微分。你也应该用P2的往年真题练习这些技能，熟悉考试的表述方式和评分标准，因为优化和曲线绘图题的分值一直很高。在学习P3内容之前，请确保你完全掌握P1的基础微分，因为所有高级微分技巧都建立在这个基础技能之上。这些应用也经常和P1的坐标几何结合出高分值考题，因此复习该专题能帮助你高效解决更复杂的题目。

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