(x, y) 平面中的坐标几何

Q: Edexcel IAL P2的公式手册中提供圆的方程吗？

不提供，你必须熟记标准形式，并且掌握通过配方法将一般形式转换为标准形式以求解圆心和半径的方法。

Edexcel 国际A-Level 数学· 2018 Specification (Issue 3, P2 §3.1)· 45 分钟阅读

1. 圆方程的标准形式与一般形式★★☆☆☆⏱ 10 min

✓ 计算器

圆的标准方程由圆心 $(a, b)$ 和圆周上任意点 $(x, y)$ 之间的距离公式推导而来，可以直接得到圆的圆心和半径。

📘 定义

圆方程的标准形式

(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2

圆心坐标为 $(a, b)$ 、半径为 $r$ （ $r > 0$ ）的圆的方程。

圆的一般形式由标准形式展开得到。要从一般形式中得到圆心和半径，你需要对 $x$ 项和 $y$ 项分别进行配方。

📘 定义

圆方程的一般形式

x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0

圆方程的展开形式，圆心为 $(- g, - f)$ ，半径为 $\sqrt (g^{2} + f^{2} - c)$ ，其中 $g^{2} + f^{2} > c$ 。

📐 例题

求方程为 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y - 12 = 0$ 的圆的圆心和半径。

1
将 $x$ 项、 $y$ 项分别合并，把常数项移到等号右侧。
$x^2 - 4x + y^2 + 6y = 12$
2
对 $x$ 项和 $y$ 项分别配方，将得到的平方常数同时加到等号两侧。
$(x^2 -4x +4) + (y^2 +6y +9) = 12 + 4 + 9$
3
将方程改写为标准形式。
$(x-2)^2 + (y+3)^2 = 25$
4
识别圆心和半径：圆心为 $(2, - 3)$ ，半径为 $\sqrt25 = 5$ 。

Exam tip:

务必验证你得到的半径为正值；如果根号下得到负数，说明你在整理项时出现了算术错误。

2. 性质1：半圆内的圆周角为直角★★★☆☆⏱ 10 min

✓ 计算器

如果圆上两点构成直径，那么该直径在圆周上任意第三点处所对的角为90°。这意味着连接第三点与直径两端点的两条直线互相垂直，它们的斜率乘积为-1。

📐 例题

点 $A (- 2, 1)$ 和 $B (4, 9)$ 构成一个圆的直径，点 $C (1, 10)$ 位于圆周上，证明角 $A C B$ 是直角。

1
计算直线 $A C$ 的斜率。
$m_{AC} = \frac{10 - 1}{1 - (-2)} = \frac{9}{3} = 3$
2
计算直线 $B C$ 的斜率。
$m_{BC} = \frac{10 - 9}{1 - 4} = -\frac{1}{3}$
3
验证斜率的乘积是否等于-1（垂直直线的性质）。
$m_{AC} \times m_{BC} = 3 \times -\frac{1}{3} = -1$
4
由于直线 $A C$ 和 $B C$ 互相垂直，因此角 $A C B = 9 0^{\circ}$ ，符合要求。

Exam tip:

该性质常被用于验证三个点是否位于以给定线段为直径的圆上，或者求解圆周上某点的未知坐标。

3. 性质2：圆心到弦的垂线平分该弦★★★☆☆⏱ 10 min

✓ 计算器

连接圆心和弦中点的直线始终与弦垂直。这意味着弦中点位于这条垂线上，弦和该垂线的斜率乘积为-1。

📐 例题

一个圆的圆心为 $(3, 2)$ ，该圆的一条弦的端点为 $(0, 5)$ 和 $(6, 5)$ ，证明从圆心到弦中点的直线与弦垂直。

1
求弦的中点。
$Midpoint = \left( \frac{0+6}{2}, \frac{5+5}{2} \right) = (3, 5)$
2
计算弦的斜率。
$m_{chord} = \frac{5 - 5}{6 - 0} = 0$ (水平线)$
3
计算连接圆心 $(3, 2)$ 和弦中点 $(3, 5)$ 的直线的斜率。
$m_{line} = \frac{5 - 2}{3 - 3} = \text{undefined (垂直线)}$
4
水平线和垂直线按定义互相垂直，因此该性质成立。

Exam tip:

当已知弦的两个端点和圆周上的第三个点时，该性质常被用于求解圆的圆心。

4. 性质3：切点处的半径与切线互相垂直★★★★☆⏱ 12 min

✓ 计算器

从圆心向切线与圆的接触点（切点）引出的半径始终与切线垂直。切线的斜率是该半径斜率的负倒数。

📐 例题

已知圆的方程为 $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 25$ ，求该圆在点 $(4, 2)$ 处的切线方程，结果以 $a x + b y + c = 0$ 的形式给出，其中 $a, b, c$ 均为整数。

1
从标准方程中识别圆的圆心： $(1, - 2)$ 。
2
计算连接圆心和切点的半径的斜率。
$m_{radius} = \frac{2 - (-2)}{4 - 1} = \frac{4}{3}$
3
求切线的斜率（半径斜率的负倒数）。
$m_{tangent} = -\frac{3}{4}$
4
使用切点 $(4, 2)$ 代入点斜式直线方程。
$y - 2 = -\frac{3}{4}(x - 4)$
5
整理为要求的整数形式。
$4(y - 2) = -3(x - 4) \\ 4y - 8 = -3x + 12 \\ 3x + 4y - 20 = 0$

Exam tip:

务必将切点代入最终得到的切线方程进行验证，避免整理项时出现符号错误。

5. 常见陷阱

错误做法:

误以为一般形式 $x^{2} + y^{2} + 2 g x + 2 f y + c = 0$ 的圆心是 $(g, f)$ 而非 $(- g, - f)$ 。

原因:

一般形式是从 $(x + g)^{2} + (y + f)^{2} = g^{2} + f^{2} - c$ 展开得到的，因此圆心坐标的符号是翻转的。

正确做法:

如果你对记忆的一般形式系数规则不确定，通过配方法验证圆心坐标。

错误做法:

从半径斜率计算切线斜率时使用正倒数而非负倒数。

原因:

互相垂直的直线斜率乘积为-1，而非1。

正确做法:

在写出直线方程之前，先将半径斜率和切线斜率相乘，确认结果等于-1。

错误做法:

配方法时忘记将平方常数加到等号右侧。

原因:

配方法会改变等号左侧的表达式，因此你必须在右侧加上相同的值以保持等式成立。

正确做法:

在等号左侧写出你添加的平方常数，然后立即在右侧也加上该值。

错误做法:

将半圆直角性质应用于圆上任意两点，而非仅直径的两个端点。

原因:

只有当两点构成圆的直径时，对应的圆周角才是直角。

正确做法:

在应用该性质之前，先确认这两个点被指定为直径，或者它们的中点与圆心重合。

错误做法:

写切线方程时使用圆心而非切点作为直线上的点。

原因:

切线仅在切点处与圆接触，不会经过圆心。

正确做法:

将切点代入最终的切线方程，验证结果是否正确。

6. 速查表

概念	公式/性质	考试应用场景
圆的标准方程	$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$	直接得到圆心 $(a, b)$ 和半径 $r$
圆的一般方程	$x^{2} + y^{2} + 2 g x + 2 f y + c = 0$	通过配方法转换为标准形式
半圆角度性质	直径两端点到圆上第三点的连线斜率乘积为-1	证明直角、求解圆上未知点
弦的垂直平分线	圆心到弦中点的连线与弦垂直	求圆心坐标、求弦中点
切线性质	切点处的半径与切线互相垂直	求圆上给定点处的切线方程

7. 常见问题

Edexcel IAL P2的公式手册中提供圆的方程吗？

不提供，你必须熟记标准形式 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ ，并且掌握通过配方法将一般形式转换为标准形式以求解圆心和半径的方法。

本主题中可以使用直线坐标几何的相关规则吗？

可以，P1中的直线性质（斜率计算、垂直线斜率关系、点斜式直线方程）属于已要求掌握的前置知识，在圆相关问题中经常用到。

深入阅读

official_resourceEdexcel IAL 数学 P2 大纲参考第3.1节获取官方主题指导

下一步

在掌握Edexcel IAL P2的圆坐标几何内容后，你就可以将这些技能应用到结合了圆性质、代数运算和三角函数的跨主题考试综合题中。本主题经常出现在6-8分的大题中，因此练习往年真题对于提升解题速度、避免常见算术错误至关重要。P2考试仅要求本指南覆盖的内容，一般圆锥曲线属于进阶数学的范畴，P2不做要求。在开始练习完整的往年真题之前，请确保你可以不借助笔记回忆起全部三条圆性质，并且能在一般形式和标准形式之间自由转换。