# (x, y) 平面中的坐标几何

> Edexcel 国际A-Level 数学 · IAL P2 数学
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-math-p2-coordinate-geometry-in-the-plane/

本指南涵盖Edexcel IAL P2中$(x,y)$平面内圆的所有坐标几何内容，包括圆的标准方程与一般方程、核心圆性质以及考试题型求解方法。

**先修:** [二次表达式的配方法](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-math-p1-completing-the-square/); [直线坐标几何（斜率、垂线、直线方程）](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-math-p1-straight-line-coordinate-geometry/)

## 学习目标

- 推导并在标准形式和一般形式之间转换圆方程
- 从任意给定的圆方程中识别圆心和半径
- 应用三大核心圆性质解答考试风格题目
- 计算(x,y)平面内圆的切线方程、弦中点和半圆角度

## 圆方程的标准形式与一般形式

圆的标准方程由圆心$(a,b)$和圆周上任意点$(x,y)$之间的距离公式推导而来，可以直接得到圆的圆心和半径。

**圆方程的标准形式** — 圆心坐标为$(a,b)$、半径为$r$（$r>0$）的圆的方程。

*记法:* (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2

圆的一般形式由标准形式展开得到。要从一般形式中得到圆心和半径，你需要对$x$项和$y$项分别进行配方。

**圆方程的一般形式** — 圆方程的展开形式，圆心为$(-g, -f)$，半径为$√(g^2 + f^2 - c)$，其中$g^2 + f^2 > c$。

*记法:* x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0

**例题:** 求方程为$x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$的圆的圆心和半径。

1. 将$x$项、$y$项分别合并，把常数项移到等号右侧。

   $$x^2 - 4x + y^2 + 6y = 12$$
2. 对$x$项和$y$项分别配方，将得到的平方常数同时加到等号两侧。

   $$(x^2 -4x +4) + (y^2 +6y +9) = 12 + 4 + 9$$
3. 将方程改写为标准形式。

   $$(x-2)^2 + (y+3)^2 = 25$$
4. 识别圆心和半径：圆心为$(2, -3)$，半径为$√25 = 5$。

> **考试提示:** 务必验证你得到的半径为正值；如果根号下得到负数，说明你在整理项时出现了算术错误。

*计算器:* allowed

## 性质1：半圆内的圆周角为直角

如果圆上两点构成直径，那么该直径在圆周上任意第三点处所对的角为90°。这意味着连接第三点与直径两端点的两条直线互相垂直，它们的斜率乘积为-1。

**例题:** 点$A(-2, 1)$和$B(4, 9)$构成一个圆的直径，点$C(1, 10)$位于圆周上，证明角$ACB$是直角。

1. 计算直线$AC$的斜率。

   $$m_{AC} = \frac{10 - 1}{1 - (-2)} = \frac{9}{3} = 3$$
2. 计算直线$BC$的斜率。

   $$m_{BC} = \frac{10 - 9}{1 - 4} = -\frac{1}{3}$$
3. 验证斜率的乘积是否等于-1（垂直直线的性质）。

   $$m_{AC} \times m_{BC} = 3 \times -\frac{1}{3} = -1$$
4. 由于直线$AC$和$BC$互相垂直，因此角$ACB = 90^\circ$，符合要求。

> **考试提示:** 该性质常被用于验证三个点是否位于以给定线段为直径的圆上，或者求解圆周上某点的未知坐标。

*计算器:* allowed

## 性质2：圆心到弦的垂线平分该弦

连接圆心和弦中点的直线始终与弦垂直。这意味着弦中点位于这条垂线上，弦和该垂线的斜率乘积为-1。

**例题:** 一个圆的圆心为$(3, 2)$，该圆的一条弦的端点为$(0, 5)$和$(6, 5)$，证明从圆心到弦中点的直线与弦垂直。

1. 求弦的中点。

   $$Midpoint = \left( \frac{0+6}{2}, \frac{5+5}{2} \right) = (3, 5)$$
2. 计算弦的斜率。

   $$m_{chord} = \frac{5 - 5}{6 - 0} = 0$ (水平线)$$
3. 计算连接圆心$(3,2)$和弦中点$(3,5)$的直线的斜率。

   $$m_{line} = \frac{5 - 2}{3 - 3} = \text{undefined (垂直线)}$$
4. 水平线和垂直线按定义互相垂直，因此该性质成立。

> **考试提示:** 当已知弦的两个端点和圆周上的第三个点时，该性质常被用于求解圆的圆心。

*计算器:* allowed

## 性质3：切点处的半径与切线互相垂直

从圆心向切线与圆的接触点（切点）引出的半径始终与切线垂直。切线的斜率是该半径斜率的负倒数。

**例题:** 已知圆的方程为$(x-1)^2 + (y+2)^2 = 25$，求该圆在点$(4, 2)$处的切线方程，结果以$ax + by + c = 0$的形式给出，其中$a, b, c$均为整数。

1. 从标准方程中识别圆的圆心：$(1, -2)$。
2. 计算连接圆心和切点的半径的斜率。

   $$m_{radius} = \frac{2 - (-2)}{4 - 1} = \frac{4}{3}$$
3. 求切线的斜率（半径斜率的负倒数）。

   $$m_{tangent} = -\frac{3}{4}$$
4. 使用切点$(4,2)$代入点斜式直线方程。

   $$y - 2 = -\frac{3}{4}(x - 4)$$
5. 整理为要求的整数形式。

   $$4(y - 2) = -3(x - 4) \\ 4y - 8 = -3x + 12 \\ 3x + 4y - 20 = 0$$

> **考试提示:** 务必将切点代入最终得到的切线方程进行验证，避免整理项时出现符号错误。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 误以为一般形式$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$的圆心是$(g,f)$而非$(-g,-f)$。
  - 原因: 一般形式是从$(x+g)^2 + (y+f)^2 = g^2+f^2 -c$展开得到的，因此圆心坐标的符号是翻转的。
  - 正确做法: 如果你对记忆的一般形式系数规则不确定，通过配方法验证圆心坐标。
- **错误做法:** 从半径斜率计算切线斜率时使用正倒数而非负倒数。
  - 原因: 互相垂直的直线斜率乘积为-1，而非1。
  - 正确做法: 在写出直线方程之前，先将半径斜率和切线斜率相乘，确认结果等于-1。
- **错误做法:** 配方法时忘记将平方常数加到等号右侧。
  - 原因: 配方法会改变等号左侧的表达式，因此你必须在右侧加上相同的值以保持等式成立。
  - 正确做法: 在等号左侧写出你添加的平方常数，然后立即在右侧也加上该值。
- **错误做法:** 将半圆直角性质应用于圆上任意两点，而非仅直径的两个端点。
  - 原因: 只有当两点构成圆的直径时，对应的圆周角才是直角。
  - 正确做法: 在应用该性质之前，先确认这两个点被指定为直径，或者它们的中点与圆心重合。
- **错误做法:** 写切线方程时使用圆心而非切点作为直线上的点。
  - 原因: 切线仅在切点处与圆接触，不会经过圆心。
  - 正确做法: 将切点代入最终的切线方程，验证结果是否正确。

## 速查表

| 概念 | 公式/性质 | 考试应用场景 |
| --- | --- | --- |
| 圆的标准方程 | $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ | 直接得到圆心$(a,b)$和半径$r$ |
| 圆的一般方程 | $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ | 通过配方法转换为标准形式 |
| 半圆角度性质 | 直径两端点到圆上第三点的连线斜率乘积为-1 | 证明直角、求解圆上未知点 |
| 弦的垂直平分线 | 圆心到弦中点的连线与弦垂直 | 求圆心坐标、求弦中点 |
| 切线性质 | 切点处的半径与切线互相垂直 | 求圆上给定点处的切线方程 |

## 下一步

在掌握Edexcel IAL P2的圆坐标几何内容后，你就可以将这些技能应用到结合了圆性质、代数运算和三角函数的跨主题考试综合题中。本主题经常出现在6-8分的大题中，因此练习往年真题对于提升解题速度、避免常见算术错误至关重要。P2考试仅要求本指南覆盖的内容，一般圆锥曲线属于进阶数学的范畴，P2不做要求。在开始练习完整的往年真题之前，请确保你可以不借助笔记回忆起全部三条圆性质，并且能在一般形式和标准形式之间自由转换。

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