代数与函数（Edexcel IAL P2）

Q: P2阶段我需要学习二次除式的多项式除法吗？

不需要，Edexcel IAL P2仅要求掌握多项式除以形如或的线性除式的运算。二次除式的相关内容不在本单元考察范围内。

Edexcel 国际A-Level 数学· 2018 specification (Issue 3), P2 §2.1· 20 分钟阅读

1. 线性除式的代数除法★★☆☆☆⏱ 5 min

✓ 计算器

📘 定义

多项式除法规则

当次数为 $n$ 的多项式（被除式）被一次（次数为1）的线性除式除时，运算结果为次数为 $n - 1$ 的商多项式加上一个常数余式。

例:

将 $x^{3} + 3 x^{2} - 4$ 除以 $(x + 2)$ ，得到商式 $x^{2} + x - 2$ ，余式为0。

在P2阶段，你只需要处理形如 $(a x \pm b)$ 的线性除式的除法运算。你可以选择长除法或者系数匹配法（等系数法）完成运算，只要展示完整推导过程，两种方法都会被Edexcel考官认可。

📐 例题

求 $f (x) = 2 x^{3} + 5 x^{2} - x - 6$ 除以 $(x + 2)$ 得到的商式和余式。

1
使用系数匹配法：令 $2 x^{3} + 5 x^{2} - x - 6 = (x + 2) (A x^{2} + B x + C) + R$
2
展开右侧： $A x^{3} + (2 A + B) x^{2} + (2 B + C) x + (2 C + R)$
3
匹配 $x$ 的同次幂项，令两边系数相等：
4
$A = 2 \text{ (}x^3 \text{ 项)}$
5
$2A + B = 5 \implies 4 + B =5 \implies B=1 \text{ (}x^2 \text{ 项)}$
6
$2B + C = -1 \implies 2 + C = -1 \implies C=-3 \text{ (}x \text{ 项)}$
7
$2C + R = -6 \implies -6 + R = -6 \implies R=0 \text{ (常数项)}$
8
给出最终结果：商式 = $2 x^{2} + x - 3$ ，余式 = 0

Exam tip:

务必明确标注商式和余式，因为考试评分标准中这两项分别给分。

2. 余数定理★★☆☆☆⏱ 5 min

✓ 计算器

📘 定义

余数定理

$f (\frac{b}{a})$

对任意多项式 $f (x)$ ， $f (x)$ 除以 $(a x - b)$ 得到的余数等于 $f (\frac{b}{a})$ 。对于除式 $(a x + b)$ ，余数为 $f (- \frac{b}{a})$ 。

📐 例题

求 $f (x) = 6 x^{3} + 11 x^{2} - x - 6$ 除以 $(2 x - 1)$ 得到的余数。

1
对于除式 $(2 x - 1)$ ， $a = 2$ ， $b = 1$ ，因此代入计算 $f (\frac{1}{2})$
2
$f\left(\frac{1}{2}\right) = 6\left(\frac{1}{2}\right)^3 + 11\left(\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2} - 6$
3
$= 6\left(\frac{1}{8}\right) + 11\left(\frac{1}{4}\right) - \frac{1}{2} -6$
4
$= \frac{3}{4} + \frac{11}{4} - \frac{2}{4} - 6 = \frac{12}{4} -6 = 3 -6 = -3$
5
最终余数 = $- 3$

3. 因式定理与三次多项式因式分解★★★☆☆⏱ 6 min

✓ 计算器

📘 定义

因式定理

如果 $f (x)$ 除以 $(a x - b)$ 得到的余数为0，那么 $(a x - b)$ 就是 $f (x)$ 的一个因式。换句话说，如果 $f (\frac{b}{a}) = 0$ ，则 $(a x - b)$ 是 $f (x)$ 的因式。

要对三次多项式做因式分解：首先测试小整数值找到一个根，用因式定理得到一个线性因式，再通过系数匹配或者除法得到二次因式，之后如果可以的话继续对二次式做因式分解。

📐 例题

将 $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 4$ 完全因式分解。

1
测试小整数值： $f (1) = 1 + 3 - 4 = 0$ ，因此 $(x - 1)$ 是一个因式
2
令 $x^{3} + 3 x^{2} - 4 = (x - 1) (A x^{2} + B x + C)$
3
展开右侧并匹配系数： $A = 1$ ， $B = 4$ ， $C = 4$
4
二次因式为 $x^{2} + 4 x + 4$ ，是完全平方： $(x + 2)^{2}$
5
完全因式分解形式： $(x - 1) (x + 2)^{2}$

Exam tip:

优先测试能整除三次多项式常数项的整数 $x$ 值，这样可以减少需要验证的次数。

4. 综合考试题型★★★★☆⏱ 4 min

✓ 计算器

P2考试的大多数题目会将代数除法、余数定理和因式定理结合起来，出成4-6分的多小问题型，通常要求你先求解未知系数。

📐 例题

已知 $f (x) = 2 x^{3} + a x^{2} + b x - 6$ 。 $f (x)$ 除以 $(x - 1)$ 得到的余数为0；除以 $(x + 2)$ 得到的余数为6。(a) 求 $a$ 和 $b$ 的值。(b) 将 $f (x)$ 完全因式分解。

1
第(a)小问：对除式 $(x - 1)$ 应用余数定理： $f (1) = 2 + a + b - 6 = 0 ⟹ a + b = 4$ 。
2
对除式 $(x + 2)$ 应用余数定理： $f (- 2) = - 16 + 4 a - 2 b - 6 = 6 ⟹ 4 a - 2 b = 28 ⟹ 2 a - b = 14$ 。
3
联立求解（ $a + b = 4$ ， $2 a - b = 14$ ）：两式相加得 $3 a = 18$ ，因此 $a = 6$ ， $b = - 2$ 。
4
第(b)小问： $f (x) = 2 x^{3} + 6 x^{2} - 2 x - 6 = 2 (x^{3} + 3 x^{2} - x - 3)$ 。
5
分组因式分解： $x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 = x^{2} (x + 3) - (x + 3) = (x + 3) (x^{2} - 1) = (x + 3) (x - 1) (x + 1)$ 。
6
最终因式分解形式： $f (x) = 2 (x - 1) (x + 1) (x + 3)$ 。

✓ 快速检测

自主练习：对 $f (x) = 3 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 4$ ，求它除以 $(3 x + 1)$ 得到的余数，再将 $f (x)$ 完全因式分解。写出全部推导过程。

5. 常见陷阱

错误做法:

对除式 $(a x + b)$ 使用 $x = \frac{b}{a}$ 代入，而不是正确的 $x = - \frac{b}{a}$

原因:

符号代入错误会得到错误的余数，或者漏掉对应的线性因式

正确做法:

先把 $(a x + b)$ 改写为 $(a x - (- b))$ ，这样就知道代入的 $x$ 值是 $- \frac{b}{a}$

错误做法:

题目要求给出除法结果时，没有分别标注商式和余式

原因:

考试评分标准中这两项分别给分，未标注的答案会丢失对应分数

正确做法:

在答案中明确写出「商式 = [表达式]」和「余式 = [数值]」

错误做法:

使用因式定理时随机测试整数值

原因:

浪费考试时间，还会增加算术错误的概率

正确做法:

只测试能整除三次多项式常数项的整数 $x$ 值（例如常数项为-6时，测试±1、±2、±3、±6）

错误做法:

留下可以继续因式分解的二次因式不做分解

原因:

题目要求完全因式分解，因此不完整的答案会丢失分数

正确做法:

始终检查二次因式是否可以拆分为线性项，或者是否是完全平方

错误做法:

在可以用系数匹配法的情况下使用完整长除法

原因:

线性除式的长除法出现符号错误的概率更高

正确做法:

处理线性除式时使用系数匹配法，既节省时间又能降低出错概率

6. 速查表

概念	规则 / 公式	考试适用场景
代数除法（线性除式）	$f (x) = (a x \pm b) Q (x) + R$ ， $de g (Q) = de g (f) - 1$ ， $R$ 为常数	求多项式除法的商式和余式
余数定理	除式为 $(a x - b)$ 时，余数 = $f (\frac{b}{a})$	无需完整代数除法即可计算余数
因式定理	如果 $f (\frac{b}{a}) = 0$ ，则 $(a x - b)$ 是 $f (x)$ 的因式	求三次多项式的线性因式
三次多项式因式分解步骤	测试根 → 2. 得到线性因式 → 3. 求出二次因式 → 4. 分解二次式	完全分解三次表达式

7. 常见问题

P2阶段我需要学习二次除式的多项式除法吗？

不需要，Edexcel IAL P2仅要求掌握多项式除以形如 $(a x + b)$ 或 $(a x - b)$ 的线性除式的运算。二次除式的相关内容不在本单元考察范围内。

做代数除法题目时可以使用计算器吗？

所有P2试卷都允许使用计算器，但你必须完整写出代数除法和因式分解的全部步骤才能拿到满分，即便你用计算器核对了答案也需要展示全部推导过程。

深入阅读

syllabusEdexcel IAL 数学 P2 官方考纲WMA12 P2单元的完整考纲文件

下一步

现在你已经掌握了Edexcel IAL P2要求的代数除法、因式定理和余数定理，可以继续学习P2的其他核心主题。这些代数基础技能是后续P2的坐标几何、求导、三角函数内容的前置要求，也是P3和P4阶段进阶多项式内容的基础。几乎每一套P2试卷都会考察这些知识点，还经常和其他主题结合出多小问题型，因此要定期练习提升解题速度和准确率。即使你用计算器核对答案，也要完整写出所有步骤，确保考试中拿到所有过程分。