# 代数与函数（Edexcel IAL P2）

> Edexcel 国际A-Level 数学 · Edexcel IAL 数学 P2 (WMA12)
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-math-p2-algebra-and-functions/

本指南完全匹配2018版WMA12考纲，覆盖Edexcel IAL P2的线性除式代数除法、因式定理与余数定理，以及三次多项式因式分解内容。

**先修:** [掌握P1的多项式基础与指数运算法则](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-math-p1-polynomial-basics/); [能够展开线性和二次表达式](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-math-p1-expanding-brackets/)

## 学习目标

- 能够将多项式除以形如$(ax\pm b)$的线性除式，完成代数除法运算
- 运用余数定理计算多项式被线性表达式除后的余数
- 使用因式定理找出线性因式，完成三次多项式的完全因式分解
- 正确识别并标注多项式除法中的商式和余式项
- 解决结合上述代数知识点的多小问考试题型

## 线性除式的代数除法

**多项式除法规则** — 当次数为$n$的多项式（被除式）被一次（次数为1）的线性除式除时，运算结果为次数为$n-1$的商多项式加上一个常数余式。

*例:* 将$x^3 + 3x^2 - 4$除以$(x+2)$，得到商式$x^2 + x - 2$，余式为0。

在P2阶段，你只需要处理形如$(ax\pm b)$的线性除式的除法运算。你可以选择长除法或者系数匹配法（等系数法）完成运算，只要展示完整推导过程，两种方法都会被Edexcel考官认可。

**例题:** 求$f(x) = 2x^3 + 5x^2 - x - 6$除以$(x + 2)$得到的商式和余式。

1. 使用系数匹配法：令$2x^3 + 5x^2 - x - 6 = (x+2)(Ax^2 + Bx + C) + R$
2. 展开右侧：$Ax^3 + (2A + B)x^2 + (2B + C)x + (2C + R)$
3. 匹配$x$的同次幂项，令两边系数相等：
4. $$A = 2 \text{ (}x^3 \text{ 项)}$$
5. $$2A + B = 5 \implies 4 + B =5 \implies B=1 \text{ (}x^2 \text{ 项)}$$
6. $$2B + C = -1 \implies 2 + C = -1 \implies C=-3 \text{ (}x \text{ 项)}$$
7. $$2C + R = -6 \implies -6 + R = -6 \implies R=0 \text{ (常数项)}$$
8. 给出最终结果：商式 = $2x^2 + x - 3$，余式 = 0

> **考试提示:** 务必明确标注商式和余式，因为考试评分标准中这两项分别给分。

*计算器:* allowed

## 余数定理

**余数定理** — 对任意多项式$f(x)$，$f(x)$除以$(ax - b)$得到的余数等于$f\left(\frac{b}{a}\right)$。对于除式$(ax + b)$，余数为$f\left(-\frac{b}{a}\right)$。

*记法:* $f\left(\frac{b}{a}\right)$

> **tip**
>
> 当你只需要求余数时，余数定理可以免去完整代数除法的运算步骤，节省考试时间。

**例题:** 求$f(x) = 6x^3 + 11x^2 - x - 6$除以$(2x - 1)$得到的余数。

1. 对于除式$(2x -1)$，$a=2$，$b=1$，因此代入计算$f\left(\frac{1}{2}\right)$
2. $$f\left(\frac{1}{2}\right) = 6\left(\frac{1}{2}\right)^3 + 11\left(\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2} - 6$$
3. $$= 6\left(\frac{1}{8}\right) + 11\left(\frac{1}{4}\right) - \frac{1}{2} -6$$
4. $$= \frac{3}{4} + \frac{11}{4} - \frac{2}{4} - 6 = \frac{12}{4} -6 = 3 -6 = -3$$
5. 最终余数 = $-3$

*计算器:* allowed

## 因式定理与三次多项式因式分解

**因式定理** — 如果$f(x)$除以$(ax - b)$得到的余数为0，那么$(ax - b)$就是$f(x)$的一个因式。换句话说，如果$f\left(\frac{b}{a}\right) = 0$，则$(ax - b)$是$f(x)$的因式。

要对三次多项式做因式分解：首先测试小整数值找到一个根，用因式定理得到一个线性因式，再通过系数匹配或者除法得到二次因式，之后如果可以的话继续对二次式做因式分解。

**例题:** 将$f(x) = x^3 + 3x^2 - 4$完全因式分解。

1. 测试小整数值：$f(1) = 1 + 3 -4 = 0$，因此$(x -1)$是一个因式
2. 令$x^3 + 3x^2 -4 = (x-1)(Ax^2 + Bx + C)$
3. 展开右侧并匹配系数：$A=1$，$B=4$，$C=4$
4. 二次因式为$x^2 + 4x + 4$，是完全平方：$(x+2)^2$
5. 完全因式分解形式：$(x -1)(x + 2)^2$

> **考试提示:** 优先测试能整除三次多项式常数项的整数$x$值，这样可以减少需要验证的次数。

*计算器:* allowed

## 综合考试题型

P2考试的大多数题目会将代数除法、余数定理和因式定理结合起来，出成4-6分的多小问题型，通常要求你先求解未知系数。

**例题:** 已知$f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx - 6$。$f(x)$除以$(x-1)$得到的余数为0；除以$(x+2)$得到的余数为6。(a) 求$a$和$b$的值。(b) 将$f(x)$完全因式分解。

1. 第(a)小问：对除式$(x-1)$应用余数定理：$f(1) = 2 + a + b - 6 = 0 \implies a + b = 4$。
2. 对除式$(x+2)$应用余数定理：$f(-2) = -16 + 4a - 2b - 6 = 6 \implies 4a - 2b = 28 \implies 2a - b = 14$。
3. 联立求解（$a+b=4$，$2a-b=14$）：两式相加得$3a=18$，因此$a=6$，$b=-2$。
4. 第(b)小问：$f(x) = 2x^3 + 6x^2 - 2x - 6 = 2(x^3 + 3x^2 - x - 3)$。
5. 分组因式分解：$x^3+3x^2-x-3 = x^2(x+3) - (x+3) = (x+3)(x^2-1) = (x+3)(x-1)(x+1)$。
6. 最终因式分解形式：$f(x) = 2(x-1)(x+1)(x+3)$。

**概念自测**

自主练习：对$f(x) = 3x^3 -5x^2 -4x +4$，求它除以$(3x +1)$得到的余数，再将$f(x)$完全因式分解。写出全部推导过程。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 对除式$(ax + b)$使用$x = \frac{b}{a}$代入，而不是正确的$x = -\frac{b}{a}$
  - 原因: 符号代入错误会得到错误的余数，或者漏掉对应的线性因式
  - 正确做法: 先把$(ax + b)$改写为$(ax - (-b))$，这样就知道代入的$x$值是$-\frac{b}{a}$
- **错误做法:** 题目要求给出除法结果时，没有分别标注商式和余式
  - 原因: 考试评分标准中这两项分别给分，未标注的答案会丢失对应分数
  - 正确做法: 在答案中明确写出「商式 = [表达式]」和「余式 = [数值]」
- **错误做法:** 使用因式定理时随机测试整数值
  - 原因: 浪费考试时间，还会增加算术错误的概率
  - 正确做法: 只测试能整除三次多项式常数项的整数$x$值（例如常数项为-6时，测试±1、±2、±3、±6）
- **错误做法:** 留下可以继续因式分解的二次因式不做分解
  - 原因: 题目要求完全因式分解，因此不完整的答案会丢失分数
  - 正确做法: 始终检查二次因式是否可以拆分为线性项，或者是否是完全平方
- **错误做法:** 在可以用系数匹配法的情况下使用完整长除法
  - 原因: 线性除式的长除法出现符号错误的概率更高
  - 正确做法: 处理线性除式时使用系数匹配法，既节省时间又能降低出错概率

## 速查表

| 概念 | 规则 / 公式 | 考试适用场景 |
| --- | --- | --- |
| 代数除法（线性除式） | $f(x) = (ax\pm b)Q(x) + R$，$\deg(Q) = \deg(f)-1$，$R$为常数 | 求多项式除法的商式和余式 |
| 余数定理 | 除式为$(ax - b)$时，余数 = $f\left(\frac{b}{a}\right)$ | 无需完整代数除法即可计算余数 |
| 因式定理 | 如果$f\left(\frac{b}{a}\right) = 0$，则$(ax - b)$是$f(x)$的因式 | 求三次多项式的线性因式 |
| 三次多项式因式分解步骤 | 1. 测试根 → 2. 得到线性因式 → 3. 求出二次因式 → 4. 分解二次式 | 完全分解三次表达式 |

## 下一步

现在你已经掌握了Edexcel IAL P2要求的代数除法、因式定理和余数定理，可以继续学习P2的其他核心主题。这些代数基础技能是后续P2的坐标几何、求导、三角函数内容的前置要求，也是P3和P4阶段进阶多项式内容的基础。几乎每一套P2试卷都会考察这些知识点，还经常和其他主题结合出多小问题型，因此要定期练习提升解题速度和准确率。即使你用计算器核对答案，也要完整写出所有步骤，确保考试中拿到所有过程分。

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