# 求导（Edexcel IAL 纯数学1）

> 数学 · Edexcel IAL P1（2018大纲）
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-math-p1-differentiation/

本指南覆盖Edexcel IAL 纯数学1（WMA11）全部求导内容，包括导数概念、x的幂次求导、切线与法线方程，完全贴合2018版大纲要求。

**先修:** [代数运算（展开括号、化简指数）](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-math-p1-algebraic-manipulation/); [直线方程](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-math-p1-straight-line-graphs/)

## 学习目标

- 解释导数是曲线的斜率，代表瞬时变化率
- 对任意有理数n的$x^n$以及幂次项的和/差求导
- 计算P1级别函数的一阶导数和二阶导数
- 计算曲线在指定点处的切线和法线方程
- 在考试场景中规避P1求导的常见错误

## 什么是导数？

**导数** — 曲线$y=f(x)$在指定点处的切线斜率，代表y相对于x的瞬时变化率。

*记法:* $f'(x)$ or $\frac{dy}{dx}$

*例:* 如果$f(t)$表示随时间变化的行驶距离，那么$f'(t)$就是瞬时速度。

从第一性原理求导用到极限的基础概念：你取曲线上间隔为微小增量$h$的两个点，计算两点之间弦的斜率，再令$h$趋近于0，就得到切线的斜率。对于P1考试，你只需要理解这个概念，不需要从第一性原理证明求导规则。

**二阶导数** — 对函数的一阶导数再次求导得到的结果，代表曲线斜率的变化率。

*记法:* $f''(x)$ or $\frac{d^2y}{dx^2}$

> **note**
>
> P1考试中你不需要使用二阶导数来求解或分类驻点：该内容仅在P2部分考察。你只需要会计算$f''(x)$，并解释它的概念含义即可。

**例题:** 已知函数$f(t) = 3t + 2t^2$表示小球在t秒时刻的高度（单位：米），说明$f'(t)$和$f''(t)$分别代表什么物理意义。

1. $f'(t)$是高度对时间的一阶导数，代表小球的瞬时竖直速度，单位为$ms^{-1}$。
2. $f''(t)$是高度对时间的二阶导数，代表小球的瞬时竖直加速度，单位为$ms^{-2}$。

> **考试提示:** 如果题目要求你结合场景解释导数的含义，尽可能带上对应单位，即可拿到全部分数。

*计算器:* allowed

## 对x的幂次求导

P1考试核心求导规则适用于所有形如$ax^n$的项，其中a是常数，n是任意有理数（正数、负数、分数均可）。

**求导幂法则** — 对于函数$f(x) = ax^n$，其一阶导数为$f'(x) = anx^{n-1}$。对多个项的和或差求导时，对每一项分别求导再将结果相加或相减即可。

对任意函数求导前，先将其化简或展开为独立的$ax^n$项之和。P1考试不需要使用乘积法则、商法则或链式法则：所有给定函数都可以改写为上述形式。

**例题:** 对$y = 4x^3 + 2\sqrt{x} - \frac{3}{x^2}$关于x求导，再计算二阶导数$\frac{d^2y}{dx^2}$。

1. 先将所有项改写为$ax^n$的形式：
2. $$y = 4x^3 + 2x^{\frac{1}{2}} - 3x^{-2}$$
3. 对每一项应用幂法则得到一阶导数：
4. $$\frac{dy}{dx} = (3 \times 4)x^{2} + (\frac{1}{2} \times 2)x^{-\frac{1}{2}} - (-2 \times 3)x^{-3}$$
5. 化简一阶导数：
6. $$\frac{dy}{dx} = 12x^2 + x^{-\frac{1}{2}} + 6x^{-3}$$
7. 再次对一阶导数的每一项应用幂法则求导，得到二阶导数：
8. $$\frac{d^2y}{dx^2} = 24x - \frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}} - 18x^{-4}$$

> **考试提示:** 求导前务必将平方根、立方根以及分母含x的项改写为指数形式，避免出现计算错误。

*计算器:* allowed

## 曲线的切线方程

曲线上某一点的切线是仅在该点处与曲线相交的直线，其斜率等于曲线在该x坐标处的导数值。

1. 对曲线函数求导，得到斜率函数
2. 将给定点的x值代入导数，得到切线的斜率
3. 使用直线的点斜式$y - y_1 = m(x - x_1)$，其中$(x_1, y_1)$是曲线上的点，m是切线斜率

**例题:** 求曲线$y = x^3 - 2x + 5$在$x = 2$处的切线方程，结果以$ax + by + c = 0$的形式给出，其中a、b、c均为整数。

1. 首先计算$x=2$处对应的y坐标：
2. $$y = 2^3 - 2(2) +5 = 8 -4 +5 = 9. \text{ 该点坐标为 } (2, 9)$$
3. 对曲线求导得到斜率函数：
4. $$\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 2$$
5. 代入$x=2$计算切线斜率：
6. $$m = 3(2)^2 - 2 = 12 - 2 = 10$$
7. 使用点斜式整理为要求的形式：
8. $$y - 9 = 10(x - 2) \rightarrow 10x - y - 11 = 0$$

> **考试提示:** 一定要先算出点对应的正确y坐标：很多考生忘记计算这一步，直接把x值当成y值，白白丢分。

*计算器:* allowed

## 曲线的法线方程

**曲线的法线** — 过曲线上某一点、且与该点处切线垂直的直线。

*例:* 如果某点处切线的斜率为3，那么同一点处法线的斜率为$-\frac{1}{3}$。

两条互相垂直的直线斜率乘积为-1，因此如果切线斜率为$m_t$，法线斜率为$m_n = -\frac{1}{m_t}$。剩下的求解法线方程的步骤和求解切线方程完全一致。

**例题:** 求曲线$y = 2x^2 - \frac{1}{x}$在$x = 1$处的法线方程，结果以$y = mx + c$的形式给出。

1. 计算$x=1$处对应的y坐标：
2. $$y = 2(1)^2 - \frac{1}{1} = 2 - 1 = 1. \text{ 该点坐标为 } (1, 1)$$
3. 将函数改写为指数形式后求导：
4. $$y = 2x^2 - x^{-1} \rightarrow \frac{dy}{dx} = 4x + x^{-2}$$
5. 计算$x=1$处的切线斜率：
6. $$m_t = 4(1) + 1^{-2} = 4 +1 = 5$$
7. 计算法线斜率，即切线斜率的负倒数：
8. $$m_n = -\frac{1}{5}$$
9. 使用点斜式整理为要求的形式：
10. $$y -1 = -\frac{1}{5}(x -1) \rightarrow y = -\frac{1}{5}x + \frac{6}{5}$$

> **考试提示:** 如果切线斜率为0（水平切线），那么法线是一条形如$x = x_1$的竖直线，此时法线斜率不存在。注意该特殊情况，避免出现除零错误。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 不先展开/化简函数，直接尝试使用乘积/商/链式法则求导。
  - 原因: Edexcel P1的题目设计为不需要使用这些进阶规则即可求解，强行使用会导致不必要的错误、浪费时间，一旦应用错误还会丢分。
  - 正确做法: 求导前务必将所有项改写为独立的$ax^n$形式（展开括号、化简指数、将根式/分母项改写为指数形式），再应用幂法则。
- **错误做法:** 将x坐标代入原曲线函数而不是导数来计算切线/法线的斜率。
  - 原因: 原函数只能得到点的y值，无法得到斜率，最终会得到错误的直线方程。
  - 正确做法: 先对曲线求导得到斜率函数，再将x值代入导数，得到切线或法线的斜率。
- **错误做法:** 直接使用切线斜率计算法线方程，没有取负倒数。
  - 原因: 法线和切线互相垂直，二者斜率乘积为-1，并不相等。
  - 正确做法: 得到切线斜率$m_t$后，计算法线斜率为$m_n = -\frac{1}{m_t}$（除非$m_t = 0$，此时法线是竖直线$x=x_1$）。
- **错误做法:** 应用幂法则时忘记将指数减1，尤其是处理负指数或分数指数的时候。
  - 原因: 这是非常常见的计算错误，会导致导数结果错误，后续所有计算全部出错。
  - 正确做法: 求导前清晰写下每一项的指数，将指数减1，对负指数和分数指数做双重检查。
- **错误做法:** 在P1考试中使用二阶导数分类驻点。
  - 原因: 驻点及其分类明确不属于P1考察范围，相关作答不会得分，还会浪费考试时间。
  - 正确做法: 只有在题目明确要求时才计算二阶导数，仅解释它作为斜率变化率的含义，不要在P1考试中用它做驻点分析。

## 速查表

| 概念 | 规则 / 公式 |
| --- | --- |
| 导数含义 | 曲线的切线斜率，$f(x)$的瞬时变化率 |
| 幂法则 | $\frac{d}{dx}(ax^n) = anx^{n-1}$，适用于任意有理数n |
| 二阶导数 | 对一阶导数再次求导：$f''(x) = \frac{d}{dx}(f'(x))$ |
| 切线斜率 | 点$(x_1, y_1)$处的切线斜率$m_t = f'(x_1)$ |
| 法线斜率 | $m_n = -\frac{1}{m_t}$（与切线垂直） |
| 直线方程 | 已知点$(x_1, y_1)$和斜率m，方程为$y - y_1 = m(x - x_1)$ |

## 下一步

掌握P1求导内容后，你就可以进阶学习P2中的更高级求导内容，包括驻点、链式法则和最优化问题。这些内容直接建立在你已经学会的幂法则和直线方程技能之上，因此请确保你可以熟练完成幂次项求和的求导、求解切线/法线方程后再继续学习。后续应用类单元，包括力学1中的运动学、统计1中的变化率问题，也会用到求导相关技能。

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