# 代数与函数（Edexcel IAL P1）

> 数学 · Edexcel IAL 纯数学1
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-math-p1-algebra-and-functions/

本指南涵盖Edexcel IAL纯数学1（WMA11）的全部核心代数与函数内容，包括指数、根式、二次函数、不等式、多项式因式分解、三次/反比例函数图像和核心变换规则，配有贴合考试的例题。

**先修:** [IGCSE / GCSE 代数基础](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-igcse-math-algebra-basics/); [IGCSE / GCSE 基础图像绘制技能](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-igcse-math-graph-skills/)

## 学习目标

- 对所有有理指数应用指数运算法则
- 正确进行根式运算并对分母有理化
- 使用判别式判断二次方程的根的类型
- 通过因式分解、求根公式和配方法求解二次方程
- 使用代入法求解一次与二次联立方程
- 求解一次和二次不等式并以图像方式表示解集
- 对次数不超过3的多项式进行因式分解
- 绘制三次函数和反比例函数的草图，标注关键特征与渐近线
- 对任意给定函数应用四种核心图像变换

## 指数与根式

**指数运算法则** — 对所有有理指数$m, n$和非零底数$a$：$a^m \times a^n = a^{m+n}$, $a^m \div a^n = a^{m-n}$, $(a^m)^n = a^{mn}$, $a^0 = 1$, $a^{-n} = 1/a^n$, $a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$

**例题:** 化简$\frac{(16x^4 y^{-2})^{1/2}}{8x^3 y}$

1. 步骤1：对分子应用幂的运算法则

   $$(16x^4 y^{-2})^{1/2} = 16^{1/2} (x^4)^{1/2} (y^{-2})^{1/2} = 4x^2 y^{-1}$$
2. 步骤2：除以分母，对同底数项的指数做减法

   $$\frac{4x^2 y^{-1}}{8x^3 y} = 0.5 x^{2-3} y^{-1-1} = 0.5 x^{-1} y^{-2} = \frac{1}{2xy^2}$$

**根式运算** — 根式遵循以下规则：$\sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ 和 $\sqrt{a/b} = \sqrt{a}/\sqrt{b}$。分母有理化是指使用共轭对消去分母中所有的根式，适用于包含两项的分母。

**例题:** 对$\frac{3}{2 + \sqrt{3}}$做分母有理化

1. 步骤1：将分子和分母同时乘以分母的共轭项$2 - \sqrt{3}$

   $$\frac{3(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})}$$
2. 步骤2：使用平方差公式化简分母

   $$(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 4 - 3 = 1$$
3. 步骤3：得到最终化简结果

   $$6 - 3\sqrt{3}$$

> **考试提示:** 除非题目明确说明，否则根式答案必须完全化简，且分母中不能包含根式。

*计算器:* allowed

## 二次函数与二次方程

**二次函数的性质** — 二次函数的形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a \neq 0$。它的图像是抛物线，$a>0$时开口向上，$a<0$时开口向下。判别式$\Delta = b^2 - 4ac$决定实根的数量：$\Delta>0$ = 2个不同实根，$\Delta=0$ = 1个重实根，$\Delta<0$ = 无实根。

**例题:** 求使方程$2x^2 + kx + 8 = 0$恰好有一个重实根的$k$值。

1. 步骤1：识别系数$a=2$，$b=k$，$c=8$。有重根的条件是$\Delta = 0$

   $$b^2 - 4ac = 0$$
2. 步骤2：代入数值求解k

   $$k^2 - (4 \times 2 \times 8) = 0 \implies k^2 = 64 \implies k = \pm 8$$

**配方法** — 将$ax^2 + bx + c$改写为$a(x + p)^2 + q$的形式，其中$p = b/(2a)$，$q = c - b^2/(4a)$。该形式可以直接得到抛物线的顶点坐标$(-p, q)$。

**例题:** 使用配方法求解$x^2 - 4x - 5 = 0$。

1. 步骤1：将含x的项分组

   $$(x^2 - 4x) - 5 = 0$$
2. 步骤2：在括号内完成配方

   $$(x - 2)^2 - 4 - 5 = 0 \implies (x - 2)^2 = 9$$
3. 步骤3：开平方并求解

   $$x - 2 = \pm 3 \implies x = 5 \text{ 或 } x = -1$$

**考试命令词**

二次函数类题目常见的指令术语：

- **Show that** — 使用完整的代数运算证明给定结果，不得跳过任何步骤 *(证明对所有实数x，$x^2 + 6x + 11$恒为正)*

- **Find the vertex** — 计算抛物线的最小值点或最大值点的坐标

> **考试提示:** 代入数值前务必先明确写出二次求根公式，这样即使计算过程中出现算术错误，也能拿到步骤分。

*计算器:* allowed

## 联立方程与不等式

对于包含一个一次方程和一个二次方程的联立方程组，使用代入法：将一次方程变形，用一个变量表示另一个变量，代入二次方程求解，再代回求出第二个变量。

**例题:** 求解联立方程组：$y = 2x + 1$, $y = x^2 + 3x - 1$

1. 步骤1：将$y = 2x +1$代入二次方程

   $$2x + 1 = x^2 + 3x - 1$$
2. 步骤2：整理为标准二次方程形式

   $$x^2 + x - 2 = 0$$
3. 步骤3：因式分解并求解x

   $$(x + 2)(x -1) = 0 \implies x = -2, x = 1$$
4. 步骤4：将x的取值代回一次方程求出y

   $$x=-2 \implies y=-3, x=1 \implies y=3. \\ \text{解为 } (-2, -3) \text{ 和 } (1, 3)$$

解二次不等式时，先绘制抛物线草图，确定满足不等式的区域。对于$ax^2 + bx + c > 0$，若$a>0$则解集为两根之外的区域；若$a<0$则解集为两根之间的区域。

**例题:** 求解$2x^2 - 5x - 3 < 0$并在数轴上表示解集。

1. 步骤1：对二次式做因式分解

   $$(2x +1)(x - 3) = 0 \implies \text{根为 } x = -0.5, x = 3$$
2. 步骤2：$a=2>0$，抛物线开口向上，因此<0的区域在两根之间

   $$-0.5 < x < 3$$
3. 步骤3：在数轴上，在-0.5和3处标记空心点，将两点之间的区域涂色。

> **考试提示:** 解不等式时，若在不等号两侧同时乘以或除以负数，必须反转不等号的方向。

*计算器:* allowed

## 多项式与基础函数图像

在P1中，你只需要对次数≤3的多项式做因式分解。使用因式定理：若$f(a) = 0$，则$(x - a)$是$f(x)$的一个因式。

**例题:** 完全因式分解$f(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$

1. 步骤1：代入整数x值寻找根。$f(2) = 8 - 16 + 2 +6 = 0$，因此$(x - 2)$是一个因式
2. 步骤2：展开$(x -2)(x^2 + ax + b)$并比较系数

   $$x^3 + (a -2)x^2 + (b - 2a)x - 2b = x^3 -4x^2 +x +6$$
3. 步骤3：求解a和b，再对二次式做因式分解

   $$a=-2, b=-3, \text{ 因此 } x^2 -2x -3 = (x-3)(x+1) \\ \text{完全因式分解结果： } (x-2)(x-3)(x+1)$$

**P1要求的基础函数图像** — 1. 三次函数图像：$y = (x-a)(x-b)(x-c)$的x轴截距为$a, b, c$，y轴截距为$-abc$。2. 反比例函数图像：$y = k/x$的渐近线为$x=0$和$y=0$，两条曲线位于对向的两个象限。$y = k/x^2$的渐近线相同，若$k>0$则两条曲线位于上方两个象限。

**例题:** 绘制$y = 4/x^2$的图像，标注所有关键特征。

1. 步骤1：识别渐近线：竖直渐近线$x=0$（y轴），水平渐近线$y=0$（x轴）
2. 步骤2：$k=4>0$，因此图像在第一和第二象限有两个U形曲线，当x趋近于正无穷或负无穷时，曲线不断靠近坐标轴
3. 步骤3：标注截距：图像与x轴、y轴都没有交点，永远不会接触坐标轴

> **考试提示:** 所有草图题都必须标注x轴截距、y轴截距和渐近线（如适用），才能获得全部分数。

*计算器:* allowed

## 图像变换

> **变换记忆口诀**
>
> X轴反方向，Y轴同方向：函数括号内的变换作用于x轴（效果与符号相反），括号外的变换作用于y轴（效果与符号一致）。

| 变换 | 对$f(x)$图像的作用 |
| --- | --- |
| $y = f(x) + a$ | 沿y轴正方向竖直向上平移$a$个单位 |
| $y = f(x + a)$ | 沿x轴负方向水平向左平移$a$个单位 |
| $y = af(x)$ | 平行于y轴方向拉伸，比例因子为$a$ |
| $y = f(ax)$ | 平行于x轴方向拉伸，比例因子为$1/a$ |

**例题:** 将$f(x) = x^2$的图像变换得到$g(x) = f(x) - 4$。完整描述该单一变换，并给出新的顶点坐标。

1. 步骤1：$g(x) = f(x) - 4$符合形式$f(x) + a$，其中$a = -4$。
2. 步骤2：这是沿平行于$y$轴的方向向下平移4个单位的单一平移变换。
3. 步骤3：$f(x)=x^2$的顶点是$(0,0)$，因此新的顶点坐标是$(0,-4)$。

> **考试提示:** 描述变换时，必须说明方向、缩放比例因子以及拉伸/平移所平行的坐标轴，才能拿到全部分数。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 将幂的乘方运算错误地做指数相加，例如将$(x^2)^3$写为$x^5$
  - 原因: 混淆了同底数幂的乘法法则（$a^m \times a^n = a^{m+n}$）和幂的乘方法则（$(a^m)^n = a^{mn}$）
  - 正确做法: 做幂的乘方运算时指数相乘，只有同底数幂相乘时指数才相加。
- **错误做法:** 对$1/(2 + \sqrt{3})$做有理化时，仅乘以$\sqrt{3}$而不是共轭项
  - 原因: 忘记了包含两项的分母需要乘以共轭项才能完全消去分母中的所有根式
  - 正确做法: 将分子和分母同时乘以分母的共轭项$(2 - \sqrt{3})$，得到$2 - \sqrt{3}$。
- **错误做法:** 对没有整理为等于0的二次式直接使用判别式，导致根的数量判断错误
  - 原因: 对两侧都有项的未整理方程直接应用判别式规则
  - 正确做法: 计算判别式前，务必将所有二次项移到等号一侧，使方程等于0，再识别$a, b, c$的值。
- **错误做法:** 对不等式$x^2 - 3x - 4 < 0$给出解集$x < -1$或$x > 4$
  - 原因: 没有绘制开口向上的抛物线草图，混淆了图像位于x轴下方的区域
  - 正确做法: 先绘制抛物线；对于开口向上的抛物线，函数值小于0的部分位于两根之间，因此解集是$-1 < x <4$。
- **错误做法:** 将$f(x + 2)$错误地向右平移2个单位，而不是向左
  - 原因: 忘记了函数括号内的x轴变换效果与符号相反
  - 正确做法: 函数括号内的变换对x轴的作用方向相反：$f(x +a)$将图像向左平移$a$个单位。
- **错误做法:** 将三次多项式作为有理表达式的一部分进行因式分解时直接约去项
  - 原因: 有理表达式化简不属于P1的考查范围，本单元不做要求
  - 正确做法: 仅将三次多项式完全因式分解为一次/二次因式，不要在分数线上方和下方约去任何项。

## 速查表

| 主题 | 核心规则 | 考试注意事项 |
| --- | --- | --- |
| 指数 | $a^m \times a^n = a^{m+n}$, $(a^m)^n = a^{mn}$, $a^{-n} = 1/a^n$ | 将指数化简为正有理数或整数形式 |
| 根式 | 对于两项式分母，使用共轭项进行分母有理化 | 最终答案的分母中不允许出现根式 |
| 判别式 | $\Delta = b^2 -4ac$：>0 对应2个实根，=0对应1个实根，<0对应无实根 | 计算$\Delta$前先将二次式整理为等于0的形式 |
| 配方法 | $ax^2 +bx +c = a(x + b/(2a))^2 + (c - b²/(4a))$ | 得到抛物线的顶点坐标为$(-b/(2a), c - b²/(4a))$ |
| 联立方程 | 将一次表达式代入二次方程，求解后代回原方程 | 验证两个解都同时满足两个原始方程 |
| 图像变换 | 括号内 = x轴（反方向），括号外 = y轴（正常方向） | 描述拉伸变换时必须说明比例因子和平行的坐标轴 |

## 下一步

代数与函数是所有其他P1内容的基础主题，掌握这些规则会让后续的坐标几何、求导和积分学习变得简单很多。在学习更进阶的P1内容之前，建议你练习5-10道本主题的往年真题，提升解题速度并避免常见错误。附带的速查表可以在考前用于快速临考复习。本部分内容也是P2和P3中很多主题的基础，扎实的基础知识会大幅减轻你后续课程的学习负担。

- [求导（Edexcel IAL P1）](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-math-p1-differentiation/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-math-p1-algebra-and-functions/