功与能量（Edexcel IAL 数学 M2）

Q: M2考试中我需要背诵动能、重力势能和功率的公式吗？

是的，这些公式不会在Edexcel IAL M2的公式手册中给出，你必须牢记、、和。

Edexcel 国际A-Level 数学· WME02 Unit M2 §3.1· 25 分钟阅读

1. 1. 能量与功的核心定义★★☆☆☆⏱ 6 min

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📘 定义

恒力做功

$W = F s cos θ$

恒力 $F$ 作用在位移为 $s$ 的物体上所做的功，等于力与力方向上位移的乘积，其中 $θ$ 是 $F$ 和 $s$ 之间的夹角。力沿运动方向时功为正，阻碍运动时功为负，与运动方向垂直时功为零。

例:

一个10N的摩擦力与运动方向反向，物体移动5m时，摩擦力做功为 $W = 10 \times 5 \times cos (18 0^{\circ}) = - 50$ J。

动能（KE）是运动物体具有的能量，重力势能（GPE）是物体因处于选定参考面（通常为地面或运动最低点）上方某一高度而储存的能量。所有物理量的单位均为焦耳（J）。

E_k = \frac{1}{2}mv^2, \quad E_p = mgh

📐 例题

一个质量为2kg的质点以6 m s⁻¹的速率在距离地面3m的高度运动。以地面为零势能参考面，计算该点的总机械能（动能+重力势能），取g=9.8 m s⁻²。

1
步骤1：计算动能
2
$E_k = \frac{1}{2}mv^2 = 0.5 \times 2 \times 6^2 = 36 \text{ J}$
3
步骤2：计算重力势能
4
$E_p = mgh = 2 \times 9.8 \times 3 = 58.8 \text{ J}$
5
步骤3：求和得到总机械能
6
$\text{总能量} = 36 + 58.8 = 94.8 \text{ J}$

2. 2. 功-能原理与能量守恒★★★☆☆⏱ 8 min

✓ 计算器

📘 定义

功-能原理

$W_{total} = Δ E_{k}$

作用在系统上所有力做的总功等于系统动能的变化量，包括驱动力、阻力和重力做的功。

例:

如果一辆汽车获得2000J的动能，同时500N的阻力作用了10m，那么发动机做的功为 $2000 + (500 \times 10) = 7000$ J。

机械能守恒是功-能原理的特殊情况，此时不存在非保守力做功。这种情况下，动能和重力势能的总和在运动任意时刻都保持不变：

E_{k1} + E_{p1} = E_{k2} + E_{p2}

📐 例题

一个质量为3kg的小球从距离地面8m高度处由静止释放，空气阻力可忽略。使用能量守恒求小球落地前瞬间的速率，取g=9.8 m s⁻²。

1
步骤1：取地面为零势能面。初始动能为0（由静止释放），初始重力势能为mgh，末态重力势能为0，末态动能为½mv²。
2
步骤2：应用机械能守恒：
3
$E_{k,初始} + E_{p,初始} = E_{k,末态} + E_{p,末态}$
4
$0 + (3 \times 9.8 \times 8) = 0.5 \times 3 \times v^2 + 0$
5
$235.2 = 1.5 v^2$
6
$v^2 = 156.8$
7
$v = \sqrt{156.8} \approx 12.5 \text{ m s}^{-1} (3 \text{位有效数字})$

Exam tip:

即使最终计算结果有误，也要在答题开头说明你使用的是哪条原理（功-能原理或能量守恒），以此获得方法分。

3. 3. 功率计算★★★☆☆⏱ 5 min

✓ 计算器

📘 定义

功率

$P = \frac{W}{t} = F v$

功率是做功的速率，单位为瓦特（W），其中1 W = 1 J s⁻¹。对于恒力 $F$ 作用下沿力方向以恒定速率 $v$ 运动的物体，功率等于力与速率的乘积。

例:

汽车发动机施加2000N的恒定驱动力，同时以30 m s⁻¹的速率运动，其输出功率为 $2000 \times 30 = 60000$ W = 60 kW。

当功率恒定时，你可以通过公式变形求出给定速率下的驱动力，或者给定驱动力下的速率，这类题型常见于车辆爬坡或克服恒定阻力运动的场景。

📐 例题

一辆质量为1500kg的货车沿与水平方向成5°角的直路以20 m s⁻¹的恒定速率上坡，运动总阻力为400N。计算货车发动机的输出功率，结果以kW为单位，取g=9.8 m s⁻²。

1
步骤1：将重力沿路面方向分解，求出沿斜面向下的重力分量：
2
$mg\sin\theta = 1500 \times 9.8 \times \sin(5^\circ) \approx 1281.7 \text{ N}$
3
步骤2：由于速率恒定，驱动力F等于总阻力与沿斜面向下的重力分量之和：
4
$F = 400 + 1281.7 = 1681.7 \text{ N}$
5
步骤3：使用P=Fv计算功率：
6
$P = 1681.7 \times 20 = 33634 \text{ W} \approx 33.6 \text{ kW} (3 \text{位有效数字})$

4. 4. 恒定阻力与斜面类问题★★★★☆⏱ 8 min

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大多数M2功-能类考题涉及粗糙斜面、物体克服恒定阻力运动，或者两者结合的场景。这类问题请务必使用完整的功-能原理，计入所有力做的功：驱动力、阻力、重力，以及法向反力（法向反力与运动方向垂直，做功为零）。

📐 例题

一个质量为4kg的物块以10 m s⁻¹的初速度沿粗糙斜面上滑，斜面与水平方向成10°角，物块与斜面间的动摩擦因数为0.2。使用功-能原理求物块上滑到静止时经过的距离，取g=9.8 m s⁻²。

1
步骤1：设物块沿斜面上滑的距离为s，取初始位置为零势能面。初始动能为½×4×10² = 200 J，末态动能为0，末态重力势能为4×9.8×s×sin10°。
2
步骤2：求摩擦力：先计算法向反力R = mgcosθ = 4×9.8×cos10° ≈ 38.6 N，因此摩擦力F_r = μR = 0.2×38.6 ≈ 7.72 N。
3
步骤3：克服摩擦力做功 = F_r × s = 7.72s，克服重力做功 = 4×9.8×s×sin10° ≈ 6.81s。
4
步骤4：应用功-能原理：初始动能等于克服所有力做的总功：
5
$200 = 7.72s + 6.81s$
6
$200 = 14.53s$
7
$s ≈ 13.8 \text{ m} (3 \text{位有效数字})$

Exam tip:

除非题目另有说明，最终答案一律保留3位有效数字，匹配Edexcel考试中g=9.8 m s⁻²给出的精度。

5. 常见陷阱

错误做法:

对存在摩擦力或驱动力的问题使用机械能守恒

原因:

非保守力会改变系统的总机械能，因此守恒定律不再成立

正确做法:

使用完整的功-能原理，计入所有非重力力做的功

错误做法:

计算做功时忘记取力沿运动方向的分量

原因:

做功仅取决于力中与位移平行的部分

正确做法:

力乘以位移再乘以cosθ，其中θ是力矢量与位移矢量的夹角

错误做法:

阻力做功使用错误的符号

原因:

阻力与运动方向反向，因此做负功，会减少系统总能量

正确做法:

在功-能方程中减去阻力做的功，或者将其作为负值代入

错误做法:

计算重力势能时使用斜面长度代替竖直高度

原因:

重力势能仅取决于竖直位移，与到达该高度的路径无关

正确做法:

斜面场景下使用h = s×sinθ，其中s是沿斜面的距离，θ是斜面倾角

错误做法:

使用g=10 m s⁻²代替9.8 m s⁻²

原因:

Edexcel IAL明确规定所有力学题使用g=9.8，使用10会丢失精度分

正确做法:

所有计算一律使用g=9.8 m s⁻²，最终结果保留3位有效数字

6. 速查表

物理量	公式	单位	关键说明
动能（KE）	$\frac{1}{2} m v^{2}$	焦耳（J）	恒为正，取决于速率而非速度
重力势能（GPE）	$m g h$	焦耳（J）	h是选定参考面上方的竖直高度
恒力做功	$F s cos θ$	焦耳（J）	力阻碍运动时为负，与运动垂直时为零
功率	$\frac{W}{t} = F v$	瓦特（W）	1 W = 1 J s⁻¹，适用于恒力/恒速率场景
功-能原理	$W_{total} = Δ E_{k}$		适用于所有场景，包括非保守力做功的情况
机械能守恒	$E_{k 1} + E_{p 1} = E_{k 2} + E_{p 2}$		仅在非保守力不做功时成立

7. 常见问题

M2考试中我需要背诵动能、重力势能和功率的公式吗？

是的，这些公式不会在Edexcel IAL M2的公式手册中给出，你必须牢记 $E_{k} = \frac{1}{2} m v^{2}$ 、 $E_{p} = m g h$ 、 $P = F v$ 和 $P = \frac{W}{t}$ 。

什么时候使用机械能守恒，什么时候使用功-能原理？

仅在不存在非保守力做功的情况下使用机械能守恒，所有其他场景（包括存在阻力或驱动力的情况）都使用功-能原理。

深入阅读

下一步

掌握Edexcel IAL 数学 M2的功与能量概念后，你就可以继续学习更进阶的力学主题了。功-能原理是理解碰撞与冲量（M2下一个主题）的基础，如果你后续学习进阶数学，它也是M3中更复杂能量系统的前置知识。请务必尽可能多练习本主题的历年真题，该知识点在每一次M2考试中都会出现，通常是6-8分的大题。注意符号规范，明确说明你使用的原理，尽可能拿到所有方法分。如果你对斜面力的分解还不熟练，建议先回顾M1的力与分解知识点，打好基础后再练习难度更高的M2题目。

→质心（M2）