# 刚体的静力学

> Edexcel 国际 A-Level 数学 · IAL M2
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-math-m2-statics-of-rigid-bodies/

本指南涵盖Edexcel IAL M2刚体静力学内容，包括非平行共面力的力矩计算、平衡条件，以及涉及光滑/粗糙表面的梯子/杆问题，完全符合2018年考试大纲要求。

**先修:** [M1 平行力的力矩](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-math-m1-moments-parallel-forces/); [M1 力、摩擦力与质点平衡](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-math-m1-forces-friction-equilibrium/)

## 学习目标

- 计算共面非平行力绕选定支点的力矩
- 应用刚体平衡的两个条件求解未知力问题
- 使用力的分解、力矩和 $F \leq \mu R$ 求解涉及光滑/粗糙接触面的梯子和杆问题
- 选择最优支点以简化考试题目中的力矩计算

## 1. 共面非平行力的力矩

**力的力矩** — 力 $F$ 绕点 $P$ 的转动效应，等于 $F$ 乘以点 $P$ 到力 $F$ 作用线的垂直距离。单位：N m。

*记法:* $M$

*例:* 一个10 N的力在距离P点2 m的垂直位置作用，其绕P点的力矩为20 N m，顺时针方向。

对于以一定角度作用在刚体上的非平行力，你可以直接计算垂直距离，也可以将力分解为水平和竖直分量，再对每个分量的力矩求和。这种分量法在处理涉及倾斜杆或梯子的考试题目时几乎总是更简单。

$$M = F \times d_\bot = F_x y + F_y x$$

其中 $F_x, F_y$ 是力 $F$ 的水平/竖直分量，$x,y$ 是支点到力的作用点的水平/竖直距离。在每道题的开头都要明确说明一致的力矩符号约定（例如逆时针为正）。

**例题:** 一根长度为4 m的均匀杆AB在A点铰接。一个20 N的力在B点沿水平杆上方30°方向作用。计算该20 N的力绕A点的力矩。

1. 将力分解为垂直于杆和平行于杆的分量。平行分量的作用线经过A点，因此力矩为零。
2. $$F_\bot = 20 \times \text{sin}(30^\text{o}) = 10 \text{ N (向上)}$$
3. A点到 $F_\bot$ 作用线的垂直距离等于杆的长度：4 m。
4. $$M = 10 \times 4 = 40 \text{ N m (逆时针)}$$
5. 用分量法验证：10 N的竖直力在水平方向距离A点4 m，水平分量在竖直方向距离A点0 m，得到的结果完全一致。

> **考试提示:** 力矩计算时请务必确认你只使用了力的垂直分量或者垂直距离：如果使用力的总大小或者直线距离，会得到错误结果。

*计算器:* allowed

## 2. 刚体的平衡条件

质点平衡只要求合力为零，但刚体即使合力为零也可能发生转动，因此每道题都必须满足两个平衡条件：

1. 所有方向的合力为零：$\sum F_x = 0$, $\sum F_y = 0$
2. 绕平面内任意点的合力矩为零：$\sum M = 0$

**共面力系** — 所有力都作用在同一二维平面内的力系，也是Edexcel IAL M2刚体静力学部分唯一考察的情况。

**例题:** 一根质量为5 kg、长度为2 m的均匀杆AB在A点铰接，通过一根固定在B点的竖直细绳保持水平。求绳子的张力和铰链处的反力。

1. 绘制受力图：5g N的重力竖直向下作用在AB的中点，张力 $T$ N在B点竖直向上作用，铰链反力在A点分解为水平分量 $R_x$ 和竖直分量 $R_y$。
2. 应用水平方向力平衡：没有水平方向的力作用，因此 $R_x = 0$。
3. $$\text{竖直方向平衡: } R_y + T - 5g = 0$$
4. 对A点取矩，消去 $R_x$ 和 $R_y$：重力产生的顺时针力矩等于张力产生的逆时针力矩。
5. $$2T = 5g \times 1 \\ T = 2.5 \times 9.8 = 24.5 \text{ N}$$
6. 将 $T$ 代回竖直方向平衡方程：$R_y = 5g - 24.5 = 24.5$ N，方向向上。铰链反力为24.5 N，竖直向上。

> **考试提示:** 对未知力作用的点取矩，可以将这些力从方程中消去，减少你需要求解的联立方程数量。

*计算器:* allowed

## 3. 涉及光滑/粗糙接触的梯子和杆问题

本知识点最常见的考试题型是梯子或杆靠在可能光滑或粗糙的墙面和地面上的问题。你需要结合平衡条件和粗糙表面的摩擦定律 $F \leq \mu R$ 进行求解。

> **接触规则提醒**
>
> 光滑表面摩擦力为零，仅存在垂直于表面的法向反力。粗糙表面同时存在法向反力和平行于表面的摩擦力，摩擦力阻碍即将发生的相对滑动。

**例题:** 一根质量为10 kg、长度为6 m的均匀梯子靠在光滑竖直墙面上，放置在粗糙水平地面上。梯子与地面的夹角为60°，梯子和地面之间的摩擦系数 $\mu = 0.3$。判断梯子是否会滑动。

1. 绘制受力图：10g N的重力竖直向下作用在中点，光滑墙面提供水平法向反力 $R_w$，地面提供竖直向上的法向反力 $R_g$，地面处的摩擦力 $F$ 水平指向墙面（阻碍梯子底部向远离墙面的方向滑动）。
2. $$\text{水平方向平衡: } R_w - F = 0 \\ R_w = F$$
3. $$\text{竖直方向平衡: } R_g - 10g = 0 \\ R_g = 10 \times 9.8 = 98 \text{ N}$$
4. 对地面接触点取矩，消去 $R_g$ 和 $F$：重力产生的顺时针力矩等于 $R_w$ 产生的逆时针力矩。
5. $$R_w \times 6 \text{sin}(60^\text{o}) = 10g \times 3 \text{cos}(60^\text{o}) \\ R_w = \frac{147}{3\sqrt{3}} \\ R_w \approx 28.3 \text{ N} = F$$
6. $$\text{最大摩擦力: } F_{max} = \mu R_g = 0.3 \times 98 = 29.4 \text{ N}$$
7. 所需摩擦力 $F = 28.3$ N < $F_{max}$，因此梯子不会滑动。

> **考试提示:** 对于梯子问题，始终先对地面接触点取矩：这会同时消去地面法向反力和摩擦力，只剩下一个未知量可以直接求解。

*计算器:* allowed

## 4. 考试问题求解策略

1. 绘制清晰标注的受力图，标记所有力、作用点和角度
2. 明确说明力矩的符号约定（例如逆时针为正）
3. 写出水平和竖直方向的力平衡方程：$\sum F_x = 0$, $\sum F_y = 0$
4. 选择可以消去最多未知力的支点，写出 $\sum M = 0$ 方程
5. 求解方程组得到未知量
6. 对于摩擦力问题，如果题目要求，将所需摩擦力与 $\mu R$ 比较，判断是否会发生滑动

**概念自测**

检验你对支点选择的理解

1. 如果你需要计算梯子问题中墙面的法向反力，最优的支点应该选在哪里？

   *解析:* 这会将地面法向反力和摩擦力从力矩方程中消去，只剩下墙面法向反力和重力作为未知量，你可以直接求解墙面反力。

> **考试提示:** 考试中即使你后续计算出错，绘制清晰的受力图也会获得步骤分：请务必完成这一步。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 力矩计算时使用力的总大小而不是垂直分量
  - 原因: 只有垂直于支点到力作用点连线方向的力分量才会产生转动效应
  - 正确做法: 要么计算支点到力作用线的垂直距离，要么将力分解为水平/竖直分量，分别计算它们的力矩再求和
- **错误做法:** 忽略力矩平衡条件，只应用质点的力平衡条件
  - 原因: 即使合力为零，刚体也可能发生转动，因此必须同时满足两个平衡条件才能求出所有未知力
  - 正确做法: 每道刚体静力学问题都必须写出两个力平衡方程和一个力矩平衡方程
- **错误做法:** 在光滑接触点处额外添加摩擦力
  - 原因: 根据定义，光滑表面的摩擦力为零，仅存在垂直于接触面的法向反力
  - 正确做法: 仅在题目明确标注的粗糙接触点处添加摩擦力，摩擦力平行于接触面，阻碍即将发生的相对滑动
- **错误做法:** 假设所有平衡问题中的摩擦力都等于 $\mu R$
  - 原因: 只有当物体即将发生滑动时，摩擦力才会达到最大值 $\mu R$；对于一般静平衡状态，摩擦力小于等于该值
  - 正确做法: 先通过平衡条件计算所需的摩擦力，只有当你需要判断是否滑动或者求最小摩擦系数时，才将其与 $\mu R$ 比较
- **错误做法:** 计算过程中混淆力矩的符号约定
  - 原因: 不一致的符号约定会导致力矩求和错误，得到错误的未知力结果
  - 正确做法: 每道题开始时就明确说明你的符号约定，在整个计算过程中对所有力矩统一应用该约定

## 速查表

| 概念 | 规则/公式 | 考试应用场景 |
| --- | --- | --- |
| 力的力矩 | $M = F \times d_\bot$，使用一致的符号约定 | 计算任意共面力的转动效应 |
| 刚体平衡 | $\sum F_x = 0$, $\sum F_y = 0$, $\sum M = 0$ | 求解未知反力、张力、作用力 |
| 光滑接触 | 摩擦力为零，仅存在垂直于表面的法向反力 $R$ | 涉及光滑墙面/地面的问题 |
| 粗糙接触 | $F \leq \mu R$，摩擦力阻碍即将发生的滑动 | 滑动校验、粗糙表面问题 |
| 最优支点 | 选择作用有最多未知力的点作为支点 | 消去未知量，简化力矩方程 |

## 下一步

现在你已经掌握了Edexcel IAL M2的刚体静力学内容，可以继续学习M2的其他核心知识点，包括功能原理、抛体运动和变加速运动学。如果你计划学习M3，本知识点是重要的基础模块，后续你会将平衡概念拓展到三维物体和质心计算。备考时，请优先练习本知识点的完整结构化真题，提升受力图绘制能力、力矩计算速度和最优支点选择能力。请确保你始终正确应用力矩符号约定和摩擦规则，避免丢失不必要的分数。

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