碰撞（力学2）

Q: 完全弹性碰撞应该使用多大的e值？

完全弹性碰撞使用，此时没有动能损失。对于碰撞后质点粘在一起的完全非弹性碰撞，使用。

Edexcel 国际A-Level 数学· 2018 Issue 3, M2 §4.1-4.3· 25 分钟阅读

1. 矢量动量与冲量-动量原理★★☆☆☆⏱ 5 min

✓ 计算器

📘 定义

线动量

\vec{p} = m\vec{v}

矢量，等于质点质量与速度的乘积，单位为千克·米每秒（kg m s⁻¹）。

例:

一个质量为2kg的质点以3 m s⁻¹向右运动，其动量为 $6 i$ kg m s⁻¹。

对于任意碰撞，作用在质点上的冲量等于其动量变化（冲量-动量原理）。对于不受外力的碰撞质点组成的封闭系统，总线动量守恒：碰撞前的总动量等于碰撞后的总动量。

📐 例题

一个质量为2kg的质点以 $3 i$ m s⁻¹运动，与一个质量为3kg、以 $- 1 i$ m s⁻¹运动的质点发生碰撞。碰撞后，2kg的质点以 $- 1.5 i$ m s⁻¹运动。求碰撞后3kg质点的速度，以及作用在2kg质点上的冲量。

1
应用线动量守恒：碰撞前总动量 = 碰撞后总动量
$m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$
2
将已知数值代入方程
$2(3\vec{i}) + 3(-1\vec{i}) = 2(-1.5\vec{i}) + 3v_2$
3
$6\vec{i} - 3\vec{i} = -3\vec{i} + 3v_2 \implies 3\vec{i} + 3\vec{i} = 3v_2 \implies v_2 = 2\vec{i} \text{ m s}^{-1}$
4
将2kg质点的动量变化作为其受到的冲量进行计算
$\vec{I} = m_1(v_1 - u_1) = 2(-1.5\vec{i} - 3\vec{i}) = -9\vec{i} \text{ N s}$

Exam tip:

在每道题的开头都要明确指定正方向，避免动量计算中出现符号错误。

2. 牛顿恢复定律与能量损失★★★☆☆⏱ 7 min

✓ 计算器

📘 定义

恢复系数

e

两个碰撞物体的分离速率与接近速率的无量纲比值，取值范围为 $0 \leq e \leq 1$ 。

例:

$e = 1$ = 完全弹性（无动能损失）， $e = 0$ = 完全非弹性（质点碰撞后粘在一起）。

对于正碰，牛顿恢复定律指出： $分离速率 = e \times 接近速率$ 。碰撞过程中的机械能损失等于碰撞前后总动能的差值。

📐 例题

质点A（1kg）和质点B（2kg）分别以4 m s⁻¹和1 m s⁻¹的速率相向运动，恢复系数 $e = 0.6$ 。求碰撞后两质点的速率以及损失的总动能。

1
将A的初始运动方向设为正方向。接近速率 = $4 - (- 1) = 5$ m s⁻¹
$v_B - v_A = e \times \text{approach speed} = 0.6 \times 5 = 3$
2
写出动量守恒方程
$1(4) + 2(-1) = v_A + 2v_B \implies v_A + 2v_B = 2$
3
联立求解：将 $v_{A} = v_{B} - 3$ 代入动量方程
$(v_B - 3) + 2v_B = 2 \implies 3v_B = 5 \implies v_B = \frac{5}{3} \approx 1.67 \text{ m s}^{-1}$
4
$v_A = \frac{5}{3} - 3 = -\frac{4}{3} \approx -1.33 \text{ m s}^{-1} (A以1.33 m s⁻¹的速率反向运动)$
5
计算碰撞前的总动能
$KE_{before} = 0.5(1)(4)^2 + 0.5(2)(1)^2 = 8 + 1 = 9 \text{ J}$
6
计算碰撞后的总动能
$KE_{after} = 0.5(1)(\frac{16}{9}) + 0.5(2)(\frac{25}{9}) = \frac{11}{3} \approx 3.67 \text{ J}$
7
计算能量损失
$KE_{loss} = 9 - \frac{11}{3} = \frac{16}{3} \approx 5.33 \text{ J}$

Exam tip:

如果你计算出负的能量损失，说明你在恢复系数方程中混淆了分离速率和接近速率。

3. 与光滑固定平面的碰撞★★★☆☆⏱ 6 min

✓ 计算器

当质点直接碰撞光滑固定平面时，只有垂直于平面的速度分量发生变化（由于无摩擦力作用，平行分量保持不变）。恢复系数方程简化为 $v_{反弹} = e \times v_{接近}$ ，其中 $v_{接近}$ 是质点撞击平面的速率。

📐 例题

一个质量为0.5kg的小球从距离光滑水平地面2m的高度由静止释放，恢复系数 $e = 0.8$ 。求第一次反弹后小球能到达的最大高度，以及地面对小球施加的冲量。

1
使用 $v^{2} = u^{2} + 2 a s$ 计算小球即将撞击地面前的速率，取 $g = 9.8$ m s⁻²
$v^2 = 0 + 2(9.8)(2) = 39.2 \implies v = \sqrt{39.2} \approx 6.26 \text{ m s}^{-1} (向下)$
2
应用恢复系数求反弹速率
$v_{rebound} = 0.8 \times 6.26 \approx 5.01 \text{ m s}^{-1} (向上)$
3
使用 $v^{2} = u^{2} + 2 a s$ （末速率为0）计算反弹后的最大高度
$0 = (5.01)^2 + 2(-9.8)s \implies s = \frac{25.1}{19.6} \approx 1.28 \text{ m}$
4
计算冲量（动量变化，取向上为正方向）
$I = 0.5(5.01 - (-6.26)) = 0.5(11.27) \approx 5.64 \text{ N s}$

Exam tip:

质点-平面碰撞不要使用动量守恒：平面的质量视为无穷大，因此不会发生运动。

4. 多个质点之间的连续碰撞★★★★☆⏱ 7 min

✓ 计算器

对于最多3个质点之间的连续碰撞，依次求解每一次碰撞：将第一次碰撞得到的末速度作为下一次碰撞的初速度。对每一对碰撞质点同时应用动量守恒和恢复定律。

📐 例题

三个质点A（1kg）、B（1kg）、C（2kg）沿同一直线静止放置。A以4 m s⁻¹的速率向B运动。 $e_{A B} = 1$ ， $e_{B C} = 0.5$ 。求所有碰撞结束后质点C的速率。

1
第一次碰撞：A和B，完全弹性（ $e = 1$ ）。动量守恒
$1(4) + 1(0) = v_A + v_B \implies v_A + v_B = 4$
2
A和B的恢复系数方程
$v_B - v_A = 1 \times 4 = 4$
3
求解：两式相加得到 $2 v_{B} = 8 ⟹ v_{B} = 4$ m s⁻¹， $v_{A} = 0$ m s⁻¹。A停止运动，B以4 m s⁻¹的速率向C运动。
4
第二次碰撞：B和C， $e = 0.5$ 。动量守恒
$1(4) + 2(0) = v_B' + 2v_C \implies v_B' + 2v_C = 4$
5
B和C的恢复系数方程
$v_C - v_B' = 0.5 \times 4 = 2$
6
求解：将 $v_{B}^{'} = v_{C} - 2$ 代入动量方程
$(v_C - 2) + 2v_C = 4 \implies 3v_C = 6 \implies v_C = 2 \text{ m s}^{-1}$

Exam tip:

每次碰撞后检查相对速度：如果后方质点的运动速率小于前方质点，就不会发生进一步碰撞。

5. 常见陷阱

错误做法:

使用标量动量而非带符号/矢量值，忽略运动方向

原因:

动量是矢量，因此方向变化会改变计算中使用的动量值

正确做法:

在每道题的开头明确指定正方向，所有速度都使用一致的符号

错误做法:

在恢复系数方程中交换分离速率和接近速率

原因:

这会导致无效的负e值或负的能量损失，在物理上是不可能的

正确做法:

将恢复系数写为 $v_{2} - v_{1} = e (u_{1} - u_{2})$ ，对速度使用一致的符号约定

错误做法:

将动量守恒应用于质点与固定平面之间的碰撞

原因:

平面的质量视为无穷大，因此无法用该方法计算系统的总动量

正确做法:

对于质点-平面碰撞，仅根据需要使用恢复规则 $v_{反弹} = e u$ 和运动学公式

错误做法:

仅计算单个质点的能量损失而非整个系统的能量损失

原因:

能量损失是所有碰撞物体的动能总减少量

正确做法:

将所有质点碰撞前的动能求和，将它们碰撞后的动能求和，用前者减去后者

错误做法:

假设所有可能的连续碰撞都会发生，不检查相对速度

原因:

如果后方质点的运动速率小于前方质点，它们就不会再次碰撞

正确做法:

每次碰撞后检查相对速率，确认是否可能发生进一步碰撞后再继续计算

6. 速查表

概念	公式/规则	关键说明
动量守恒	$m_{1} u_{1} + m_{2} u_{2} = m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2}$	使用带符号/矢量速度；仅适用于封闭系统
牛顿恢复定律	$分离速率 = e \times 接近速率$	$0 \leq e \leq 1$ ； $e = 1$ 为弹性碰撞， $e = 0$ 为非弹性碰撞
碰撞能量损失	$K E_{损失} = \sum K E_{前} - \sum K E_{后}$	始终非负；除非高度发生变化，否则忽略势能
质点-平面碰撞	$v_{反弹} = e \times v_{接近}$	光滑平面下平行速度不变；无需使用动量守恒
连续碰撞	依次求解每一次碰撞	每一步后检查相对速度，确认是否会发生进一步碰撞

7. 常见问题

完全弹性碰撞应该使用多大的e值？

完全弹性碰撞使用 $e = 1$ ，此时没有动能损失。对于碰撞后质点粘在一起的完全非弹性碰撞，使用 $e = 0$ 。

与光滑平面碰撞时需要考虑摩擦力吗？

不需要，光滑平面摩擦力为零，因此碰撞过程中只有垂直于平面的速度分量发生变化；平行于平面的速度分量保持不变。

碰撞中的能量损失可以为负吗？

不可以，能量损失始终为非负值。如果你计算出负值，说明你在恢复系数方程中混淆了分离速率和接近速率。

深入阅读

下一步

现在你已经掌握了Edexcel IAL M2的碰撞问题，可以继续学习更进阶的力学主题。碰撞原理经常与功、能量和功率概念结合出现在分值8-12分的考题中，复习这些内容将帮助你在解题类题目中拿到满分。你还需要练习历年真题中的碰撞题，熟悉Edexcel的评分标准要求。接下来你可以学习质心，这是M2的另一个核心考点，经常和碰撞结合出现在多部分考题中。