# 碰撞（力学2）

> Edexcel 国际A-Level 数学 · IAL M2 WME02
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-math-m2-collisions/

本复习指南涵盖Edexcel IAL 数学 M2 (WME02) IA2考试要求的矢量动量、冲量-动量原理、牛顿恢复定律、碰撞中的能量损失以及连续碰撞内容。

**先修:** [一维线动量（Edexcel IAL M1）](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-math-m1-linear-momentum/); [功、能量与功率计算](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-math-m1-work-energy-power/)

## 学习目标

- 将矢量动量与冲量-动量原理应用于碰撞问题
- 对质点间的直接弹性碰撞使用牛顿恢复定律
- 计算碰撞过程中的机械能损失
- 解决最多3个质点之间或质点与光滑固定平面之间的连续碰撞问题

## 矢量动量与冲量-动量原理

**线动量** — 矢量，等于质点质量与速度的乘积，单位为千克·米每秒（kg m s⁻¹）。

*记法:* \vec{p} = m\vec{v}

*例:* 一个质量为2kg的质点以3 m s⁻¹向右运动，其动量为$6\vec{i}$ kg m s⁻¹。

对于任意碰撞，作用在质点上的冲量等于其动量变化（冲量-动量原理）。对于不受外力的碰撞质点组成的封闭系统，总线动量守恒：碰撞前的总动量等于碰撞后的总动量。

**例题:** 一个质量为2kg的质点以$3\vec{i}$ m s⁻¹运动，与一个质量为3kg、以$-1\vec{i}$ m s⁻¹运动的质点发生碰撞。碰撞后，2kg的质点以$-1.5\vec{i}$ m s⁻¹运动。求碰撞后3kg质点的速度，以及作用在2kg质点上的冲量。

1. 应用线动量守恒：碰撞前总动量 = 碰撞后总动量

   $$m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$$
2. 将已知数值代入方程

   $$2(3\vec{i}) + 3(-1\vec{i}) = 2(-1.5\vec{i}) + 3v_2$$
3. $$6\vec{i} - 3\vec{i} = -3\vec{i} + 3v_2 \implies 3\vec{i} + 3\vec{i} = 3v_2 \implies v_2 = 2\vec{i} \text{ m s}^{-1}$$
4. 将2kg质点的动量变化作为其受到的冲量进行计算

   $$\vec{I} = m_1(v_1 - u_1) = 2(-1.5\vec{i} - 3\vec{i}) = -9\vec{i} \text{ N s}$$

> **考试提示:** 在每道题的开头都要明确指定正方向，避免动量计算中出现符号错误。

*计算器:* allowed

## 牛顿恢复定律与能量损失

**恢复系数** — 两个碰撞物体的分离速率与接近速率的无量纲比值，取值范围为$0 \leq e \leq 1$。

*记法:* e

*例:* $e=1$ = 完全弹性（无动能损失），$e=0$ = 完全非弹性（质点碰撞后粘在一起）。

对于正碰，牛顿恢复定律指出：$\text{分离速率} = e \times \text{接近速率}$。碰撞过程中的机械能损失等于碰撞前后总动能的差值。

**例题:** 质点A（1kg）和质点B（2kg）分别以4 m s⁻¹和1 m s⁻¹的速率相向运动，恢复系数$e=0.6$。求碰撞后两质点的速率以及损失的总动能。

1. 将A的初始运动方向设为正方向。接近速率 = $4 - (-1) = 5$ m s⁻¹

   $$v_B - v_A = e \times \text{approach speed} = 0.6 \times 5 = 3$$
2. 写出动量守恒方程

   $$1(4) + 2(-1) = v_A + 2v_B \implies v_A + 2v_B = 2$$
3. 联立求解：将$v_A = v_B - 3$代入动量方程

   $$(v_B - 3) + 2v_B = 2 \implies 3v_B = 5 \implies v_B = \frac{5}{3} \approx 1.67 \text{ m s}^{-1}$$
4. $$v_A = \frac{5}{3} - 3 = -\frac{4}{3} \approx -1.33 \text{ m s}^{-1} (A以1.33 m s⁻¹的速率反向运动)$$
5. 计算碰撞前的总动能

   $$KE_{before} = 0.5(1)(4)^2 + 0.5(2)(1)^2 = 8 + 1 = 9 \text{ J}$$
6. 计算碰撞后的总动能

   $$KE_{after} = 0.5(1)(\frac{16}{9}) + 0.5(2)(\frac{25}{9}) = \frac{11}{3} \approx 3.67 \text{ J}$$
7. 计算能量损失

   $$KE_{loss} = 9 - \frac{11}{3} = \frac{16}{3} \approx 5.33 \text{ J}$$

> **考试提示:** 如果你计算出负的能量损失，说明你在恢复系数方程中混淆了分离速率和接近速率。

*计算器:* allowed

## 与光滑固定平面的碰撞

当质点直接碰撞光滑固定平面时，只有垂直于平面的速度分量发生变化（由于无摩擦力作用，平行分量保持不变）。恢复系数方程简化为$v_{反弹} = e \times v_{接近}$，其中$v_{接近}$是质点撞击平面的速率。

**例题:** 一个质量为0.5kg的小球从距离光滑水平地面2m的高度由静止释放，恢复系数$e=0.8$。求第一次反弹后小球能到达的最大高度，以及地面对小球施加的冲量。

1. 使用$v^2 = u^2 + 2as$计算小球即将撞击地面前的速率，取$g=9.8$ m s⁻²

   $$v^2 = 0 + 2(9.8)(2) = 39.2 \implies v = \sqrt{39.2} \approx 6.26 \text{ m s}^{-1} (向下)$$
2. 应用恢复系数求反弹速率

   $$v_{rebound} = 0.8 \times 6.26 \approx 5.01 \text{ m s}^{-1} (向上)$$
3. 使用$v^2 = u^2 + 2as$（末速率为0）计算反弹后的最大高度

   $$0 = (5.01)^2 + 2(-9.8)s \implies s = \frac{25.1}{19.6} \approx 1.28 \text{ m}$$
4. 计算冲量（动量变化，取向上为正方向）

   $$I = 0.5(5.01 - (-6.26)) = 0.5(11.27) \approx 5.64 \text{ N s}$$

> **考试提示:** 质点-平面碰撞不要使用动量守恒：平面的质量视为无穷大，因此不会发生运动。

*计算器:* allowed

## 多个质点之间的连续碰撞

对于最多3个质点之间的连续碰撞，依次求解每一次碰撞：将第一次碰撞得到的末速度作为下一次碰撞的初速度。对每一对碰撞质点同时应用动量守恒和恢复定律。

**例题:** 三个质点A（1kg）、B（1kg）、C（2kg）沿同一直线静止放置。A以4 m s⁻¹的速率向B运动。$e_{AB}=1$，$e_{BC}=0.5$。求所有碰撞结束后质点C的速率。

1. 第一次碰撞：A和B，完全弹性（$e=1$）。动量守恒

   $$1(4) + 1(0) = v_A + v_B \implies v_A + v_B = 4$$
2. A和B的恢复系数方程

   $$v_B - v_A = 1 \times 4 = 4$$
3. 求解：两式相加得到$2v_B = 8 \implies v_B = 4$ m s⁻¹，$v_A = 0$ m s⁻¹。A停止运动，B以4 m s⁻¹的速率向C运动。
4. 第二次碰撞：B和C，$e=0.5$。动量守恒

   $$1(4) + 2(0) = v_B' + 2v_C \implies v_B' + 2v_C = 4$$
5. B和C的恢复系数方程

   $$v_C - v_B' = 0.5 \times 4 = 2$$
6. 求解：将$v_B' = v_C - 2$代入动量方程

   $$(v_C - 2) + 2v_C = 4 \implies 3v_C = 6 \implies v_C = 2 \text{ m s}^{-1}$$

> **考试提示:** 每次碰撞后检查相对速度：如果后方质点的运动速率小于前方质点，就不会发生进一步碰撞。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 使用标量动量而非带符号/矢量值，忽略运动方向
  - 原因: 动量是矢量，因此方向变化会改变计算中使用的动量值
  - 正确做法: 在每道题的开头明确指定正方向，所有速度都使用一致的符号
- **错误做法:** 在恢复系数方程中交换分离速率和接近速率
  - 原因: 这会导致无效的负e值或负的能量损失，在物理上是不可能的
  - 正确做法: 将恢复系数写为$v_2 - v_1 = e(u_1 - u_2)$，对速度使用一致的符号约定
- **错误做法:** 将动量守恒应用于质点与固定平面之间的碰撞
  - 原因: 平面的质量视为无穷大，因此无法用该方法计算系统的总动量
  - 正确做法: 对于质点-平面碰撞，仅根据需要使用恢复规则$v_{反弹} = eu$和运动学公式
- **错误做法:** 仅计算单个质点的能量损失而非整个系统的能量损失
  - 原因: 能量损失是所有碰撞物体的动能总减少量
  - 正确做法: 将所有质点碰撞前的动能求和，将它们碰撞后的动能求和，用前者减去后者
- **错误做法:** 假设所有可能的连续碰撞都会发生，不检查相对速度
  - 原因: 如果后方质点的运动速率小于前方质点，它们就不会再次碰撞
  - 正确做法: 每次碰撞后检查相对速率，确认是否可能发生进一步碰撞后再继续计算

## 速查表

| 概念 | 公式/规则 | 关键说明 |
| --- | --- | --- |
| 动量守恒 | $m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$ | 使用带符号/矢量速度；仅适用于封闭系统 |
| 牛顿恢复定律 | $\text{分离速率} = e \times \text{接近速率}$ | $0 \leq e \leq 1$；$e=1$为弹性碰撞，$e=0$为非弹性碰撞 |
| 碰撞能量损失 | $KE_{损失} = \sum KE_{前} - \sum KE_{后}$ | 始终非负；除非高度发生变化，否则忽略势能 |
| 质点-平面碰撞 | $v_{反弹} = e \times v_{接近}$ | 光滑平面下平行速度不变；无需使用动量守恒 |
| 连续碰撞 | 依次求解每一次碰撞 | 每一步后检查相对速度，确认是否会发生进一步碰撞 |

## 下一步

现在你已经掌握了Edexcel IAL M2的碰撞问题，可以继续学习更进阶的力学主题。碰撞原理经常与功、能量和功率概念结合出现在分值8-12分的考题中，复习这些内容将帮助你在解题类题目中拿到满分。你还需要练习历年真题中的碰撞题，熟悉Edexcel的评分标准要求。接下来你可以学习质心，这是M2的另一个核心考点，经常和碰撞结合出现在多部分考题中。

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