质点静力学（Edexcel IAL M1）

Q: 静力学问题中什么时候使用 F = μR，什么时候使用 F ≤ μR？

所有处于平衡状态的静止质点都使用 F ≤ μR。只有当题目明确说明质点即将运动（极限平衡状态）时，才使用 F = μR。对于运动的质点，F = μR 在动力学主题中使用。

Q: 做平衡题的时候必须用拉密定理吗？

不需要，Edexcel 考试接受力的分解、力的三角形法则或者拉密定理，但力的分解是所有题型下最可靠的方法，考试中推荐使用以避免出错。

Edexcel 国际A-Level 数学· 2018 Specification (Issue 3) WME01 §5· 25 分钟阅读

1. 1. 共面力的分解★★☆☆☆⏱ 7 min

✓ 计算器

📘 定义

共面力

全部作用在同一二维平面内的力，是 M1 质点静力学覆盖的唯一情况

要将与选定轴成 $θ$ 角的力 $F$ 分解，将其拆分为两个垂直分量：沿轴方向的分量为 $F cos θ$ ，垂直于轴方向的分量为 $F sin θ$ 。对于斜面问题，选择平行和垂直于斜面的轴而非水平/竖直轴可以简化计算。请始终先绘制标注完整的受力图。

📐 例题

大小为 20 N 的力作用在质点上，方向与水平方向成 30° 角向上。求该力的水平和竖直分量，答案保留三位有效数字。

1
步骤 1：确定力 $F = 20$ N，与水平方向的夹角 $θ = 3 0^{\circ}$
2
$F_x = 20\cos30^\circ = 10\sqrt{3} ≈ 17.3 \text{ N（水平分量，向右）}$
3
$F_y = 20\sin30^\circ = 10 \text{ N（竖直分量，向上）}$

2. 2. 质点的平衡★★★☆☆⏱ 8 min

✓ 计算器

📘 定义

质点平衡

如果作用在质点上的所有共面力的合力为零，即每个垂直轴方向的力的总和都等于 0，则质点处于平衡状态。

平衡问题中常见的力包括：重力（ $W = m g$ ，竖直向下作用）、法向反力（ $R$ ，垂直于接触面指向质点）、张力（绳子/绳索中的拉力，沿绳子方向背离质点）、推力（刚性杆中的推力，沿杆方向指向质点）。

📐 例题

质量为 2 kg 的质点由两根完全相同的竖直绳子悬挂静止，两根绳子均分质点重量。求每根绳子的张力。

1
步骤 1：计算重力： $W = 2 \times 9.8 = 19.6$ N，方向向下。绘制受力图，标注重力和两个相等的向上张力 $T_{1}, T_{2}$ 。
2
步骤 2：沿竖直向上方向分解：向上的力总和等于向下的力总和，因此 $T_{1} + T_{2} = 19.6$
3
步骤 3：两根绳子张力相等，因此 $T_{1} = T_{2} = 19.6/2 = 9.8$ N。

3. 3. 静摩擦与极限平衡★★★★☆⏱ 7 min

✓ 计算器

📘 定义

极限摩擦

两个静止接触面之间的最大静摩擦力，由 $F_{ma x} = μ R$ 给出。对于未处于运动临界点的平衡质点，满足 $F \leq μ R$ 。

摩擦力的作用方向始终与质点在无摩擦情况下的运动方向相反。只有当题目说明质点"即将滑动"、"处于极限平衡状态"或"刚好要运动"时，才使用 $F = μ R$ 。对于所有其他静力学场景，摩擦力的大小等于它所平衡的外力的大小，该值小于 $μ R$ 。

📐 例题

质量为 3 kg 的物块静止放在粗糙水平面上，摩擦系数 $μ = 0.2$ 。对物块施加大小为 5 N 的水平力，物块保持静止。求作用在物块上的摩擦力大小，并验证其小于极限摩擦值。

1
步骤 1：竖直方向分解：法向反力 $R = W = 3 \times 9.8 = 29.4$ N
2
$F_{max} = \mu R = 0.2 \times 29.4 = 5.88 \text{ N（极限摩擦）}$
3
步骤 2：水平方向分解：5 N 的外力向右，因此摩擦力 $F = 5$ N 向左，与外力平衡。
4
步骤 3：验证 $5 < 5.88$ ，因此物块如题目所述保持静止。

4. 4. 综合静力学考试真题★★★★☆⏱ 8 min

✓ 计算器

大多数考试中的静力学题目会结合力的分解、平衡和摩擦力知识点，通常涉及斜面上的质点或由绳子连接的质点。在开始计算之前，请务必先绘制一张标注完整的清晰受力图。

📐 例题

质量为 5 kg 的质点刚好要沿倾角 20° 的粗糙斜面向上滑动，质点受到一根平行于斜面向上拉的绳子作用（极限平衡状态，张力达到最大值）。质点与斜面之间的摩擦系数为 0.3。求绳子的张力，答案保留三位有效数字。

1
步骤 1：绘制受力图：重力 $W = 5 \times 9.8 = 49$ N 竖直向下，法向反力 $R$ 垂直斜面向上，张力 $T$ 沿斜面向上，摩擦力 $F$ 沿斜面向下（质点即将向上滑动，因此摩擦力阻碍该向上运动）。
2
$\text{垂直斜面方向分解： } R = W\cos20^\circ = 49\cos20^\circ ≈ 46.04 \text{ N}$
3
$\text{极限平衡状态，因此 } F = \mu R = 0.3 \times 46.04 ≈ 13.81 \text{ N}$
4
$\text{沿斜面向上为正方向分解： } T = W\sin20^\circ + F ≈ 49\sin20^\circ + 13.81 ≈ 30.6 \text{ N}$

5. 常见陷阱

错误做法:

对所有静摩擦问题都使用 $F = μ R$

原因:

$F = μ R$ 仅适用于质点处于极限平衡（即将运动）的情况。对于未达到极限摩擦的静止质点，摩擦力等于与之平衡的外力，该值小于 $μ R$ 。

正确做法:

只有当题目明确说明质点即将运动、处于极限平衡状态或即将滑动时，才使用 $F = μ R$ 。

错误做法:

分解与竖直方向成角度的力时，将 $sin$ 和 $cos$ 写反

原因:

力沿与之成 $θ$ 角的轴的分量始终是 $F cos θ$ ，无论该轴是水平还是竖直。

正确做法:

核对角度参考：如果 $θ$ 是力与你正在分解的轴之间的夹角，该轴对应的分量使用 $cos θ$ ，垂直分量使用 $sin θ$ 。

错误做法:

假设法向反力 $R$ 始终等于重力 $m g$

原因:

在斜面上，或者当施加的力存在竖直分量时，法向反力不等于重力。

正确做法:

始终通过沿垂直于接触面的方向分解力来推导 $R$ ，不要直接假设 $R = m g$ 。

错误做法:

摩擦力方向绘制错误

原因:

摩擦力阻碍质点在无摩擦情况下的运动方向，而不是任意外力的方向。

正确做法:

标注摩擦力之前先自问："如果移除摩擦力，质点会向哪个方向运动？"摩擦力的方向与该方向相反。

错误做法:

使用 $g = 9.81$ 或 $10$ m s⁻² 而非 $9.8$ m s⁻²

原因:

Edexcel IAL M1 明确要求使用 $g = 9.8$ m s⁻²，使用其他值会导致精度分丢失。

正确做法:

除非题目指定不同值，否则所有计算中始终代入 $g = 9.8$ m s⁻²。

6. 速查表

概念	规则	考试提醒
力的分解	沿轴分量 = $F cos θ$ ，垂直分量 = $F sin θ$ （θ = 力与轴的夹角）	斜面问题选择与斜面平行的轴可以简化方程
质点平衡	每个垂直轴方向的力的总和 = 0	清晰标注你分解力的方向以获得步骤分
静摩擦	静止质点满足 $F \leq μ R$ ；仅极限平衡时 $F = μ R$	除非题目说明质点即将运动，否则不要使用 $F = μ R$
常见力	$W = m g$ （向下）， $R$ （垂直于表面），张力（沿绳子拉力），推力（沿杆推力）	开始任何计算之前先绘制完整标注的受力图

7. 常见问题

静力学问题中什么时候使用 F = μR，什么时候使用 F ≤ μR？

所有处于平衡状态的静止质点都使用 F ≤ μR。只有当题目明确说明质点即将运动（极限平衡状态）时，才使用 F = μR。对于运动的质点，F = μR 在动力学主题中使用。

做平衡题的时候必须用拉密定理吗？

不需要，Edexcel 考试接受力的分解、力的三角形法则或者拉密定理，但力的分解是所有题型下最可靠的方法，考试中推荐使用以避免出错。

深入阅读

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下一步

掌握质点静力学之后，你就可以进入 Edexcel IAL M1 的下一个核心主题：质点动力学。在动力学中，你将使用在这里练习的力的分解技能，结合牛顿运动定律求解涉及运动质点的问题，在这类问题中粗糙表面之间的所有运动场景都适用 $F = μ R$ 。后续学习 M2 刚体静力学时，你会在这些平衡技能的基础上研究杆、梯子等扩展物体，但请记住 M1 的所有静力学问题都仅针对质点，不需要考虑力矩。定期练习往年真题中的静力学题目可以帮助你避免常见错误，提升解题速度以应对考试。