# 质点沿直线运动的运动学

> Edexcel 国际A-Level 数学 · IAL M1
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-math-m1-kinematics-of-a-particle-moving/

本指南涵盖Edexcel IAL M1匀加速直线运动学，包括完整的suvat公式集、4种运动图像类型，以及符合2018年IAS考纲要求的考试题型求解方法。

**先修:** [标量和矢量的基础概念](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-math-m1-introduction-to-mechanics/); 计算直线图像斜率和面积的能力

## 学习目标

- 熟记并应用全部5个适用于匀加速直线运动的suvat公式
- 解读位移-时间、速度-时间、速率-时间和加速度-时间图像
- 从运动图像中计算斜率（速度/加速度）和面积（位移/路程）
- 使用代数和图像方法求解Edexcel IAL M1考试风格的运动学问题
- 对竖直运动应用统一的符号约定，取g = 9.8 m s⁻²

## Suvat符号体系与公式

**匀加速运动** — 质点沿直线运动，加速度在整个时间间隔内的大小和方向都保持固定，可通过5个suvat公式描述。

*例:* 一辆汽车从静止开始在10秒内匀加速到20 m s⁻¹

每个suvat公式都省略了5个变量中的一个，因此如果你已知3个其他变量的值，就可以求解未知量。完整的公式集如下：

$$v = u + at \quad \text{(omits } s\text{)}$$

$$s = ut + \frac{1}{2} a t^2 \quad \text{(omits } v\text{)}$$

$$s = vt - \frac{1}{2} a t^2 \quad \text{(omits } u\text{)}$$

$$v^2 = u^2 + 2 a s \quad \text{(omits } t\text{)}$$

$$s = \frac{1}{2}(u + v) t \quad \text{(omits } a\text{)}$$

> **tip**
>
> 首先列出你已知的3个变量和1个目标未知量，选择省略未使用变量的公式，避免不必要的联立方程计算。

**例题:** 一名骑行者从静止开始匀加速，在40米的距离内速度达到12 m s⁻¹。计算骑行者的加速度大小，保留2位有效数字。

1. 列出已知值：$u = 0$ m s⁻¹, $v = 12$ m s⁻¹, $s = 40$ m。目标未知量是$a$，未使用的变量是$t$，因此使用$v^2 = u^2 + 2as$。
2. $$12^2 = 0^2 + 2 \times a \times 40$$
3. $$144 = 80a$$
4. $$a = \frac{144}{80} = 1.8 \text{ m s}^{-2} \text{ (2 s.f.)}$$

> **考试提示:** 对于竖直运动，明确说明你选定的正方向（通常取向上为正），避免g的符号错误。

*计算器:* allowed

## 位移-时间图像与加速度-时间图像

**位移-时间图像** — 以时间为横轴、相对于固定原点的位移为纵轴的图像，任意直线段的斜率等于该时间间隔内质点的恒定速度。

对于匀加速运动，位移-时间图像由直线段组成：水平线表示质点静止，正斜率表示沿正方向运动，负斜率表示沿反方向运动。

**例题:** 一辆汽车以恒定15 m s⁻¹的速度行驶6秒，随后保持静止4秒。计算10秒后汽车的总位移。

1. 第一段（0到6秒）：斜率=15 m s⁻¹，因此位移 = $15 \times 6 = 90$ m。
2. 第二段（6到10秒）：斜率=0，因此位移不变，保持在90 m。
3. 10秒后的总位移 = 90 m。

匀加速运动的加速度-时间图像是水平直线：值为0的直线表示速度恒定，正水平线表示恒定正加速度，负水平线表示恒定减速。一段时间间隔内直线下方的面积等于该间隔内的速度变化量。

> **考试提示:** 如果质点经过原点向反方向运动，位移可以为负，因此图像可以延伸到x轴下方。

*计算器:* allowed

## 速度-时间图像与速率-时间图像

**速度-时间图像** — 以时间为横轴、速度为纵轴的图像，直线段的斜率等于恒定加速度，直线下方的带符号总面积等于总位移。

> **note**
>
> 速率-时间图像绘制的是速度的绝对值，因此所有值都为正。速率-时间图像下的总面积等于运动的总路程，与运动方向无关。

**例题:** 一台电梯从静止开始以1 m s⁻²匀加速3秒，随后以恒定速度运动5秒，再匀减速2秒后静止。使用速度-时间图像计算电梯的总位移。

1. 计算最大速度：$v = u + at = 0 + 1 \times 3 = 3$ m s⁻¹。
2. 速度-时间图像下的总面积 = 第一个三角形面积 + 矩形面积 + 最后一个三角形面积：
3. $$\text{Area} = (\frac{1}{2} \times 3 \times 3) + (3 \times 5) + (\frac{1}{2} \times 2 \times 3) = 4.5 + 15 + 3 = 22.5 \text{ m}$$

> **考试提示:** 要从速度-时间图像得到总路程，先取x轴下方所有面积的绝对值，再将所有面积相加。

*计算器:* allowed

## Suvat公式与图像结合的问题求解

**考试命令词**

运动学题目中常见的指令术语：

- **Show that** — 使用suvat或图像方法推导给定结果，展示全部计算过程 *(证明小球的最大高度为11 m)*

- **Sketch** — 绘制带标注的图像，在坐标轴上标记关键值，不需要坐标纸 *(画出电梯运动的速度-时间图像)*

- **Find** — 计算未知量，展示中间步骤以获得全部分值

**例题:** 一个小球从地面竖直向上抛出，初速度为14.7 m s⁻¹。忽略空气阻力，取g = 9.8 m s⁻²。求小球到达的最大高度，以及落地前的总空中运动时间。

1. 定义向上为正方向，因此$a = -9.8$ m s⁻²。在最大高度处，$v = 0$。目标未知量：$s$，未使用变量：$t$，因此使用$v^2 = u^2 + 2as$。
2. $$0 = 14.7^2 + 2(-9.8)s$$
3. $$s = \frac{216.09}{19.6} = 11.025 \approx 11 \text{ m (2 s.f.)}$$
4. 求总空中时间，使用$s = ut + \frac{1}{2} a t^2$，其中$s = 0$（小球返回地面）：
5. $$0 = 14.7t - 4.9 t^2$$
6. $$t(14.7 - 4.9t) = 0 \implies t = 0 \text{ (初始时刻)} \text{ 或 } t = 3 \text{ s}$$

> **考试提示:** 使用图像方法交叉验证suvat代数计算的答案，反之亦然，在考试中及时发现符号或算术错误。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 对变加速运动使用suvat公式
  - 原因: Suvat仅适用于加速度恒定的情况；变加速运动需要使用微积分（M2模块内容）。
  - 正确做法: 应用任何suvat公式前，先确认加速度是恒定的。
- **错误做法:** 将速度-时间图像下的面积当作总路程
  - 原因: 速度可以为负，因此x轴下方的面积会从位移中减去，而不是累加到路程中。
  - 正确做法: 速度-时间图像的带符号面积用于计算位移，速率-时间图像的面积用于计算总路程。
- **错误做法:** 当定义向上为正方向时，取g = +9.8 m s⁻²
  - 原因: 重力方向向下，因此它的符号必须与你选定的正方向相反。
  - 正确做法: 在竖直运动题目开头明确说明你的正方向，给g赋予正确的符号。
- **错误做法:** 忽略位移、速度和加速度的矢量性质
  - 原因: 反向运动时省略负号会导致计算结果无效。
  - 正确做法: 所有矢量量都使用与你选定的正参考系一致的统一符号约定。
- **错误做法:** 选择了包含未使用未知变量的suvat公式
  - 原因: 这会产生不必要的联立方程，增加算术错误的风险。
  - 正确做法: 先列出已知量和目标未知量，选择省略未使用变量的公式。

## 速查表

| 公式/图像 | 适用场景 | 核心解读 |
| --- | --- | --- |
| $v = u + at$ | 未知$s$时求$v/u/a/t$ | 省略位移 |
| $s = ut + \frac{1}{2} a t^2$ | 未知$v$时求$s/u/a/t$ | 省略末速度 |
| $v^2 = u^2 + 2as$ | 未知$t$时求$v/u/a/s$ | 省略时间 |
| $s = \frac{1}{2}(u+v)t$ | 未知$a$时求$s/u/v/t$ | 省略加速度 |
| 位移-时间图像 | 求某一时间间隔内的速度 | 斜率 = 速度 |
| 速度-时间图像 | 求加速度和位移 | 斜率 = 加速度；带符号面积 = 位移 |
| 速率-时间图像 | 求总运动路程 | 总面积 = 总路程 |
| 加速度-时间图像 | 求速度变化量 | 图像下方面积 = $\Delta v$ |

## 下一步

现在你已经掌握了Edexcel IAL M1的直线匀加速运动学，接下来可以学习力学1的下一个核心主题。运动学知识是后续单元更高级运动主题的基础，包括变加速运动（M2）和抛体运动（M2），同时你也可以立即将这些suvat公式和图像技能应用到即将学习的M1主题中，例如力和牛顿运动定律，你将从力的数值计算出加速度，再求解运动学问题。几乎每一份M1考试卷中都会出现运动学题目，通常是分值5-8分的第一道大题，因此练习本主题的历年真题是在考试初期轻松拿到高分的好方法。

- [力学中的矢量（M1）](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-math-m1-vectors-in-mechanics/)

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