关键路径分析（Edexcel 国际A-Level 数学 D1）

Edexcel 国际A-Level 数学· D1 §4.1 至 §4.4（2018年第3版考纲）· 25 分钟阅读

1. 根据紧前关系表绘制弧上活动网络★★☆☆☆⏱ 6 min

✓ 计算器

📘 定义

弧上活动（AOA）网络

一种有向图，其中弧代表项目活动，节点代表事件（一个或多个活动的开始或结束），虚线表示持续时间为0的虚弧，用于展示不存在实际活动的逻辑紧前关系。

绘制AOA网络时，先从单个起始节点开始，根据紧前关系表为每个活动添加弧，使用虚活动处理两个活动共享部分而非全部紧前活动的情况，最终确保网络只有一个终止节点。

📐 例题

为以下紧前关系表绘制AOA网络：活动A无紧前活动，活动B无紧前活动，活动C的紧前活动是A，活动D的紧前活动是A和B。

1
1. 将起始事件标记为节点1，添加弧A（节点1→节点2）和弧B（节点1→节点3），二者均无紧前活动。
2
1. 活动C仅在A完成后开始，因此添加弧C从节点2指向节点4（该活动的终止事件）。
3
1. 活动D需要A和B都完成才能开始，因此添加一条持续时间为0的虚线虚弧从节点2指向节点3，表示A是D的紧前活动，再添加弧D从节点3指向节点4（最终终止事件）。

Exam tip:

虚活动必须画为虚线并标注持续时间0：如果省略该格式会丢失卷面呈现分数。

2. 从AOA网络推导紧前关系表★★☆☆☆⏱ 5 min

✓ 计算器

要从AOA网络构建紧前关系表，先列出所有非虚活动，再回溯每个活动的所有直接紧前活动，考虑虚活动带来的逻辑关联，但不要把虚活动本身列为活动。

📐 例题

为上一节绘制的AOA网络生成紧前关系表。

1
1. 列出所有实际活动：A、B、C、D。
2
1. 活动A从节点1出发，没有入弧，因此它没有直接紧前活动。
3
1. 活动B从节点1出发，没有入弧，因此它没有直接紧前活动。
4
1. 活动C从节点2出发，节点2仅接收弧A，因此它的唯一紧前活动是A。
5
1. 活动D从节点3出发，节点3接收弧B和来自节点2的虚弧（由A提供），因此它的紧前活动是A和B。
6
1. 将所有活动及其直接紧前活动整理成表格，得到最终的紧前关系表。

Exam tip:

永远不要在紧前关系表中包含虚活动，考试仅考核实际项目活动。

3. 关键路径算法：最早与最晚事件时间★★★☆☆⏱ 7 min

✓ 计算器

📘 定义

关键路径

项目中最长的活动序列，长度等于项目的最小可能总工期。关键路径上任何活动的延误都会导致整个项目延误。

首先完成正向推进计算最早事件时间（ $e_{i}$ ）：起始节点取 $e_{1} = 0$ ，对每个节点， $e_{i}$ 等于所有入弧对应的 $e_{p r e v} + t_{p r e v, i}$ 的最大值。接下来完成反向推进计算最晚事件时间（ $l_{j}$ ）：终止节点取 $l_{f ina l} = e_{f ina l}$ ，对每个节点， $l_{j}$ 等于所有出弧对应的 $l_{n e x t} - t_{j, n e x t}$ 的最小值。总时差通过以下公式计算：

F(i,j) = l_j - e_i - t_{i,j}

📐 例题

沿用之前的网络，活动持续时间为：A=2，B=3，C=4，D=5。计算事件时间、总时差并识别关键路径。

1
1. 正向推进： $e_{1} = 0$ ， $e_{2} = 0 + 2 = 2$ ， $e_{3} = ma x (0 + 3, 2 + 0) = 3$ ， $e_{4} = ma x (2 + 4, 3 + 5) = 8$ 。项目总工期为8单位。
2
1. 反向推进： $l_{4} = 8$ ， $l_{3} = 8 - 5 = 3$ ， $l_{2} = min (8 - 4, 3 - 0) = 3$ ， $l_{1} = min (3 - 2, 3 - 3) = 0$ 。
3
1. 计算时差：A: $3 - 0 - 2 = 1$ ，B: $3 - 0 - 3 = 0$ ，C: $8 - 2 - 4 = 2$ ，D: $8 - 3 - 5 = 0$ 。
4
1. 关键活动为B和D，因此关键路径是1→3→4，总工期为8。

Exam tip:

正向和反向推进的所有计算步骤都要写出来：即使最终关键路径结果错误，你也能拿到步骤分。

4. 总时差、甘特图与基础进度安排★★★☆☆⏱ 7 min

✓ 计算器

📘 定义

甘特（瀑布）图

一种条形图，每个条形代表一个活动，按时间轴绘制。条形从活动的最早开始时间延伸到最晚结束时间，其中阴影部分代表从最早开始时间算起的活动持续时间，未阴影部分的长度等于总时差。

进行基础进度安排时，优先分配关键活动给工人以避免项目延误，再利用非关键活动的总时差填补工人日程的空白，同时遵守所有紧前规则。

📐 例题

沿用之前的活动数据，安排2名工人完成项目，确保总工期为最小的8单位。

1
1. 计算每个活动的时间参数：A（最早开始=0，最早结束=2，最晚开始=1，最晚结束=3），B（最早开始=0，最早结束=3，最晚开始=0，最晚结束=3），C（最早开始=2，最早结束=6，最晚开始=4，最晚结束=8），D（最早开始=3，最早结束=8，最晚开始=3，最晚结束=8）。
2
1. 优先分配关键活动：工人1在0-3时段完成B，随后在3-8时段完成D。
3
1. 用非关键活动填补空白：工人2在0-2时段完成A，随后在2-6时段完成C。
4
1. 验证所有紧前规则都被遵守，项目总工期保持为8单位。

Exam tip:

绘制甘特图时要清晰标注坐标轴，将活动持续时间部分做阴影处理，和可用总时差区分开。

5. 常见陷阱

错误做法:

使用节点上活动网络而非弧上活动网络

原因:

Edexcel D1仅考核弧上活动网络，使用节点上活动作答本题得0分

正确做法:

严格按照Edexcel考纲要求，用弧代表活动，节点代表事件

错误做法:

重叠紧前规则下忘记添加虚活动

原因:

遗漏虚活动会破坏逻辑紧前关系，导致事件时间和时差计算全部错误

正确做法:

添加持续时间为0的虚线虚弧，展示事件之间必需的逻辑关联

错误做法:

先做反向推进再做正向推进

原因:

终止节点的最晚事件时间等于它的最早事件时间，而该值只有在正向推进完成后才能得到

正确做法:

先完成全部正向推进得到项目总工期，再进行反向推进

错误做法:

在紧前关系表或时差计算中包含虚活动

原因:

虚活动只是持续时间为0的逻辑关联，不是实际项目活动

正确做法:

仅将非虚活动纳入表格、计算和甘特图中

错误做法:

先安排非关键活动再安排关键活动

原因:

即使非关键活动提前完成，关键活动的延误也会延长项目总工期

正确做法:

先把所有关键活动分配给工人，再利用非关键活动的时差填补日程空白

6. 速查表

概念	规则 / 公式	关键提示
AOA网络	弧=活动，节点=事件	虚活动=虚线，持续时间0，用于表示紧前逻辑
正向推进	$e_{i} = ma x (e_{p r e v} + t_{p r e v, i})$	从第一个节点开始， $e_{1} = 0$
反向推进	$l_{j} = min (l_{n e x t} - t_{j, n e x t})$	从最后一个节点开始， $l_{f ina l} = e_{f ina l}$
总时差	$F (i, j) = l_{j} - e_{i} - t_{i, j}$	关键活动的 $F = 0$
甘特图	条形从最早开始延伸到最晚结束，阴影部分为活动持续时间	条形未阴影部分的长度等于总时差
进度安排	优先分配关键活动	利用非关键活动的总时差填补日程空白

7. 常见问题

Edexcel D1的关键路径题我可以用节点上活动网络作答吗？

不可以。Edexcel 本知识点仅考核弧上活动网络，使用节点上活动作答本题得0分。

如何识别关键活动？

关键活动的总时差为0，意味着该活动的任何延误都会直接延长项目总工期，这类活动都位于关键路径上。

虚活动的时长会被计入项目总工期吗？

不会。虚活动的持续时间为0，仅用于表示事件之间的逻辑紧前关系，不会出现在时差计算或甘特图中。

深入阅读

official_specEdexcel 国际A-Level 数学 D1 官方考纲第34页为关键路径分析的考核要求

下一步

你现在已经掌握了Edexcel 国际A-Level D1要求的全部关键路径分析内容。该知识点在每一套D1试卷中通常以8-12分的大题形式出现，因此请完成计时的历年真题练习以提升速度和准确率，尤其要练习绘制标注清晰的AOA网络。接下来你可以复习D1其他核心网络知识点，包括中国邮路问题和线性规划，完成D1的全部备考。你还需要练习紧前关系表和网络的互相转换，这是关键路径考试大题最常见的开篇设问。