向量（Edexcel IAL 进阶数学 FP3）

Q: 和平面的笛卡尔方程有什么区别？

将 代入 就得到笛卡尔形式 ，可以整理为 ，其中 。

Edexcel 国际A-Level 进阶数学· FP3 5.1, 5.2, 5.3 (2018 考纲版本，第3版)· 25 分钟阅读

1. 向量叉积与三重标量积★★★☆☆⏱ 8 min

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📘 定义

向量（叉）积

$a \times b$

同时垂直于 $a$ 和 $b$ 的向量，模长为 $∣ a ∣∣ b ∣ sin θ$ （其中 $θ$ 是两向量的夹角），方向由右手定则确定。满足反交换律： $a \times b = - (b \times a)$ 。

例:

对于 $a = 2 i + j$ , $b = i - 3 j + k$ ， $a \times b = i - 2 j - 7 k$ 。

模长 $∣ a \times b ∣$ 等于以 $a$ 和 $b$ 为邻边构成的平行四边形的面积。将该值除以2就得到由这两个向量构成的三角形的面积。

📘 定义

三重标量积

$a \cdot (b \times c)$

$a$ 与 $b$ 和 $c$ 的叉积做点积得到的标量结果，等于由 $a, b, c$ 的分量构成的3×3矩阵的行列式。它的模长等于以三个向量为邻边构成的平行六面体的体积。满足循环恒等式： $a \cdot (b \times c) = b \cdot (c \times a) = c \cdot (a \times b)$ 。

📐 例题

求以 $a = i + 2 j$ , $b = 2 j + k$ , $c = i - j + 3 k$ 为棱的平行六面体的体积。

1
1. 使用行列式公式计算叉积 $b \times c$ ：
2
$\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \end{vmatrix} = 7\boldsymbol{i} + \boldsymbol{j} - 2\boldsymbol{k}$
3
1. 将 $a$ 与上述结果做点积：
4
$\boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) = (1)(7) + (2)(1) + (0)(-2) = 9$
5
1. 结果的模长就是体积：9 立方单位。

Exam tip:

叉积的符号仅在判断方向取向的题目中有用：计算面积或体积时直接取模长即可，避免符号错误。

2. 平面的方程★★★☆☆⏱ 7 min

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FP3题目中你需要掌握两种标准形式的平面方程，二者都可以转化为等价的笛卡尔形式。

📘 定义

平面的法（标量）形式

$r \cdot n = p$

其中 $r$ 是平面上任意点的位置向量， $n$ 是平面的法向量，对于平面上的已知点 $a$ ，满足 $p = a \cdot n$ 。等价笛卡尔形式为： $n_{1} x + n_{2} y + n_{3} z = p$ ，也可以写成 $n_{1} x + n_{2} y + n_{3} z - p = 0$ ，其中 $d = - p$ 。

📘 定义

平面的参数形式

$r = a + s b + t c$

其中 $a$ 是平面上一个定点的位置向量， $b$ 和 $c$ 是平面内两个不平行的方向向量， $s, t$ 是标量参数。

📐 例题

求过点 $(1, 2, 0)$ ，且方向向量为 $b = i - j + k$ 和 $c = 2 i + 3 j$ 的平面的法向量形式和笛卡尔形式。

1
1. 将两个方向向量做叉积，得到平面的法向量：
2
$\boldsymbol{n} = \boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & 0 \end{vmatrix} = -3\boldsymbol{i} + 2\boldsymbol{j} +5\boldsymbol{k}$
3
1. 代入 $a = i + 2 j$ 计算 $p = a \cdot n$ ：
4
$p = (1)(-3) + (2)(2) + (0)(5) = 1$
5
1. 法向量形式： $r \cdot (- 3 i + 2 j + 5 k) = 1$ （如果需要首项系数为正，可以整体乘以-1）。
6
1. 笛卡尔形式：将 $r$ 替换为 $x i + y j + z k$ ，得到 $3 x - 2 y - 5 z + 1 = 0$ 。

Exam tip:

如果已知平面上的三个点，先求出两点之间的两个方向向量，再计算它们的叉积就能得到平面的法向量。

3. 3D应用：点到平面的距离与平面交线★★★★☆⏱ 6 min

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FP3的前两个核心3D应用使用平面方程和向量积求解距离和交点问题。点到平面的垂直距离公式会在考试公式手册中提供。

📐 例题

求点 $(2, - 1, 3)$ 到平面 $3 x + 2 y - z + 4 = 0$ 的垂直距离。

1
1. 提取距离公式所需的参数： $n_{1} = 3, n_{2} = 2, n_{3} = - 1, d = 4, α = 2, β = - 1, γ = 3$ 。
2
1. 计算分子的绝对值：
3
$|3(2) + 2(-1) + (-1)(3) + 4| = |6 - 2 - 3 + 4| = 5$
4
1. 计算法向量的模长：
5
$\sqrt{3^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{14}$
6
1. 距离 = $\frac{5}{14}$ ，有理化后为 $\frac{5 14}{14}$ 。

两个平面的交线平行于两个平面法向量的叉积，因为交线同时垂直于两个法向量。找到同时在两个平面上的一个点，就可以确定完整的交线方程。

📐 例题

求平面 $2 x - y + z = 5$ 和 $x + y - z = 1$ 的交线，形式为 $(r - a) \times b = 0$ 。

1
1. 提取法向量： $n_{1} = 2 i - j + k$ , $n_{2} = i + j - k$ 。
2
1. 将两个法向量做叉积，得到交线的方向向量：
3
$\boldsymbol{b} = \boldsymbol{n_1} \times \boldsymbol{n_2} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 3\boldsymbol{j} + 3\boldsymbol{k} = 3(\boldsymbol{j} + \boldsymbol{k})$
4
1. 找同时在两个平面上的点：设 $x = 2$ ，解得 $y = 0, z = 1$ ，因此 $a = 2 i + 0 j + k$ 。
5
1. 最终直线方程： $(r - (2 i + k)) \times (j + k) = 0$ 。

Exam tip:

如果设 $x = 0$ 来求两平面交线上的点时得到矛盾方程，可以尝试设 $y = 0$ 或者 $z = 0$ 。

4. 3D应用：异面直线间的最短距离★★★★★⏱ 7 min

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📘 定义

异面直线

3D空间中既不平行也不相交的两条直线。二者之间的最短距离是同时垂直于两条直线的线段的长度。

异面直线 $L_{1} : r = a + λ u$ 和 $L_{2} : r = b + μ v$ 的最短距离公式为 $\frac{∣ ( b - a ) \cdot ( u \times v ) ∣}{∣ u \times v ∣}$ 。分子是由 $(b - a), u, v$ 构成的平行六面体的体积，除以底面平行四边形的面积就得到垂直高度（即距离）。

📐 例题

求异面直线 $L_{1} : r = i + 2 j + k + λ (2 i - j + 3 k)$ 和 $L_{2} : r = 2 i - j + 2 k + μ (3 i + j - k)$ 之间的最短距离。

1
1. 提取参数： $a = i + 2 j + k$ , $u = 2 i - j + 3 k$ , $b = 2 i - j + 2 k$ , $v = 3 i + j - k$ 。
2
1. 计算两条直线定点之间的向量：
3
$\boldsymbol{b} - \boldsymbol{a} = \boldsymbol{i} - 3\boldsymbol{j} + \boldsymbol{k}$
4
1. 计算两个方向向量的叉积：
5
$\boldsymbol{u} \times \boldsymbol{v} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ 2 & -1 & 3 \\ 3 & 1 & -1 \end{vmatrix} = -2\boldsymbol{i} + 11\boldsymbol{j} +5\boldsymbol{k}$
6
1. 计算三重标量积的绝对值：
7
$|(\boldsymbol{b} - \boldsymbol{a}) \cdot (\boldsymbol{u} \times \boldsymbol{v})| = |-2 -33 +5| = 30$
8
1. 计算叉积的模长：
9
$|\boldsymbol{u} \times \boldsymbol{v}| = \sqrt{(-2)^2 + 11^2 + 5^2} = \sqrt{150} = 5\sqrt{6}$
10
1. 最短距离 = $\frac{30}{5 6} = 6$ 单位。

Exam tip:

做异面直线相关题目时一定要反复核对叉积计算：这里的算术错误是本考点最常见的失分原因。

5. 常见陷阱

错误做法:

调换叉积中向量的顺序，忘记符号会翻转。

原因:

叉积是反交换的： $a \times b = - (b \times a)$ 。

正确做法:

注意保持向量的顺序，或者在计算面积/体积时直接取模长，这样符号不会影响最终结果。

错误做法:

默认3D空间中不相交的直线一定平行。

原因:

3D空间多了一个维度，直线可以既不平行也不相交（异面）。

正确做法:

先检查方向向量是否为标量倍数，确认平行性之后再验证是否相交。

错误做法:

在平面参数方程 $r = a + s b + t c$ 中使用平行的方向向量。

原因:

平行向量只能张成一条直线，无法定义唯一的平面。

正确做法:

使用两个不平行的方向向量，通过叉积结果非零来验证。

错误做法:

距离公式中忘记加绝对值。

原因:

距离是非负标量，符号仅表示相对于平面法向量的取向。

正确做法:

点到平面和异面直线的距离计算中，分子部分一定要加绝对值。

错误做法:

默认 $r \cdot n = p$ 中的 $p$ 就是原点到平面的垂直距离。

原因:

这个结论只有当 $n$ 是单位法向量时才成立。

正确做法:

如果需要求原点到平面的距离，要将 $p$ 除以 $n$ 的模长，或者对点 $(0, 0, 0)$ 使用笛卡尔距离公式。

6. 速查表

概念	公式/规则	适用场景
叉积	$∣ a \times b ∣ = ∣ a ∣∣ b ∣ sin θ$	求平行四边形/三角形面积、平面法向量
三重标量积	$∣ a \cdot (b \times c) ∣$	平行六面体体积计算、异面直线距离计算
平面：法向量形式	$r \cdot n = p$	点到平面距离校验、验证点是否在平面上
平面：参数形式	$r = a + s b + t c$	通过一个点和两个方向向量定义平面
点到平面距离	$\frac{∣ n _{1} α + n _{2} β + n _{3} γ + d ∣}{n _{1}^{2} + n _{2}^{2} + n _{3}^{2}}$	点到平面的垂直距离计算
异面直线距离	$\frac{∣ ( b - a ) \cdot ( u \times v ) ∣}{∣ u \times v ∣}$	两条不平行、不相交直线的最短距离计算

7. 常见问题

我需要背诵叉积的分量计算公式吗？

不需要，考试公式手册会给出叉积的行列式形式，但你需要多练习快速计算，避免考试中出现算术错误。

$r \cdot n = p$ 和平面的笛卡尔方程有什么区别？

将 $r = x i + y j + z k$ 代入 $r \cdot n = p$ 就得到笛卡尔形式 $n_{1} x + n_{2} y + n_{3} z = p$ ，可以整理为 $n_{1} x + n_{2} y + n_{3} z - p = 0$ ，其中 $d = - p$ 。

我可以用计算器计算叉积和行列式吗？

普通科学计算器是允许使用的，但CAS计算器禁止带入考场。你必须完整写出叉积和点积的计算过程，才能拿到方法步骤分。

深入阅读

official_documentEdexcel IAL 进阶数学 FP3 考纲向量相关内容请参考第72页
formula_sheetEdexcel FP3 公式手册考试会提供所有核心向量公式

下一步

掌握FP3向量内容后，你可以用这些技巧去练习历年真题，本考点通常占FP3考试总分的15%-20%。向量知识也会在其他进阶数学模块中用到，比如FP2的复数几何和M3的运动学，但请你先专注于FP3考纲指定的纯几何应用，避免学习超纲内容。练习时要把所有步骤写清楚，即使你出现小的算术错误，正确的叉积和点积计算步骤也能拿到方法分。