# 双曲函数

> Edexcel 国际A-Level 进阶数学 · FP3（2018考纲）
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-further-math-fp3-hyperbolic-functions/

本指南涵盖Edexcel IAL FP3双曲函数相关内容：指数定义、图像、核心恒等式、求解形如$a \cosh x + b \sinh x = c$的方程，以及反双曲函数的对数形式。

**先修:** [指数与对数函数的运算](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-maths-pure-3-exponentials-logarithms/); [二次方程求解，包括无效根的剔除](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-maths-pure-1-quadratics/)

## 学习目标

- 以指数形式定义全部六个双曲函数，熟记它们的图像、定义域和值域
- 推导并应用核心双曲恒等式，包括$\cosh^2x - \sinh^2x \equiv 1$以及倍角公式
- 使用指数代换和二次方程求解方法，解形如$a \cosh x + b \sinh x = c$的方程
- 推导反双曲函数（arsinh、arcosh、artanh）的对数形式并应用其性质

## 双曲函数的定义与图像

**双曲函数** — 六个以$e^x$和$e^{-x}$定义的函数，与三角函数类似。基础定义为$\sinh x = \frac{1}{2}(e^x - e^{-x})$和$\cosh x = \frac{1}{2}(e^x + e^{-x})$，其余四个函数由这两个函数取倒数或作比推导得到。

*例:* $\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}$，$\text{sech } x = \frac{1}{\cosh x}$，$\text{cosech } x = \frac{1}{\sinh x}$，$\coth x = \frac{1}{\tanh x}$

每个双曲函数都有规定的定义域和值域，你必须在考试中准确回忆。$\cosh x$的值始终大于等于1，$\sinh x$可以取任意实数值，$\tanh x$的取值范围在-1到1之间。倒数类双曲函数的定义域需要排除原函数取值为0的点。

| 函数 | 定义域 | 值域 |
| --- | --- | --- |
| $\cosh x$ | $\mathbb{R}$ | $[1, \infty)$ |
| $\sinh x$ | $\mathbb{R}$ | $\mathbb{R}$ |
| $\tanh x$ | $\mathbb{R}$ | $(-1, 1)$ |
| $\text{sech } x$ | $\mathbb{R}$ | $(0, 1]$ |
| $\text{cosech } x$ | $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ | $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ |
| $\coth x$ | $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ | $\mathbb{R} \setminus [-1, 1]$ |

**例题:** 使用指数定义计算$\cosh(\ln 3)$的精确值。

1. 将$x = \ln 3$代入$\cosh x$的定义：
2. $$\cosh(\ln 3) = \frac{1}{2}(e^{\ln 3} + e^{-\ln 3})$$
3. 使用对数规则化简：$e^{\ln k} = k$且$e^{-\ln k} = 1/k$：
4. $$= \frac{1}{2}\left(3 + \frac{1}{3}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{10}{3}\right) = \frac{5}{3}$$

> **考试提示:** 当题目要求计算对数输入下双曲函数的精确值时，务必使用对数规则化简指数表达式，避免计算器舍入误差。

*计算器:* allowed

## 核心双曲恒等式

**核心双曲恒等式** — 恒等式$\cosh^2 x - \sinh^2 x \equiv 1$，直接由$\cosh x$和$\sinh x$的指数定义推导得到。它与勾股三角恒等式类似，仅平方$\sinh$项的符号发生了改变。

*记法:* $\cosh^2 x$表示$(\cosh x)^2$，与标准三角函数记法一致

其余核心恒等式，包括倍角公式，都可以从这个基础恒等式和指数定义推导得到。虽然这些恒等式在公式手册中已给出，但考试可能要求你证明它们，以考察你对其来源的理解。

**例题:** 使用指数定义证明$\cosh 2x \equiv \cosh^2 x + \sinh^2 x$。

1. 从$\cosh 2x$的指数定义出发：
2. $$\cosh 2x = \frac{1}{2}(e^{2x} + e^{-2x})$$
3. 分别使用定义展开$\cosh^2 x$和$\sinh^2 x$：
4. $$\cosh^2 x = \left(\frac{e^x + e^{-x}}{2}\right)^2 = \frac{e^{2x} + 2 + e^{-2x}}{4}$$
5. $$\sinh^2 x = \left(\frac{e^x - e^{-x}}{2}\right)^2 = \frac{e^{2x} - 2 + e^{-2x}}{4}$$
6. 将两个展开后的表达式相加：
7. $$\cosh^2 x + \sinh^2 x = \frac{e^{2x} + 2 + e^{-2x} + e^{2x} - 2 + e^{-2x}}{4} = \frac{2(e^{2x} + e^{-2x})}{4}$$
8. 化简后与$\cosh 2x$的定义完全匹配，证明完成：
9. $$= \frac{1}{2}(e^{2x} + e^{-2x}) = \cosh 2x$$

> **mnemonic**
>
> 奥斯本法则：将三角恒等式转换为双曲恒等式时，把$\sin$替换为$\sinh$，把$\cos$替换为$\cosh$，并且将所有包含两个$\sinh$项乘积的项的符号翻转。例如$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$就变为$\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$。

> **考试提示:** 如果题目要求证明恒等式，除非明确说明其他方法，否则始终从指数定义出发，这样即使你忘记了奥斯本法则也能保证拿到满分。

## 求解线性双曲方程

求解形如$a \cosh x + b \sinh x = c$的方程时，代入$\cosh x$和$\sinh x$的指数定义，整理得到关于$e^x$的二次方程，求解二次方程后剔除所有非正根（因为对任意实数$x$都有$e^x > 0$）。

**例题:** 解方程$3 \cosh x + 2 \sinh x = 5$，结果以精确对数形式给出。

1. 将$\cosh x$和$\sinh x$的指数定义代入方程：
2. $$3\left(\frac{e^x + e^{-x}}{2}\right) + 2\left(\frac{e^x - e^{-x}}{2}\right) = 5$$
3. 两边同乘2消去分母：
4. $$3(e^x + e^{-x}) + 2(e^x - e^{-x}) = 10$$
5. 展开并合并同类项化简：
6. $$5e^x + e^{-x} = 10$$
7. 两边同乘$e^x$消去负指数，得到关于$e^x$的二次方程：
8. $$5(e^x)^2 - 10e^x + 1 = 0$$
9. 使用二次方程求根公式$e^x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，其中$a=5$，$b=-10$，$c=1$：
10. $$e^x = \frac{10 \pm \sqrt{80}}{10} = \frac{5 \pm 2\sqrt{5}}{5}$$
11. 验证两个根均为正（分别约为1.89和0.11，均有效），然后两边同时取自然对数：
12. $$x = \ln\left(\frac{5 + 2\sqrt{5}}{5}\right) \text{ 或 } x = \ln\left(\frac{5 - 2\sqrt{5}}{5}\right)$$

> **考试提示:** 务必验证你得到的$e^x$的根都是正数，因为对任意实数$x$，$e^x$永远不可能为0或负数。如果保留无效的负解会被扣分。

*计算器:* allowed

## 反双曲函数

**反双曲函数** — 基础双曲函数的反函数，按照Edexcel记法表示为$\text{arsinh } x$、$\text{arcosh } x$和$\text{artanh } x$。每个反函数都有受限的定义域以保证一一映射，并且可以写成等价的对数函数形式。

*例:* 考纲要求$\text{arcosh } x$的主值是$x \geq 1$时的非负值。

即使反函数的对数形式在公式手册中已给出，考试也可能要求你从基本原理出发推导这三个反双曲函数的对数形式。

**例题:** 证明对所有实数$x$，$\text{arsinh } x = \ln\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)$。

1. 令$y = \text{arsinh } x$，根据反函数的定义，可得$x = \sinh y$。
2. 代入$\sinh y$的指数定义：
3. $$x = \frac{e^y - e^{-y}}{2}$$
4. 两边同乘$2e^y$消去负指数，得到关于$e^y$的二次方程：
5. $$e^{2y} - 2x e^y - 1 = 0$$
6. 将$e^y$作为变量，使用二次方程求根公式求解：
7. $$e^y = \frac{2x \pm \sqrt{4x^2 + 4}}{2} = x \pm \sqrt{x^2 + 1}$$
8. 剔除负根：对任意$x$都有$x - \sqrt{x^2 + 1} < 0$，而对任意实数$y$都有$e^y > 0$。
9. 两边同时取自然对数，解出$y$：
10. $$y = \ln\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right) = \text{arsinh } x, \text{ 得证}$$

| 反函数 | 定义域 | 对数形式 |
| --- | --- | --- |
| $\text{arsinh } x$ | $\mathbb{R}$ | $\ln\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)$ |
| $\text{arcosh } x$ | $x \geq 1$ | $\ln\left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right)$（主值非负） |
| $\text{artanh } x$ | $\|x\| < 1$ | $\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1 + x}{1 - x}\right)$ |

> **考试提示:** 使用反双曲函数时务必说明其定义域限制，尤其是$\text{arcosh } x$（必须满足$x \geq 1$）和$\text{artanh } x$（必须满足$|x| < 1$）。

## 常见错误

- **错误做法:** 对反双曲函数使用$\sinh^{-1} x$记法
  - 原因: Edexcel规定反双曲函数的对数形式必须使用`ar-`前缀（arsinh、arcosh、artanh）；在该语境下$^{-1}$记法被保留用于表示倒数函数，使用错误记法会被扣分。
  - 正确做法: 指代反双曲函数时，始终写为$\text{arsinh } x$、$\text{arcosh } x$或$\text{artanh } x$。
- **错误做法:** 求解双曲方程时忘记剔除$e^x$的负根
  - 原因: 对任意实数$x$，$e^x$始终为正，因此$e^x$的任何负解都不存在对应的实数值$x$。
  - 正确做法: 解完关于$e^x$的二次方程后，检查所有根是否为正，在取对数之前丢弃所有负根。
- **错误做法:** 对双曲函数使用三角函数勾股恒等式的符号
  - 原因: 核心双曲恒等式是$\cosh^2 x - \sinh^2 x \equiv 1$，而不是$\cosh^2 x + \sinh^2 x \equiv 1$。符号变化来源于$\sinh x$定义中的负项。
  - 正确做法: 使用奥斯本法则记忆包含两个$\sinh$函数乘积的项的符号变化，或者从指数定义推导恒等式以避免符号错误。
- **错误做法:** 当题目要求证明反双曲函数的对数形式时，直接引用对数形式而不进行推导
  - 原因: 明确要求证明的考题需要你展示从基本原理出发的完整推导过程，不能只直接写出公式手册中给出的公式。
  - 正确做法: 当要求证明反函数的对数形式时，先令$y = \text{[反函数]}$，整理得到$y$的双曲函数等于$x$，代入指数定义，解关于$e^y$的二次方程，剔除无效根，最后取对数得到最终形式。
- **错误做法:** 对小于1的$x$使用$\text{arcosh } x$，或者对$|x| \geq 1$使用$\text{artanh } x$
  - 原因: 这些反函数仅在指定的定义域内有定义，在范围外使用会得到未定义或非实数的结果，在实数类考题中是无效的。
  - 正确做法: 使用反双曲函数前，务必检查输入值是否落在其有效定义域内，并在作答过程中相关位置说明定义域限制。

## 速查表

| 概念 | 核心要点 |
| --- | --- |
| 指数定义 | $\sinh x = \frac{1}{2}(e^x - e^{-x})$，$\cosh x = \frac{1}{2}(e^x + e^{-x})$，$\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}$ |
| 核心恒等式 | $\cosh^2 x - \sinh^2 x \equiv 1$，$\cosh 2x = \cosh^2 x + \sinh^2 x$，$\sinh 2x = 2\sinh x \cosh x$ |
| 求解$a \cosh x + b \sinh x = c$ | 代入指数形式，构造关于$e^x$的二次方程，剔除负根，取自然对数 |
| 反函数对数形式 | arsinh $x = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$（全体实数$x$），arcosh $x = \ln(x + \sqrt{x^2 -1})$（$x \geq 1$），artanh $x = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$（$\|x\|<1$） |

## 下一步

现在你已经掌握了双曲函数的核心定义、恒等式、方程求解和反函数形式，接下来可以学习将这些概念应用到FP3的微分和积分问题中。双曲函数在进阶微积分主题中应用广泛，包括换元积分和微分方程求解，因此扎实掌握它们的基础性质是学好FP3单元剩余内容的关键。你也可以练习本主题相关的历年真题，熟悉Edexcel的考试表述和评分标准要求。

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