# 进阶矩阵代数（FP3）

> Edexcel 国际A-Level 进阶数学 · IAL FMATHS FP3
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-further-math-fp3-further-matrix-algebra/

本指南覆盖Edexcel IAL FP3所有进阶矩阵代数内容，包括3D线性变换、3×3行列式/逆矩阵计算、特征值/特征向量，以及对称矩阵的正交对角化，完全符合2018版大纲要求。

**先修:** [熟练掌握2×2矩阵运算、2×2行列式/逆矩阵和2D矩阵变换（FP1内容）](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-further-math-fp1-matrix-algebra/); 能够求解线性方程组

## 学习目标

- 使用矩阵表示2D和3D线性变换，并通过矩阵乘法组合变换
- 计算矩阵的转置并应用乘积转置规则 $(AB)^T = B^TA^T$
- 计算3×3行列式，将矩阵分类为奇异/非奇异矩阵，并求3×3矩阵的逆
- 求2×2和3×3矩阵的特征值与特征向量，包括归一化特征向量
- 使用正交矩阵对角化对称矩阵，使得 $P^TAP$ 为对角矩阵
- 在逆变换存在的情况下，求线性变换和组合变换的逆

## 3D线性变换与组合矩阵

**3D线性变换** — 作用于3D列向量的变换T，满足对任意标量$a,b$和向量$\mathbf{x},\mathbf{y}$，都有$T(a\mathbf{x} + b\mathbf{y}) = aT(\mathbf{x}) + bT(\mathbf{y})$，可用3×3矩阵$M$表示，即$T(\mathbf{x}) = M\mathbf{x}$。

这是FP1中2D变换内容的延伸：3×3变换矩阵的每一列分别是标准基向量$\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$经过变换后的像。对于组合变换，先执行的变换对应乘积中最右侧的矩阵：先执行变换B再执行变换A，对应的矩阵为$AB$，符合Edexcel大纲规定。

**例题:** 设变换B为xy平面内的反射，变换A为绕x轴逆时针旋转90°，求先执行B再执行A对应的矩阵。

1. 矩阵B（xy平面反射）将$\mathbf{i}\to\mathbf{i}, \mathbf{j}\to\mathbf{j}, \mathbf{k}\to-\mathbf{k}$：
2. $$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$
3. 矩阵A（绕x轴逆时针旋转90°）将$\mathbf{i}\to\mathbf{i}, \mathbf{j}\to\mathbf{k}, \mathbf{k}\to-\mathbf{j}$：
4. $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$
5. 先执行B再执行A的组合矩阵为$AB$：
6. $$AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

> **考试提示:** 务必反复核对组合变换的乘法顺序：先执行的变换是乘积中最右侧的矩阵。

*计算器:* allowed

## 转置、3×3行列式与非奇异矩阵

**矩阵转置** — 将矩阵$A$的行和列互换得到的矩阵，即$A$的第$i$行第$j$列元素对应$A^T$的第$j$行第$i$列元素。乘积转置规则为$(AB)^T = B^T A^T$。

*记法:* $A^T$

计算3×3行列式时，选择含零最多的行或列展开，应用交替余子式符号矩阵：$\begin{pmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{pmatrix}$。如果矩阵的行列式为0，则该矩阵是奇异矩阵，不存在逆矩阵。

**例题:** 计算矩阵$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}$的行列式，并判断它是否为奇异矩阵。

1. 沿第1行展开（该行有一个零，可简化计算）：
2. $$\det(A) = 1\begin{vmatrix}1 & 4 \\ 6 & 0\end{vmatrix} - 2\begin{vmatrix}0 & 4 \\ 5 & 0\end{vmatrix} + 3\begin{vmatrix}0 & 1 \\ 5 & 6\end{vmatrix}$$
3. 计算每个余子式行列式：
4. $$\det(A) = 1(0 - 24) - 2(0 - 20) + 3(0 - 5) = -24 + 40 - 15 = 1$$
5. $\det(A) = 1 \neq 0$，因此$A$是非奇异矩阵。

> **考试提示:** 计算行列式时始终选择含零最多的行或列展开，尽可能减少算术运算错误。

*计算器:* allowed

## 3×3矩阵的逆

**伴随矩阵** — 方阵余子式矩阵的转置，其中余子式$C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$，$M_{ij}$是去掉矩阵第$i$行第$j$列后得到的子矩阵的行列式。逆矩阵公式为$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A)$，乘积逆规则为$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$。

变换矩阵的逆对应逆变换，可将变换后的像向量映射回原始位置。计算逆矩阵前务必确认行列式非零，因为奇异矩阵不存在逆矩阵。

**例题:** 求矩阵$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}$的逆，已知$\det(A) = 1$。

1. 使用交替符号规则计算余子式矩阵：
2. $$\text{Cofactor matrix} = \begin{pmatrix} -24 & 20 & -5 \\ 18 & -15 & 4 \\ 5 & -4 & 1 \end{pmatrix}$$
3. 将余子式矩阵转置得到伴随矩阵：
4. $$\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix}$$
5. 除以$\det(A) = 1$得到逆矩阵：
6. $$A^{-1} = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix}$$

> **考试提示:** 通过验证$AA^{-1} = I$（单位矩阵）来检查逆矩阵的计算结果，避免转置或算术错误。

*计算器:* allowed

## 特征值与特征向量

**特征值与特征向量** — 对于方阵$A$，特征值$\lambda$是满足$A\mathbf{x} = \lambda\mathbf{x}$的标量，其中非零向量$\mathbf{x}$是对应的特征向量。归一化特征向量的模长为1，将$\mathbf{x}$除以它的模长$|\mathbf{x}|$即可得到。

求解特征方程$\det(A - \lambda I) = 0$得到所有特征值。对每个特征值，求解方程$(A - \lambda I)\mathbf{x} = \mathbf{0}$得到对应的特征向量。对于对称矩阵，不同特征值对应的特征向量一定两两正交。

**例题:** 求对称矩阵$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$的特征值和归一化特征向量。

1. 建立并求解特征方程：
2. $$\det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 1-\lambda & 0 & 1 \\ 0 & 2-\lambda & 0 \\ 1 & 0 & 1-\lambda \end{vmatrix} = (2-\lambda)(\lambda^2 - 2\lambda) = 0$$
3. 特征值：$\lambda = 0$，$\lambda = 2$（二重根）
4. 对于$\lambda = 0$，求解$A\mathbf{x} = 0$得到特征向量$(1, 0, -1)$，归一化后为$(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, -\frac{1}{\sqrt{2}})$
5. 对于$\lambda = 2$，求解$(A - 2I)\mathbf{x} = 0$得到正交特征向量$(1, 0, 1)$和$(0, 1, 0)$，归一化后为$(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}})$和$(0, 1, 0)$

> **考试提示:** 对于对称矩阵的重特征值，可以直接通过观察选取正交的特征向量，省去后续额外的正交化步骤。

*计算器:* allowed

## 对称矩阵的正交对角化

**正交对角化** — 对于对称矩阵$A$，找到正交矩阵$P$使得$P^TAP = D$的过程，其中$D$是对角矩阵，主对角线上的元素为$A$的所有特征值。

构造矩阵$P$时，将$A$的归一化正交特征向量作为它的列向量。由于$P$是正交矩阵，$P^T = P^{-1}$，因此这个过程等价于使用特征向量的标准正交基将$A$对角化。

**例题:** 求正交矩阵$P$，使得对于$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$，$P^TAP$为对角矩阵。

1. 使用上一个例题得到的归一化正交特征向量作为$P$的列：
2. $$P = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \end{pmatrix}$$
3. 验证$P$是正交矩阵（$P^TP = I$），然后计算$P^TAP$：
4. $$P^TAP = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} = D$$

> **考试提示:** 矩阵$P$的列顺序和对角矩阵$D$主对角线上特征值的顺序一一对应，只要特征向量和特征值匹配，你可以任意排列特征值的顺序。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 对于“先执行A再执行B”的组合变换，按A乘B的顺序计算矩阵乘积
  - 原因: Edexcel大纲规定先执行的变换是乘积中最右侧的矩阵，因此需要颠倒顺序
  - 正确做法: 始终将先执行的变换放在乘积的最右侧，后执行的变换在左侧相乘
- **错误做法:** 计算3×3逆矩阵时，忘记将余子式矩阵转置得到伴随矩阵
  - 原因: 伴随矩阵是余子式矩阵的转置，而不是余子式矩阵本身，跳过这一步会得到错误的逆矩阵
  - 正确做法: 计算完余子式矩阵后，交换它的行和列得到伴随矩阵，再除以行列式
- **错误做法:** 对乘积使用错误的顺序规则：$(AB)^{-1} = A^{-1}B^{-1}$ 或 $(AB)^T = A^TB^T$
  - 原因: 求乘积的逆和转置时都需要颠倒矩阵的顺序，错误的顺序会得到错误结果
  - 正确做法: 对乘积求转置或逆时始终颠倒矩阵顺序：$(AB)^T = B^TA^T$，$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$
- **错误做法:** 构造用于对角化的正交矩阵$P$时，没有对特征向量做归一化
  - 原因: 正交矩阵要求所有列向量的模长为1，未归一化的特征向量会让$P$失去正交性，导致$P^TAP$不是对角矩阵
  - 正确做法: 要求正交对角化时，将每个特征向量除以它的模长，再作为$P$的列向量
- **错误做法:** 展开3×3行列式时没有应用余子式的交替符号规则
  - 原因: 余子式的正负号随行和列的位置交替变化，忽略符号会得到错误的行列式值
  - 正确做法: 沿任意行或列展开3×3行列式时，使用符号矩阵$\begin{pmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{pmatrix}$

## 速查表

| 概念 | 公式/规则 | 关键提示 |
| --- | --- | --- |
| 3D变换矩阵 | 列向量为$\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$变换后的像 | 先B后A对应$AB$（右侧矩阵为先执行的变换） |
| 乘积转置规则 | $(AB)^T = B^TA^T$ | 交换$A$的行和列得到$A^T$ |
| 3×3行列式 | 沿行/列展开并应用余子式符号 | $\det(A)=0$ → 奇异矩阵，无逆矩阵 |
| 3×3逆矩阵 | $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \times \text{adj}(A)$ | $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ |
| 特征值 | 求解$\det(A - \lambda I) = 0$ | $\lambda$满足$A\mathbf{x} = \lambda\mathbf{x}$ |
| 特征向量 | 求解$(A - \lambda I)\mathbf{x} = 0$ | 归一化：除以模长得到标准正交向量 |
| 正交对角化 | $P^TAP = D$，$P$为正交矩阵 | $D$的主对角线元素为$A$的特征值 |

## 下一步

掌握FP3的进阶矩阵代数后，你可以将这些概念应用到FP3的其他主题，包括线性方程组和3D几何，其中矩阵可用于表示平面和交点。如果你后续计划攻读高等教育阶段的线性代数、工程和数据科学相关专业，特征值和对角化也是这些领域的核心基础。请务必练习本主题的完整历年真题，提升解题速度和准确率，因为矩阵类题目通常分值在10分以上，需要仔细分步计算避免算术错误。如果你对前置知识掌握不熟练，请复习FP1的矩阵内容，基础矩阵运算的漏洞会大幅拖慢你解答FP3考试题目的速度。

- [FP2 进阶复数](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-further-math-fp2-further-complex-numbers/)

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