微分法（FP3）

Q: 我需要背诵本章节的标准导数公式吗？

不需要，所有标准导数公式都在Edexcel国际A-Level进阶数学公式手册中提供，但快速回忆这些公式可以节省你的考试时间。

Q: 我可以保留未化简的求导结果吗？

只有完全化简的结果才能获得满分，因此你必须合并同类项、有理化根式并尽可能约去公因子。

Edexcel 国际A-Level 进阶数学· 2018年考纲第3版 FP3 3.1-3.2· 25 分钟阅读

1. 双曲函数求导★★☆☆☆⏱ 8 min

✓ 计算器

你将使用公式手册中给出的双曲函数标准导数，结合核心纯数学微分法则，计算包含 $sinh x$ 、 $cosh x$ 和 $tanh x$ 的表达式的导数。

\frac{d}{dx}\left(\sinh x\right) = \cosh x, \quad \frac{d}{dx}\left(\cosh x\right) = \sinh x, \quad \frac{d}{dx}\left(\tanh x\right) = \text{sech}^2 x

📐 例题

对 $f (x) = x sinh^{2} 3 x$ 求导

1
识别该函数是 $u = x$ 和 $v = sinh^{2} 3 x$ 的乘积，因此应用乘积法则： $f^{'} (x) = u^{'} v + u v^{'}$
2
计算 $u^{'}$ ： $u^{'} = \frac{d}{d x} (x) = 1$
3
两次使用链式法则计算 $v^{'}$ ：令 $w = 3 x$ ，则 $v = (sinh w)^{2}$ ，因此 $v^{'} = 2 sinh w \cdot cosh w \cdot 3 = 6 sinh 3 x cosh 3 x$
4
代入乘积法则： $f^{'} (x) = sinh^{2} 3 x + 6 x sinh 3 x cosh 3 x$
5
对最终结果提取公因子： $f^{'} (x) = sinh 3 x (sinh 3 x + 6 x cosh 3 x)$

Exam tip:

始终从最终结果中提取公因子，满足化简要求以获得满分。

2. 反三角函数求导★★★☆☆⏱ 8 min

✓ 计算器

反三角函数的标准导数在公式手册中提供。将这些导数与核心微分法则结合，计算更复杂的反三角表达式的导数。

\frac{d}{dx}\left(\arcsin x\right) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad \frac{d}{dx}\left(\arccos x\right) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad \frac{d}{dx}\left(\arctan x\right) = \frac{1}{1+x^2}

📐 例题

对 $g (x) = arcsin x + x 1 - x^{2}$ 求导

1
将函数拆分为两项分别求导： $g^{'} (x) = \frac{d}{d x} (arcsin x) + \frac{d}{d x} (x 1 - x^{2})$
2
使用标准结果对第一项求导： $\frac{d}{d x} (arcsin x) = \frac{1}{1 - x ^{2}}$
3
对第二项应用乘积法则：令 $u = x$ ， $v = (1 - x^{2})^{1/2}$ ，因此 $u^{'} = 1$ ， $v^{'} = - \frac{x}{1 - x ^{2}}$
4
计算第二项的导数： $1 - x^{2} - \frac{x ^{2}}{1 - x ^{2}}$
5
合并并化简所有项： $g^{'} (x) = \frac{1 + ( 1 - x ^{2} ) - x ^{2}}{1 - x ^{2}} = 2 1 - x^{2}$

Exam tip:

在化简前将带有平方根分母的项合并为单个分数，避免计算错误。

3. 反双曲函数求导★★★☆☆⏱ 7 min

✓ 计算器

反双曲函数的标准导数同样在公式手册中提供。将你用于其他函数类型的链式法则、乘积法则和商法则应用到这些表达式上。

\frac{d}{dx}\left(\text{arsinh }x\right) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}, \quad \frac{d}{dx}\left(\text{arcosh }x\right) = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}, \quad \frac{d}{dx}\left(\text{artanh }x\right) = \frac{1}{1-x^2}

📐 例题

对 $h (x) = artanh (x^{2})$ 求导

1
识别这是一个复合函数，因此应用链式法则：令 $u = x^{2}$ ，则 $h (x) = artanh u$
2
应用链式法则公式： $h^{'} (x) = \frac{d}{d u} (artanh u) \cdot \frac{d u}{d x}$
3
代入标准导数： $\frac{d}{d u} (artanh u) = \frac{1}{1 - u ^{2}}$
4
计算 $\frac{d u}{d x} = 2 x$
5
代回原式并化简： $h^{'} (x) = \frac{2 x}{1 - x ^{4}}$

Exam tip:

求导时始终确认反函数的定义域，例如 $arcosh x$ 仅在 $x \geq 1$ 时有定义。

4. 常见陷阱

错误做法:

忘记 $arccos x$ 导数中的负号

原因:

混淆 $arcsin x$ 和 $arccos x$ 导数的符号

正确做法:

反复核对 $arccos x$ 的符号，如果不确定就查阅公式手册

错误做法:

将 $sinh^{2} x$ 的导数算为 $2 sinh x$ ，而非正确的 $2 sinh x cosh x$

原因:

应用链式法则时遗漏了双曲函数的内层导数

正确做法:

对双曲函数的幂次应用两次链式法则：一次针对幂次，一次针对双曲项

错误做法:

保留带有平方根分母的未化简结果

原因:

考试评分标准要求完全化简的结果才能获得满分

正确做法:

合并带有根式分母的分数，约去公因子并有理化后再写出最终答案

错误做法:

将 $arsinh x$ 的导数写为 $1/ 1 - x^{2}$ ，而非正确的 $1/ 1 + x^{2}$

原因:

混淆反三角函数和反双曲函数的导数形式

正确做法:

记住反三角函数导数的根号下是 $1 - x^{2}$ ，而 $arsinh x$ 的根号下是 $1 + x^{2}$

错误做法:

将 $tanh 3 x$ 的导数算为 $sech^{2} 3 x$ ，而非正确的 $3 sech^{2} 3 x$

原因:

处理线性内层函数时跳过链式法则步骤，解题仓促

正确做法:

应用链式法则时明确写出内层函数，避免遗漏其导数

5. 速查表

函数	标准导数	关键提示
$sinh x$	$cosh x$	无符号变化
$cosh x$	$sinh x$	无符号变化
$tanh x$	$sech^{2} x$	双曲正割的平方
$arcsin x$	$1/ 1 - x^{2}$	分母为正
$arccos x$	$- 1/ 1 - x^{2}$	分子为负
$arctan x$	$1/ (1 + x^{2})$	无平方根
$arsinh x$	$1/ 1 + x^{2}$	根号下为加号
$arcosh x$	$1/ x^{2} - 1$	根号下为 $x^{2} - 1$
$artanh x$	$1/ (1 - x^{2})$	无平方根， $∣ x ∣ < 1$

6. 常见问题

我需要背诵本章节的标准导数公式吗？

不需要，所有标准导数公式都在Edexcel国际A-Level进阶数学公式手册中提供，但快速回忆这些公式可以节省你的考试时间。

我可以保留未化简的求导结果吗？

只有完全化简的结果才能获得满分，因此你必须合并同类项、有理化根式并尽可能约去公因子。

深入阅读

formula_bookEdexcel 国际A-Level 进阶数学公式手册请参考FP3微分章节获取标准导数公式

下一步

现在你已经掌握了FP3中双曲函数和反函数的求导方法，可以继续学习FP3积分，它使用你在这里学到的导数法则的逆运算。这些微分知识也将成为你求解FP3中微分方程的基础，同时支撑FP2和力学3等其他进阶数学单元中的微积分应用。请务必大量练习本章节的历年真题，提升解题速度和准确率，因为微分题经常和其他知识点结合，出现在分值为5-8分的长考题中。定期练习将帮助你避开前面列出的常见陷阱，确保你能在考试环境下快速化简结果。