# 微分法（FP3）

> Edexcel 国际A-Level 进阶数学 · 爱德思IAL 进阶数学 FP3
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-further-math-fp3-differentiation/

本指南涵盖Edexcel国际A-Level进阶数学FP3中的双曲函数求导、反三角函数与反双曲函数求导内容，附带完整例题和考试技巧。

**先修:** [Edexcel国际A-Level纯数学微分法则（链式法则、乘积法则、商法则）](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-pure-math-p3-differentiation/); [FP3双曲函数的定义与符号表示](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-further-math-fp3-hyperbolic-functions/)

## 学习目标

- 使用链式法则、乘积法则和商法则对包含双曲函数的表达式求导
- 结合标准微分法则对反三角函数和反双曲函数求导
- 将根式和有理形式的求导结果完全化简，满足考试评分标准

## 双曲函数求导

你将使用公式手册中给出的双曲函数标准导数，结合核心纯数学微分法则，计算包含$\sinh x$、$\cosh x$和$\tanh x$的表达式的导数。

$$\frac{d}{dx}\left(\sinh x\right) = \cosh x, \quad \frac{d}{dx}\left(\cosh x\right) = \sinh x, \quad \frac{d}{dx}\left(\tanh x\right) = \text{sech}^2 x$$

> **tip**
>
> 你不需要推导这些标准结果，但你应该能立刻识别它们，以加快考试解题速度。

**例题:** 对$f(x) = x \sinh^2 3x$求导

1. 识别该函数是$u=x$和$v=\sinh^2 3x$的乘积，因此应用乘积法则：$f'(x) = u'v + uv'$
2. 计算$u'$：$u' = \frac{d}{dx}(x) = 1$
3. 两次使用链式法则计算$v'$：令$w=3x$，则$v=(\sinh w)^2$，因此$v' = 2\sinh w \cdot \cosh w \cdot 3 = 6\sinh 3x \cosh 3x$
4. 代入乘积法则：$f'(x) = \sinh^2 3x + 6x \sinh 3x \cosh 3x$
5. 对最终结果提取公因子：$f'(x) = \sinh 3x \left(\sinh 3x + 6x \cosh 3x\right)$

> **考试提示:** 始终从最终结果中提取公因子，满足化简要求以获得满分。

*计算器:* allowed

## 反三角函数求导

反三角函数的标准导数在公式手册中提供。将这些导数与核心微分法则结合，计算更复杂的反三角表达式的导数。

$$\frac{d}{dx}\left(\arcsin x\right) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad \frac{d}{dx}\left(\arccos x\right) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad \frac{d}{dx}\left(\arctan x\right) = \frac{1}{1+x^2}$$

> **warning**
>
> $\arccos x$导数中的负号是常见的失分点，解题时一定要反复核对。

**例题:** 对$g(x) = \arcsin x + x\sqrt{1-x^2}$求导

1. 将函数拆分为两项分别求导：$g'(x) = \frac{d}{dx}(\arcsin x) + \frac{d}{dx}\left(x\sqrt{1-x^2}\right)$
2. 使用标准结果对第一项求导：$\frac{d}{dx}(\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
3. 对第二项应用乘积法则：令$u=x$，$v=(1-x^2)^{1/2}$，因此$u'=1$，$v' = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$
4. 计算第二项的导数：$\sqrt{1-x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}$
5. 合并并化简所有项：$g'(x) = \frac{1 + (1-x^2) - x^2}{\sqrt{1-x^2}} = 2\sqrt{1-x^2}$

> **考试提示:** 在化简前将带有平方根分母的项合并为单个分数，避免计算错误。

*计算器:* allowed

## 反双曲函数求导

反双曲函数的标准导数同样在公式手册中提供。将你用于其他函数类型的链式法则、乘积法则和商法则应用到这些表达式上。

$$\frac{d}{dx}\left(\text{arsinh }x\right) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}, \quad \frac{d}{dx}\left(\text{arcosh }x\right) = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}, \quad \frac{d}{dx}\left(\text{artanh }x\right) = \frac{1}{1-x^2}$$

**例题:** 对$h(x) = \text{artanh}(x^2)$求导

1. 识别这是一个复合函数，因此应用链式法则：令$u=x^2$，则$h(x) = \text{artanh }u$
2. 应用链式法则公式：$h'(x) = \frac{d}{du}(\text{artanh }u) \cdot \frac{du}{dx}$
3. 代入标准导数：$\frac{d}{du}(\text{artanh }u) = \frac{1}{1-u^2}$
4. 计算$\frac{du}{dx} = 2x$
5. 代回原式并化简：$h'(x) = \frac{2x}{1-x^4}$

> **考试提示:** 求导时始终确认反函数的定义域，例如$\text{arcosh }x$仅在$x\geq1$时有定义。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 忘记$\arccos x$导数中的负号
  - 原因: 混淆$\arcsin x$和$\arccos x$导数的符号
  - 正确做法: 反复核对$\arccos x$的符号，如果不确定就查阅公式手册
- **错误做法:** 将$\sinh^2 x$的导数算为$2\sinh x$，而非正确的$2\sinh x \cosh x$
  - 原因: 应用链式法则时遗漏了双曲函数的内层导数
  - 正确做法: 对双曲函数的幂次应用两次链式法则：一次针对幂次，一次针对双曲项
- **错误做法:** 保留带有平方根分母的未化简结果
  - 原因: 考试评分标准要求完全化简的结果才能获得满分
  - 正确做法: 合并带有根式分母的分数，约去公因子并有理化后再写出最终答案
- **错误做法:** 将$\text{arsinh }x$的导数写为$1/\sqrt{1-x^2}$，而非正确的$1/\sqrt{1+x^2}$
  - 原因: 混淆反三角函数和反双曲函数的导数形式
  - 正确做法: 记住反三角函数导数的根号下是$1-x^2$，而$\text{arsinh }x$的根号下是$1+x^2$
- **错误做法:** 将$\tanh 3x$的导数算为$\text{sech}^2 3x$，而非正确的$3\text{sech}^2 3x$
  - 原因: 处理线性内层函数时跳过链式法则步骤，解题仓促
  - 正确做法: 应用链式法则时明确写出内层函数，避免遗漏其导数

## 速查表

| 函数 | 标准导数 | 关键提示 |
| --- | --- | --- |
| $\sinh x$ | $\cosh x$ | 无符号变化 |
| $\cosh x$ | $\sinh x$ | 无符号变化 |
| $\tanh x$ | $\text{sech}^2 x$ | 双曲正割的平方 |
| $\arcsin x$ | $1/\sqrt{1-x^2}$ | 分母为正 |
| $\arccos x$ | $-1/\sqrt{1-x^2}$ | 分子为负 |
| $\arctan x$ | $1/(1+x^2)$ | 无平方根 |
| $\text{arsinh }x$ | $1/\sqrt{1+x^2}$ | 根号下为加号 |
| $\text{arcosh }x$ | $1/\sqrt{x^2-1}$ | 根号下为$x^2-1$ |
| $\text{artanh }x$ | $1/(1-x^2)$ | 无平方根，$\|x\|<1$ |

## 下一步

现在你已经掌握了FP3中双曲函数和反函数的求导方法，可以继续学习FP3积分，它使用你在这里学到的导数法则的逆运算。这些微分知识也将成为你求解FP3中微分方程的基础，同时支撑FP2和力学3等其他进阶数学单元中的微积分应用。请务必大量练习本章节的历年真题，提升解题速度和准确率，因为微分题经常和其他知识点结合，出现在分值为5-8分的长考题中。定期练习将帮助你避开前面列出的常见陷阱，确保你能在考试环境下快速化简结果。

---

来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-further-math-fp3-differentiation/