Edexcel IAL FP2 进阶数学：级数（差分法）

Edexcel 国际A-Level 进阶数学· FP2 2.1（2018年考纲第3版）· 25 分钟阅读

1. 差分法的核心原理★★☆☆☆⏱ 6 min

✓ 计算器

📘 定义

差分法

一种求和技巧，将级数的每一项 $u_{r}$ 改写为 $u_{r} = f (r) - f (r + k)$ 的形式，其中 $f$ 为某函数， $k$ 为正整数，展开后中间项将相互抵消。

该方法的核心优势是无需逐项求和，仅需保留少量未被抵消的留存项即可得到结果。最常见的情况是 $k = 1$ ，此时 $u_{r} = f (r) - f (r + 1)$ ，即经典的裂项级数。

📐 例题

证明通项 $u_{r} = \frac{1}{r ( r + 1 )}$ 可以改写为形如 $\frac{1}{r}$ 的两项之差。

1
使用部分分式分解 $u_{r}$ ：
$\frac{1}{r(r+1)} = \frac{A}{r} + \frac{B}{r+1}$
2
两边同乘 $r (r + 1)$ ：
$1 = A(r+1) + B r$
3
代入 $r = 0$ 求得 $A = 1$ ，代入 $r = - 1$ 求得 $B = - 1$
4
整理得到差分形式：
$\frac{1}{r(r+1)} = \frac{1}{r} - \frac{1}{r+1} = f(r) - f(r+1) \text{ 其中 } f(r) = \frac{1}{r}$

2. 计算有限级数的闭式形式★★★☆☆⏱ 8 min

✓ 计算器

将 $u_{r}$ 表示为函数值的差之后，显式展开前几项和最后几项，识别抵消模式。考试作答时必须展示该展开过程才能获得全部分数。

将求和写为 $\sum_{r = 1}^{n} [f (r) - f (r + 1)] = \sum_{r = 1}^{n} f (r) - \sum_{r = 1}^{n} f (r + 1)$
将第二个求和重新索引，起始下标改为 $r = 2$ ： $\sum_{r = 2}^{n + 1} f (r)$
两个求和相减：所有下标从 $r = 2$ 到 $r = n$ 的项全部抵消，剩余 $f (1) - f (n + 1)$

📐 例题

使用差分法求 $\sum_{r = 1}^{n} \frac{1}{r ( r + 1 )}$ 的闭式形式。

1
使用之前推导的分解结果：
$\sum_{r=1}^n \frac{1}{r(r+1)} = \sum_{r=1}^n \left(\frac{1}{r} - \frac{1}{r+1}\right)$
2
展开前3项和最后2项展示抵消过程：
$= \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + ... + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)$
3
消去所有中间项： $- \frac{1}{2}$ 与 $+ \frac{1}{2}$ 抵消， $- \frac{1}{3}$ 与 $+ \frac{1}{3}$ 抵消，以此类推，直到 $- \frac{1}{n}$ 与 $+ \frac{1}{n}$ 抵消
4
写出留存项：
$= 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$

3. 计算无穷项和★★★★☆⏱ 7 min

✓ 计算器

如果有限和的闭式在 $n \to \infty$ 时趋近于有限极限，则该级数收敛，该极限即为无穷项和。在FP2考试中，你必须明确说明当 $n \to \infty$ 时哪些项消失，以论证结果的合理性。

📘 定义

裂项级数的无穷项和

有限极限 $L = lim_{n \to \infty} S_{n}$ ，其中 $S_{n}$ 是前n项和的有限闭式，前提是该极限存在。

📐 例题

求 $\sum_{r = 1}^{\infty} \frac{1}{r ( r + 1 )}$ 的无穷项和（若存在）。

1
使用之前计算得到的有限和：
$S_n = \frac{n}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1}$
2
计算 $lim_{n \to \infty} S_{n}$ ：当n趋近于无穷大时， $\frac{1}{n + 1} \to 0$
$\lim_{n \to \infty} S_n = 1 - 0 = 1$
3
论证：项 $\frac{1}{n + 1}$ 在 $n \to \infty$ 时消失，因此级数收敛到1。

4. 偏移量$k>1$的扩展裂项相消★★★★☆⏱ 6 min

✓ 计算器

部分考题使用偏移量 $k = 2$ 的差分形式，例如 $u_{r} = f (r) - f (r + 2)$ 。这种情况下，抵消后会从求和起始位置留存2项，从末尾位置留存2项，而非各留存1项。

整体流程完全一致：展开前k项和最后k项以识别留存项，随后化简得到闭式。对于无穷项和，需要验证所有与n相关的项在 $n \to \infty$ 时均消失。

📐 例题

已知 $u_{r} = \frac{1}{r ( r + 2 )} = \frac{1}{2} (\frac{1}{r} - \frac{1}{r + 2})$ ，求 $\sum_{r = 1}^{n} u_{r}$ 。

1
写出展开后的求和式：
$\sum_{r=1}^n \frac{1}{2}\left(\frac{1}{r} - \frac{1}{r+2}\right) = \frac{1}{2}\left[ \left(1 - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + ... + \left(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1}\right) + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right) \right]$
2
识别抵消项： $- \frac{1}{3}$ 与 $+ \frac{1}{3}$ 抵消， $- \frac{1}{4}$ 与 $+ \frac{1}{4}$ 抵消，……， $- \frac{1}{n}$ 与 $+ \frac{1}{n}$ 抵消
3
写出留存项：
$= \frac{1}{2}\left[ 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} \right]$
4
化简：
$= \frac{3}{4} - \frac{2n+3}{2(n+1)(n+2)}$

5. 常见陷阱

错误做法:

展开级数时仅写出前2项，未能展示抵消模式

原因:

阅卷人需要你明确展示对裂项相消的理解，即使最终答案正确也会被扣1-2分

正确做法:

至少写出展开和的前3项和最后2项，清晰展示抵消过程

错误做法:

FP2级数考题中将差分法与FP1的标准求和公式（ $\sum r$ 、 $\sum r^{2}$ 等）混淆

原因:

FP2级数题明确要求使用差分法，使用标准求和公式会得到错误答案，得0分

正确做法:

解答FP2级数题时，始终先使用部分分式将通项分解为函数值的差

错误做法:

计算无穷项和时忘记论证哪些项消失

原因:

考纲要求你展示对收敛性的理解，缺少该论证会扣1分

正确做法:

计算极限时明确说明与n相关的项在 $n \to \infty$ 时趋近于0

错误做法:

偏移量 $k > 1$ 时重新索引求和的下标计算错误，例如k=2时漏掉求和起始位置的第二个留存项

原因:

这会导致闭式结果错误，通常会漏掉一个常数项

正确做法:

对于偏移量k，写出展开和的前k项和最后k项，识别所有留存项

错误做法:

使用CAS计算器功能直接计算总和而不展示推导过程

原因:

考试不允许使用CAS计算器，你必须展示部分分式分解和裂项相消的所有步骤才能获得全分

正确做法:

手动完成所有步骤的练习，和你在考试中作答的要求一致

6. 速查表

场景	方法步骤	结果形式
有限和，偏移量k=1	通过部分分式分解 $u_{r} = f (r) - f (r + 1)$ 2. 展开求和，消去中间项	$S_{n} = f (1) - f (n + 1)$
有限和，偏移量k=2	通过部分分式分解 $u_{r} = f (r) - f (r + 2)$ 2. 展开前2项和最后2项	$S_{n} = f (1) + f (2) - f (n + 1) - f (n + 2)$
无穷项和	计算有限和 $S_{n}$ 2. 计算 $lim_{n \to \infty} S_{n}$ ，论证消失项	$S_{\infty} = lim_{n \to \infty} S_{n}$ ，前提是极限存在

深入阅读

recap_guideEdexcel IAL P3 部分分式级数项分解所需的前置技能

下一步

现在你已经掌握了FP2级数的差分法，可以将该技能应用于历年真题并继续学习其他FP2核心主题。该技巧经常与部分分式结合出现在多部分考题中，因此在进行限时练习前，请确保你对代数分式分解足够熟练。如果你攻读STEM学位，还可以将该知识拓展到大学数学的更高级级数主题中。