# Edexcel IAL FP2 进阶数学：级数（差分法）

> Edexcel 国际A-Level 进阶数学 · FP2
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-further-math-fp2-series/

本指南讲解差分法，这是Edexcel IAL FP2考纲要求的唯一级数求和技巧。你将学习计算裂项级数的有限闭式和与无穷项和，内容完全贴合2018版FP2考纲要求。

**先修:** [部分分式分解（P级别）](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-maths-p3-partial-fractions/); [基础极限计算（P级别）](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-maths-p1-limits/)

## 学习目标

- 使用部分分式将级数项改写为函数值的差，实现裂项相消
- 通过差分法识别并消去中间项，完成有限级数求和
- 计算有限和闭式在n→∞时的极限得到无穷项和，论证消失项的合理性

## 差分法的核心原理

**差分法** — 一种求和技巧，将级数的每一项$u_r$改写为$u_r = f(r) - f(r+k)$的形式，其中$f$为某函数，$k$为正整数，展开后中间项将相互抵消。

该方法的核心优势是无需逐项求和，仅需保留少量未被抵消的留存项即可得到结果。最常见的情况是$k=1$，此时$u_r = f(r) - f(r+1)$，即经典的裂项级数。

> **note**
>
> 在FP2级数考题中，你始终需要使用P3数学中学到的前置技能部分分式，将$u_r$分解为所需的差分形式。

**例题:** 证明通项$u_r = \frac{1}{r(r+1)}$可以改写为形如$\frac{1}{r}$的两项之差。

1. 使用部分分式分解$u_r$：

   $$\frac{1}{r(r+1)} = \frac{A}{r} + \frac{B}{r+1}$$
2. 两边同乘$r(r+1)$：

   $$1 = A(r+1) + B r$$
3. 代入$r=0$求得$A=1$，代入$r=-1$求得$B=-1$
4. 整理得到差分形式：

   $$\frac{1}{r(r+1)} = \frac{1}{r} - \frac{1}{r+1} = f(r) - f(r+1) \text{ 其中 } f(r) = \frac{1}{r}$$

*计算器:* allowed

## 计算有限级数的闭式形式

将$u_r$表示为函数值的差之后，显式展开前几项和最后几项，识别抵消模式。考试作答时必须展示该展开过程才能获得全部分数。

1. 将求和写为$\sum_{r=1}^n [f(r) - f(r+1)] = \sum_{r=1}^n f(r) - \sum_{r=1}^n f(r+1)$
2. 将第二个求和重新索引，起始下标改为$r=2$：$\sum_{r=2}^{n+1} f(r)$
3. 两个求和相减：所有下标从$r=2$到$r=n$的项全部抵消，剩余$f(1) - f(n+1)$

**例题:** 使用差分法求$\sum_{r=1}^n \frac{1}{r(r+1)}$的闭式形式。

1. 使用之前推导的分解结果：

   $$\sum_{r=1}^n \frac{1}{r(r+1)} = \sum_{r=1}^n \left(\frac{1}{r} - \frac{1}{r+1}\right)$$
2. 展开前3项和最后2项展示抵消过程：

   $$= \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + ... + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)$$
3. 消去所有中间项：$-\frac{1}{2}$与$+\frac{1}{2}$抵消，$-\frac{1}{3}$与$+\frac{1}{3}$抵消，以此类推，直到$-\frac{1}{n}$与$+\frac{1}{n}$抵消
4. 写出留存项：

   $$= 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$$

> **考试提示**
>
> 即使你可以快速算出结果，考试作答时也必须至少写出展开后级数的前3项和最后2项，证明你理解抵消过程。

*计算器:* allowed

## 计算无穷项和

如果有限和的闭式在$n \to \infty$时趋近于有限极限，则该级数收敛，该极限即为无穷项和。在FP2考试中，你必须明确说明当$n \to \infty$时哪些项消失，以论证结果的合理性。

**裂项级数的无穷项和** — 有限极限$L = \lim_{n \to \infty} S_n$，其中$S_n$是前n项和的有限闭式，前提是该极限存在。

> **warning**
>
> 仅当$S_n$中与n相关的项在$n \to \infty$时趋近于0时，无穷项和才存在。如果不满足该条件，级数发散，不存在无穷项和。

**例题:** 求$\sum_{r=1}^\infty \frac{1}{r(r+1)}$的无穷项和（若存在）。

1. 使用之前计算得到的有限和：

   $$S_n = \frac{n}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1}$$
2. 计算$\lim_{n \to \infty} S_n$：当n趋近于无穷大时，$\frac{1}{n+1} \to 0$

   $$\lim_{n \to \infty} S_n = 1 - 0 = 1$$
3. 论证：项$\frac{1}{n+1}$在$n \to \infty$时消失，因此级数收敛到1。

*计算器:* allowed

## 偏移量$k>1$的扩展裂项相消

部分考题使用偏移量$k=2$的差分形式，例如$u_r = f(r) - f(r+2)$。这种情况下，抵消后会从求和起始位置留存2项，从末尾位置留存2项，而非各留存1项。

整体流程完全一致：展开前k项和最后k项以识别留存项，随后化简得到闭式。对于无穷项和，需要验证所有与n相关的项在$n \to \infty$时均消失。

**例题:** 已知$u_r = \frac{1}{r(r+2)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{r} - \frac{1}{r+2}\right)$，求$\sum_{r=1}^n u_r$。

1. 写出展开后的求和式：

   $$\sum_{r=1}^n \frac{1}{2}\left(\frac{1}{r} - \frac{1}{r+2}\right) = \frac{1}{2}\left[ \left(1 - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + ... + \left(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1}\right) + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right) \right]$$
2. 识别抵消项：$-\frac{1}{3}$与$+\frac{1}{3}$抵消，$-\frac{1}{4}$与$+\frac{1}{4}$抵消，……，$-\frac{1}{n}$与$+\frac{1}{n}$抵消
3. 写出留存项：

   $$= \frac{1}{2}\left[ 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} \right]$$
4. 化简：

   $$= \frac{3}{4} - \frac{2n+3}{2(n+1)(n+2)}$$

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 展开级数时仅写出前2项，未能展示抵消模式
  - 原因: 阅卷人需要你明确展示对裂项相消的理解，即使最终答案正确也会被扣1-2分
  - 正确做法: 至少写出展开和的前3项和最后2项，清晰展示抵消过程
- **错误做法:** FP2级数考题中将差分法与FP1的标准求和公式（$\sum r$、$\sum r^2$等）混淆
  - 原因: FP2级数题明确要求使用差分法，使用标准求和公式会得到错误答案，得0分
  - 正确做法: 解答FP2级数题时，始终先使用部分分式将通项分解为函数值的差
- **错误做法:** 计算无穷项和时忘记论证哪些项消失
  - 原因: 考纲要求你展示对收敛性的理解，缺少该论证会扣1分
  - 正确做法: 计算极限时明确说明与n相关的项在$n \to \infty$时趋近于0
- **错误做法:** 偏移量$k>1$时重新索引求和的下标计算错误，例如k=2时漏掉求和起始位置的第二个留存项
  - 原因: 这会导致闭式结果错误，通常会漏掉一个常数项
  - 正确做法: 对于偏移量k，写出展开和的前k项和最后k项，识别所有留存项
- **错误做法:** 使用CAS计算器功能直接计算总和而不展示推导过程
  - 原因: 考试不允许使用CAS计算器，你必须展示部分分式分解和裂项相消的所有步骤才能获得全分
  - 正确做法: 手动完成所有步骤的练习，和你在考试中作答的要求一致

## 速查表

| 场景 | 方法步骤 | 结果形式 |
| --- | --- | --- |
| 有限和，偏移量k=1 | 1. 通过部分分式分解$u_r = f(r)-f(r+1)$ 2. 展开求和，消去中间项 | $S_n = f(1) - f(n+1)$ |
| 有限和，偏移量k=2 | 1. 通过部分分式分解$u_r = f(r)-f(r+2)$ 2. 展开前2项和最后2项 | $S_n = f(1)+f(2) - f(n+1)-f(n+2)$ |
| 无穷项和 | 1. 计算有限和$S_n$ 2. 计算$\lim_{n \to \infty} S_n$，论证消失项 | $S_\infty = \lim_{n \to \infty} S_n$，前提是极限存在 |

## 下一步

现在你已经掌握了FP2级数的差分法，可以将该技能应用于历年真题并继续学习其他FP2核心主题。该技巧经常与部分分式结合出现在多部分考题中，因此在进行限时练习前，请确保你对代数分式分解足够熟练。如果你攻读STEM学位，还可以将该知识拓展到大学数学的更高级级数主题中。

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