# 麦克劳林级数与泰勒级数

> Edexcel 国际A-Level 进阶数学 · IAL FP2
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-further-math-fp2-maclaurin-and-taylor-series/

本指南涵盖Edexcel IAL FP2中麦克劳林和泰勒级数的全部内容，包括高阶导数、级数推导、任意点展开和常微分方程级数解，完全符合2018年版教学大纲要求。

**先修:** [标准函数与复合函数的求导（P3）](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-maths-p3-differentiation/); [二阶微分方程（FP2）](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-further-math-fp2-second-order-differential-equations/)

## 学习目标

- 计算多项式、三角函数、指数函数和对数函数的三阶及更高阶导数
- 推导并应用标准函数和简单复合函数的麦克劳林级数展开式，直至指定项
- 推导并应用以任意点a为中心的泰勒级数展开式，直至指定项
- 使用泰勒级数方法求一阶和二阶微分方程的级数解，直至指定项

## 级数展开的高阶导数

**高阶导数** — 将函数\(f(x)\)关于\(x\)求导\(r\)次得到的结果，其中\(r \geq 1\)

*记法:* f^{(r)}(x)

*例:* \(\sin x\)的三阶导数是\(-\cos x\)

构造麦克劳林和泰勒级数时，你需要计算简单函数的三阶及以上阶导数。对于复合函数，反复应用链式法则；对于乘积形式，按需使用乘积法则。除非题目明确要求，否则你无需化简级数系数中的阶乘项。

**例题:** 求\(f(x) = \ln(1 + 2x)\)在\(x=0\)处的一阶、二阶、三阶和四阶导数。

1. 一阶导数（链式法则）：

   $$f'(x) = \frac{2}{1+2x} \implies f'(0) = 2$$
2. 二阶导数：

   $$f''(x) = -\frac{4}{(1+2x)^2} \implies f''(0) = -4$$
3. 三阶导数：

   $$f'''(x) = \frac{16}{(1+2x)^3} \implies f'''(0) = 16$$
4. 四阶导数：

   $$f^{(4)}(x) = -\frac{96}{(1+2x)^4} \implies f^{(4)}(0) = -96$$

> **考试提示:** 在级数题中计算导数时，请清晰标注各导数的阶数，即使后续代入出错，阅卷者也会为正确的导数值给分。

*计算器:* allowed

## 麦克劳林级数展开

**麦克劳林级数** — 函数\(f(x)\)以\(x=0\)为中心的幂级数展开式，在级数收敛的x值范围内成立

*记法:* f(x) = \sum_{r=0}^{\infty} \frac{f^{(r)}(0)}{r!}x^r

*例:* \(e^x\)的麦克劳林级数为\(1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ...\)

当题目要求从基本原理推导麦克劳林级数时，你必须显式计算每一个所需的导数，将\(x=0\)代入每个导数，再将数值代入麦克劳林通用形式。除非明确要求推导，否则复合函数可以直接使用公式手册中的标准展开式。

**例题:** 推导\(f(x) = \ln(1 + 2x)\)的麦克劳林级数展开式，直至包含\(x^4\)项，并说明其有效范围。

1. 使用上一个例题中的导数值，加上原函数在该点的值：

   $$f(0) = \ln(1) = 0$$
2. 代入麦克劳林级数通用公式：

   $$f(x) = f(0) + x f'(0) + \frac{x^2}{2!}f''(0) + \frac{x^3}{3!}f'''(0) + \frac{x^4}{4!}f^{(4)}(0)$$
3. 代入导数值：

   $$f(x) = 0 + 2x + \frac{x^2}{2}(-4) + \frac{x^3}{6}(16) + \frac{x^4}{24}(-96)$$
4. 化简各项：

   $$f(x) = 2x - 2x^2 + \frac{8}{3}x^3 - 4x^4$$
5. 有效范围：标准\(\ln(1+u)\)的有效范围为\(|u| < 1\)，因此\(|2x| < 1 \implies |x| < 0.5

> **考试提示:** 如果题目要求，请务必写出有效范围，复合函数的有效范围可以直接使用公式手册中的标准范围。

*计算器:* allowed

## 任意点处的泰勒级数展开

**泰勒级数（以点a为中心）** — 函数\(f(x)\)以\(x=a\)为中心的幂级数展开式，用于近似\(x=a\)附近的\(f(x)\)值

*记法:* f(x) = \sum_{r=0}^{\infty} \frac{f^{(r)}(a)}{r!}(x-a)^r

泰勒级数的结构与麦克劳林级数相同，区别在于导数在\(x=a\)处而非\(x=0\)处求值，各项使用\((x-a)\)的幂次而非x的幂次。当你需要近似非0点附近的函数值时，就可以使用泰勒级数。

**例题:** 求\(f(x) = \sin x\)按\((x - \pi)\)升幂排列的泰勒级数展开式，直至包含\((x - \pi)^3\)项。

1. 计算在\(a = \pi\)处的导数：

   $$f(\pi) = \sin \pi = 0, f'(\pi) = \cos \pi = -1, f''(\pi) = -\sin \pi = 0, f'''(\pi) = -\cos \pi = 1$$
2. 代入泰勒级数通用公式：

   $$f(x) = f(\pi) + (x-\pi)f'(\pi) + \frac{(x-\pi)^2}{2!}f''(\pi) + \frac{(x-\pi)^3}{3!}f'''(\pi)$$
3. 代入数值：

   $$f(x) = 0 + (x-\pi)(-1) + \frac{(x-\pi)^2}{2}(0) + \frac{(x-\pi)^3}{6}(1)$$
4. 化简：

   $$f(x) = -(x-\pi) + \frac{1}{6}(x-\pi)^3$$

> **考试提示:** 除非题目明确要求，否则你无需展开\((x-a)\)项，保留因式形式即可获得全部分数。

*计算器:* allowed

## 微分方程的级数解

要求解微分方程的级数解，反复对给定的常微分方程求导，使用初始条件在指定点（FP2题目中几乎总是\(x=0\)）处求值每个导数，然后将数值代入\(y(x)\)的麦克劳林级数形式。

**例题:** 求微分方程\(\frac{d^2y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + y = 0\)在初始条件\(y=1\)、\(\frac{dy}{dx}=0\)（x=0处）下的级数解，直至包含\(x^4\)项。

1. 写出初始值：\(y(0)=1\)，\(y'(0)=0\)。整理常微分方程以分离最高阶导数：

   $$y'' = -x y' - y \implies y''(0) = -0 -1 = -1$$
2. 对常微分方程求导一次，得到三阶导数：

   $$y''' = -y' - x y'' - y' = -x y'' - 2y' \implies y'''(0) = -0 - 0 = 0$$
3. 再次求导得到四阶导数：

   $$y^{(4)} = -y'' - x y''' - 2y'' = -x y''' - 3y'' \implies y^{(4)}(0) = -0 - 3(-1) = 3$$
4. 代入\(y(x)\)的麦克劳林级数：

   $$y = 1 + 0x + \frac{x^2}{2!}(-1) + \frac{x^3}{3!}(0) + \frac{x^4}{4!}(3)$$
5. 化简：

   $$y = 1 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{8}x^4$$

> **考试提示:** 展示对常微分方程求导的所有步骤，即使你在计算导数值时出现算术错误，这些步骤也能获得方法分。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 对于以\(a \neq 0\)为中心的泰勒级数展开，使用x的幂次而非\((x-a)\)的幂次
  - 原因: 泰勒级数以a为中心，因此各项必须是x与a差值的幂次
  - 正确做法: 对于以a为中心的泰勒级数展开，所有项都必须使用\((x-a)\)作为底数
- **错误做法:** 当题目要求从基本原理推导时，直接引用公式手册中的标准展开式
  - 原因: 推导题要求你显式展示导数计算过程，不能仅靠背诵公式
  - 正确做法: 推导题中必须显式计算所有所需导数，在中心点求值后代入级数通用公式
- **错误做法:** 忘记将每个级数项除以导数阶数对应的阶乘
  - 原因: 通用级数公式中r阶导数项的分母是\(r!\)，省略它会导致系数错误
  - 正确做法: 代入导数值之前，先显式写出每一项的阶乘分母
- **错误做法:** 在推导常微分方程级数解的高阶导数时出现求导错误
  - 原因: 求导错误会传递到所有更高阶导数，导致所有高次项的系数都出错
  - 正确做法: 仔细检查每一步求导，验证代入初始条件后得到的导数值是否自洽
- **错误做法:** 将麦克劳林/泰勒级数与FP2的差分法主题混淆
  - 原因: 这是两个独立的主题，使用的方法完全不同，用错方法不得分
  - 正确做法: 麦克劳林/泰勒级数题使用导数计算，差分法题使用望远镜求和方法

## 速查表

| 展开类型 | 通用公式 | 适用场景 |
| --- | --- | --- |
| 麦克劳林级数 | \(f(x) = \sum_{r=0}^n \frac{f^{(r)}(0)}{r!}x^r + ...\) | 以\(x=0\)为中心的展开，标准函数展开 |
| 泰勒级数（以a为中心） | \(f(x) = \sum_{r=0}^n \frac{f^{(r)}(a)}{r!}(x-a)^r + ...\) | 以任意点\(x=a\)为中心的展开，a附近的近似计算 |
| 常微分方程级数解 | 通过反复对常微分方程求导计算\(y^{(r)}(a)\)，代入级数形式 | 给定初始条件的常微分方程幂级数解 |
| 标准展开式 | 公式手册提供：\(e^x, \sin x, \cos x, \ln(1+x), \arctan x\) | 无需推导时复合函数展开的快捷方法 |

## 下一步

现在你已经掌握了Edexcel IAL FP2的麦克劳林和泰勒级数内容，可以将这些技能应用到各类考试题目中，包括函数值近似、复合函数展开和复杂微分方程的级数解。本主题经常与FP2的其他内容如极坐标和进阶微积分结合考察，跨主题练习对备考至关重要。请务必完成本主题的历年真题，熟悉常见出题表述和评分标准，查阅官方FP2公式手册确认考试允许使用的展开式列表。

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