不等式（Edexcel IAL FP2 进阶数学）

Q: 我可以直接将有理不等式两边乘以分母吗？

不行，因为如果分母为负，不等号方向会翻转，而你无法确定分母对所有x取值的符号。正确做法是乘以分母的平方（恒非负），或者将不等号两侧移项后对差式做符号分析。最终解集必须排除使原分母为零的取值。

Edexcel 国际A-Level 进阶数学· FP2 1.1· 25 分钟阅读

1. 求解有理不等式：符号分析法★★☆☆☆⏱ 7 min

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📘 定义

有理不等式

至少包含一个分子分母均为x的多项式的分数，分数位于不等号一侧或两侧的不等式。

例:

$\frac{1}{x - a} > \frac{x}{x - b}$

求解有理不等式的唯一安全方法是对移项后的差式做符号分析，或者乘以分母的平方。你绝对不能直接乘以符号未知的分母，因为如果分母为负会翻转不等号，导致解出错。符号分析法步骤：1. 将所有项移到不等号一侧，另一侧为0。2. 合并所有项为单个完全化简的分式。3. 找出临界值：分子等于0（分式为0）或分母等于0（分式无定义）的点。4. 在数轴上标出临界值，将数轴划分为若干区间。5. 测试每个区间内分式的符号，找出满足不等式的区间。6. 排除所有使原分母为零的取值。

📐 例题

求解 $\frac{1}{x - 2} > \frac{x}{x + 1}$

1
步骤1：将所有项移到左侧，令右侧大于0：
2
$\frac{1}{x-2} - \frac{x}{x+1} > 0$
3
步骤2：使用公分母 $(x - 2) (x + 1)$ 合并为单个分式：
4
$\frac{(x+1) - x(x-2)}{(x-2)(x+1)} > 0$
5
$\frac{-x^2 + 3x + 1}{(x-2)(x+1)} > 0$
6
分子分母同时乘以-1，翻转不等号方向：
7
$\frac{x^2 - 3x -1}{(x-2)(x+1)} < 0$
8
步骤3：找出临界值：分子根为 $x = \frac{3 \pm 13}{2} \approx - 0.303, 3.303$ ，分母在 $x = - 1, x = 2$ 处无定义
9
步骤4：测试临界值之间的区间：有效区间为 $(- 1, \frac{3 - 13}{2}) \cup (2, \frac{3 + 13}{2})$
10
步骤5：排除无定义点 $x = - 1, x = 2$ ，这些点已经被开区间自动排除。

Exam tip:

作答时务必清晰写出所有临界值，即使最终区间有误，判卷老师也会为正确的临界值给出步骤分。

2. 求解有理不等式：分母平方法★★★☆☆⏱ 6 min

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符号分析法的替代方案是将不等式两侧同时乘以分母的平方，由于平方恒非负，不等号方向不会改变。该方法对简单不等式求解更快，但你仍必须从最终解集中明确排除使原分母为零的取值。步骤：1. 找出不等式中所有分母。2. 将不等式两侧乘以每个分母的平方（非负，不等号方向不变）。3. 将所有项移到一侧，完全因式分解后求解得到的多项式不等式。4. 排除所有使原分母为零的取值。

📐 例题

使用平方法求解 $\frac{3}{x + 4} < 2$

1
步骤1：唯一的分母是 $x + 4$ ，平方为 $(x + 4)^{2}$ ，要求 $x \neq = - 4$
2
步骤2：两侧乘以 $(x + 4)^{2}$ （正数，不等号方向不变）：
3
$3(x+4) < 2(x+4)^2$
4
步骤3：将所有项移到一侧并化简：
5
$2(x^2 + 8x +16) - 3x - 12 > 0$
6
$2x^2 +13x +20 > 0$
7
$(2x +5)(x +4) > 0$
8
步骤4：找出临界值 $x = - 4, x = - \frac{5}{2}$ ，测试区间：有效解为 $x < - 4 \cup x > - \frac{5}{2}$
9
步骤5：排除无定义值 $x = - 4$ ，该点已经被开区间自动排除。

3. 求解模不等式★★★☆☆⏱ 7 min

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📘 定义

模不等式

包含绝对值函数 $∣ f (x) ∣$ 的不等式，该函数对所有实数x返回f(x)的非负值。

例:

$∣ x^{2} - 1∣ > 2 (x + 1)$

三种求解模不等式的合规方法：1. 分类讨论：将模内表达式拆分为正、负两种情况分别讨论。2. 两侧平方：仅当不等式两侧均非负时有效。3. 图像草图：画出不等号两侧的图像，找到交点，识别出要求一侧图像更高的区间。所有方法都要求你将最终解代回原不等式检验，剔除增根。

📐 例题

求解 $∣ x^{2} - 1∣ > 2 (x + 1)$

1
步骤1：因式分解模内的表达式： $∣ (x - 1) (x + 1) ∣ > 2 (x + 1)$
2
步骤2：分类讨论，情况1： $x^{2} - 1 \geq 0$ → $x \leq - 1$ 或 $x \geq 1$ ，因此 $∣ x^{2} - 1∣ = x^{2} - 1$
3
$x^2 -1 > 2x + 2 → x^2 - 2x -3 >0 → (x-3)(x+1) >0$
4
情况1的解： $x < - 1$ 或 $x > 3$ ，与情况1的定义域取交集得到 $x < - 1$ 或 $x > 3$
5
情况2： $x^{2} - 1 < 0$ → $- 1 < x < 1$ ，因此 $∣ x^{2} - 1∣ = 1 - x^{2}$
6
$1 -x^2 > 2x + 2 → 0 > x^2 + 2x +1 → 0 > (x+1)^2$
7
该式对所有实数x都不成立，因此情况2没有解。
8
最终解： $x < - 1 \cup x > 3$
9
用图像验证：画出 $y = ∣ x^{2} - 1∣$ 和 $y = 2 (x + 1)$ ，交点在x=-1和x=3处，因此模函数曲线在直线上方的区域为x < -1或x>3，验证了解的正确性。

Exam tip:

考试中快速画出不等号两侧函数的标注草图是解集的有效证明，还能帮你快速发现代数运算中的错误。

4. 考试证明与作答规范★★☆☆☆⏱ 5 min

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✓ 快速检测

以下哪个是求解 $\frac{2}{x - 3} > x + 1$ 的有效第一步？
- 两侧乘以 $x - 3$ 得到 $2 > (x + 1) (x - 3)$
- 移项得到 $\frac{2}{x - 3} - (x + 1) > 0$
- 两侧乘以 $(x - 3)^{2}$ 得到 $2 (x - 3) > (x + 1) (x - 3)^{2}$
显示答案
[ 1, 2 ] —
选项1无效，因为 $x - 3$ 可能为负，会翻转不等号。选项2和3分别是官方认可的符号分析法和平方法。

5. 常见陷阱

错误做法:

将有理不等式两侧直接乘以符号未知的分母。

原因:

如果分母为负，不等号方向会翻转，导致解区间缺失或错误。

正确做法:

要么将所有项移到一侧使用符号分析法，要么乘以分母的平方（恒非负，不等号方向不变）。

错误做法:

将使分母为零的取值纳入最终解集。

原因:

这些取值会让原不等式无定义，永远不可能是有效解。

正确做法:

始终列出分母为零的临界点，从最终解区间中明确排除这些点。

错误做法:

对一侧可能为负的不等式两侧直接平方。

原因:

负数平方后变为正数，会引入不满足原不等式的增根。

正确做法:

只有确认两侧对所有x均非负时才能平方，否则使用分类讨论或图像法。

错误做法:

不等式两侧乘以或除以负数时忘记翻转不等号方向。

原因:

乘以或除以负数会反转数值的大小顺序，因此不等号方向必须改变才能保持不等式成立。

正确做法:

每当你将不等式乘以/除以负数时，立即翻转不等号的方向。

错误做法:

对带≥/≤的非严格不等式使用开区间，将满足条件的端点排除在外。

原因:

对于非严格不等式，表达式有定义且满足等式条件的端点必须纳入解集。

正确做法:

对有效端点使用闭方括号[ ]，对无定义点或严格不等式使用圆括号( )。

6. 速查表

不等式类型	推荐方法	核心规则
有理不等式	符号分析法或分母平方法	永远不要乘以符号未知的分母；排除无定义点
模不等式（两侧均非负）	两侧平方后求解多项式不等式	将所有解代回原不等式检验，剔除增根
模不等式（一侧可为负）	分类讨论或图像草图法	将模拆分为正/负两种情况，将解与对应情况的定义域取交集
非严格不等式（≥/≤）	任意合规方法	将有效端点纳入解集；排除无定义点

7. 常见问题

我可以直接将有理不等式两边乘以分母吗？

不行，因为如果分母为负，不等号方向会翻转，而你无法确定分母对所有x取值的符号。正确做法是乘以分母的平方（恒非负），或者将不等号两侧移项后对差式做符号分析。最终解集必须排除使原分母为零的取值。

什么时候可以对模不等式两边同时平方？

当不等式两侧均为非负时可以平方。如果其中一侧可能为负，则改用分类讨论或图像草图法，避免遗漏有效解或引入增根。

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下一步

掌握FP2不等式求解后，你可以将这些代数运算技巧应用到FP2的其他主题，包括进阶微积分和复数不等式。这些技巧也经常和级数、微分方程结合出现在后续FP2考试题型中。练习历年真题可以帮你快速针对不同题型选择最高效的方法，避开考试中会丢分的常见陷阱。请确保你能清晰写出作答过程，按要求给出证明，拿到不等式题的全部分数。