# 不等式（Edexcel IAL FP2 进阶数学）

> Edexcel 国际A-Level 进阶数学 · Edexcel IAL 进阶数学 2018 大纲（第3版）
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-further-math-fp2-inequalities/

本指南涵盖Edexcel IAL进阶数学FP2中的不等式求解内容，包括有理不等式和模不等式，使用官方认可的符号安全方法和考试合规的证明技巧。

**先修:** [P1-P4代数运算与模函数](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-maths-p4-algebra/); [FP1代数运算](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-further-math-fp1-algebra/)

## 学习目标

- 使用符号分析法或分母平方法求解有理不等式（禁止乘以符号未知的表达式）
- 通过分类讨论、两侧平方或图像验证求解模不等式
- 从最终解集中正确排除无定义值（分母为零的点）
- 考试要求时使用草图验证解以获得对应步骤分

## 求解有理不等式：符号分析法

**有理不等式** — 至少包含一个分子分母均为x的多项式的分数，分数位于不等号一侧或两侧的不等式。

*例:* $\frac{1}{x-a} > \frac{x}{x-b}$

求解有理不等式的唯一安全方法是对移项后的差式做符号分析，或者乘以分母的平方。你**绝对不能直接乘以符号未知的分母**，因为如果分母为负会翻转不等号，导致解出错。符号分析法步骤：1. 将所有项移到不等号一侧，另一侧为0。2. 合并所有项为单个完全化简的分式。3. 找出临界值：分子等于0（分式为0）或分母等于0（分式无定义）的点。4. 在数轴上标出临界值，将数轴划分为若干区间。5. 测试每个区间内分式的符号，找出满足不等式的区间。6. 排除所有使原分母为零的取值。

**例题:** 求解 $\frac{1}{x-2} > \frac{x}{x+1}$

1. 步骤1：将所有项移到左侧，令右侧大于0：
2. $$\frac{1}{x-2} - \frac{x}{x+1} > 0$$
3. 步骤2：使用公分母 $(x-2)(x+1)$ 合并为单个分式：
4. $$\frac{(x+1) - x(x-2)}{(x-2)(x+1)} > 0$$
5. $$\frac{-x^2 + 3x + 1}{(x-2)(x+1)} > 0$$
6. 分子分母同时乘以-1，翻转不等号方向：
7. $$\frac{x^2 - 3x -1}{(x-2)(x+1)} < 0$$
8. 步骤3：找出临界值：分子根为 $x = \frac{3\pm\sqrt{13}}{2} \approx -0.303, 3.303$，分母在 $x=-1, x=2$ 处无定义
9. 步骤4：测试临界值之间的区间：有效区间为 $(-1, \frac{3-\sqrt{13}}{2}) \cup (2, \frac{3+\sqrt{13}}{2})$
10. 步骤5：排除无定义点 $x=-1, x=2$，这些点已经被开区间自动排除。

> **考试提示:** 作答时务必清晰写出所有临界值，即使最终区间有误，判卷老师也会为正确的临界值给出步骤分。

*计算器:* allowed

## 求解有理不等式：分母平方法

符号分析法的替代方案是将不等式两侧同时乘以分母的平方，由于平方恒非负，不等号方向不会改变。该方法对简单不等式求解更快，但你仍必须从最终解集中明确排除使原分母为零的取值。步骤：1. 找出不等式中所有分母。2. 将不等式两侧乘以每个分母的平方（非负，不等号方向不变）。3. 将所有项移到一侧，完全因式分解后求解得到的多项式不等式。4. 排除所有使原分母为零的取值。

**例题:** 使用平方法求解 $\frac{3}{x+4} < 2$

1. 步骤1：唯一的分母是 $x+4$，平方为 $(x+4)^2$，要求 $x \neq -4$
2. 步骤2：两侧乘以 $(x+4)^2$（正数，不等号方向不变）：
3. $$3(x+4) < 2(x+4)^2$$
4. 步骤3：将所有项移到一侧并化简：
5. $$2(x^2 + 8x +16) - 3x - 12 > 0$$
6. $$2x^2 +13x +20 > 0$$
7. $$(2x +5)(x +4) > 0$$
8. 步骤4：找出临界值 $x=-4, x=-\frac{5}{2}$，测试区间：有效解为 $x < -4 \cup x > -\frac{5}{2}$
9. 步骤5：排除无定义值 $x=-4$，该点已经被开区间自动排除。

> **warning**
>
> 即使某个取值看起来满足求解得到的多项式不等式，也绝对不要忘记排除使原分母为零的点。这些值在原问题中无定义，永远不能属于解集。

*计算器:* allowed

## 求解模不等式

**模不等式** — 包含绝对值函数 $|f(x)|$ 的不等式，该函数对所有实数x返回f(x)的非负值。

*例:* $|x^2 -1| > 2(x+1)$

三种求解模不等式的合规方法：1. 分类讨论：将模内表达式拆分为正、负两种情况分别讨论。2. 两侧平方：仅当不等式两侧均非负时有效。3. 图像草图：画出不等号两侧的图像，找到交点，识别出要求一侧图像更高的区间。所有方法都要求你将最终解代回原不等式检验，剔除增根。

**例题:** 求解 $|x^2 -1| > 2(x+1)$

1. 步骤1：因式分解模内的表达式：$|(x-1)(x+1)| > 2(x+1)$
2. 步骤2：分类讨论，情况1：$x^2 -1 \geq 0$ → $x \leq -1$ 或 $x \geq 1$，因此 $|x^2-1| = x^2 -1$
3. $$x^2 -1 > 2x + 2 → x^2 - 2x -3 >0 → (x-3)(x+1) >0$$
4. 情况1的解：$x < -1$ 或 $x > 3$，与情况1的定义域取交集得到 $x < -1$ 或 $x>3$
5. 情况2：$x^2 -1 <0$ → $-1 < x <1$，因此 $|x^2 -1| = 1 -x^2$
6. $$1 -x^2 > 2x + 2 → 0 > x^2 + 2x +1 → 0 > (x+1)^2$$
7. 该式对所有实数x都不成立，因此情况2没有解。
8. 最终解：$x < -1 \cup x > 3$
9. 用图像验证：画出 $y=|x²-1|$ 和 $y=2(x+1)$，交点在x=-1和x=3处，因此模函数曲线在直线上方的区域为x < -1或x>3，验证了解的正确性。

> **考试提示:** 考试中快速画出不等号两侧函数的标注草图是解集的有效证明，还能帮你快速发现代数运算中的错误。

*计算器:* allowed

## 考试证明与作答规范

**考试命令词**

FP2考试不等式题常见的指令术语及预期作答要求：

- **Solve** — 找出所有满足不等式的实数x，以集合或区间并集的形式呈现，排除无定义点。 *(将解写为 $x < -2 \cup 1 < x < 4$，不要逐个列出数值。)*

- **Justify your answer** — 写出全部代数运算过程，或者画出不等号两侧带标注的函数草图来支撑你的解。

- **Show that** — 使用合规的代数运算（不乘以符号未知的表达式）证明给定不等式在指定x范围内成立。

**概念自测**

1. 以下哪个是求解 $\frac{2}{x-3} > x + 1$ 的有效第一步？

   - 两侧乘以 $x-3$ 得到 $2 > (x+1)(x-3)$
   - 移项得到 $\frac{2}{x-3} - (x+1) > 0$
   - 两侧乘以 $(x-3)^2$ 得到 $2(x-3) > (x+1)(x-3)^2$

   *解析:* 选项1无效，因为 $x-3$ 可能为负，会翻转不等号。选项2和3分别是官方认可的符号分析法和平方法。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 将有理不等式两侧直接乘以符号未知的分母。
  - 原因: 如果分母为负，不等号方向会翻转，导致解区间缺失或错误。
  - 正确做法: 要么将所有项移到一侧使用符号分析法，要么乘以分母的平方（恒非负，不等号方向不变）。
- **错误做法:** 将使分母为零的取值纳入最终解集。
  - 原因: 这些取值会让原不等式无定义，永远不可能是有效解。
  - 正确做法: 始终列出分母为零的临界点，从最终解区间中明确排除这些点。
- **错误做法:** 对一侧可能为负的不等式两侧直接平方。
  - 原因: 负数平方后变为正数，会引入不满足原不等式的增根。
  - 正确做法: 只有确认两侧对所有x均非负时才能平方，否则使用分类讨论或图像法。
- **错误做法:** 不等式两侧乘以或除以负数时忘记翻转不等号方向。
  - 原因: 乘以或除以负数会反转数值的大小顺序，因此不等号方向必须改变才能保持不等式成立。
  - 正确做法: 每当你将不等式乘以/除以负数时，立即翻转不等号的方向。
- **错误做法:** 对带≥/≤的非严格不等式使用开区间，将满足条件的端点排除在外。
  - 原因: 对于非严格不等式，表达式有定义且满足等式条件的端点必须纳入解集。
  - 正确做法: 对有效端点使用闭方括号[ ]，对无定义点或严格不等式使用圆括号( )。

## 速查表

| 不等式类型 | 推荐方法 | 核心规则 |
| --- | --- | --- |
| 有理不等式 | 符号分析法或分母平方法 | 永远不要乘以符号未知的分母；排除无定义点 |
| 模不等式（两侧均非负） | 两侧平方后求解多项式不等式 | 将所有解代回原不等式检验，剔除增根 |
| 模不等式（一侧可为负） | 分类讨论或图像草图法 | 将模拆分为正/负两种情况，将解与对应情况的定义域取交集 |
| 非严格不等式（≥/≤） | 任意合规方法 | 将有效端点纳入解集；排除无定义点 |

## 下一步

掌握FP2不等式求解后，你可以将这些代数运算技巧应用到FP2的其他主题，包括进阶微积分和复数不等式。这些技巧也经常和级数、微分方程结合出现在后续FP2考试题型中。练习历年真题可以帮你快速针对不同题型选择最高效的方法，避开考试中会丢分的常见陷阱。请确保你能清晰写出作答过程，按要求给出证明，拿到不等式题的全部分数。

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