# 进阶复数

> Edexcel 国际A-Level 进阶数学 · IAL FP2 2018 考纲（第3版）
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-further-math-fp2-further-complex-numbers/

本指南覆盖Edexcel IAL FP2进阶复数全部内容：欧拉关系式、棣莫弗定理、阿尔冈轨迹与z平面变换，配有贴合考试的例题和避坑提示。

**先修:** [FP1复数（四则运算、模、辐角、共轭复数）](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-further-math-fp1-complex-numbers/); [正整数指数的二项式定理](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-math-core-pure-binomial-theorem/)

## 学习目标

- 应用欧拉关系式及推导得到的三角指数恒等式
- 对所有整数n证明棣莫弗定理，并将其用于三角恒等式推导与复数的n次方根计算
- 绘制并解读阿尔冈图中的标准轨迹与区域
- 完成基础的z平面到w平面变换，包括$w=z^2$与莫比乌斯变换
- 解答FP2中所有进阶复数考点对应的考试题型

## 欧拉关系式与三角指数形式

**欧拉关系式** — $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ 对所有实数$\theta$成立。该恒等式将复数域的指数函数与三角函数关联起来。

*例:* 当$\theta = \pi$时，可得到欧拉恒等式：$e^{i\pi} + 1 = 0$。

从欧拉关系式出发，你可以推导出余弦和正弦用复指数表示的两个核心恒等式，这是考试中必须熟记的内容：

$$\cos\theta = \frac{1}{2}\left(e^{i\theta} + e^{-i\theta}\right)$$

$$\sin\theta = \frac{1}{2i}\left(e^{i\theta} - e^{-i\theta}\right)$$

**例题:** 使用余弦的指数形式，将$\cos^3\theta$表示为多倍角形式。

1. 从余弦的指数恒等式出发，对三次方进行展开：

   $$\cos^3\theta = \left(\frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}\right)^3$$
2. 使用二项式定理展开分子：

   $$= \frac{e^{i3\theta} + 3e^{i\theta} + 3e^{-i\theta} + e^{-i3\theta}}{8}$$
3. 对项进行分组，匹配指数余弦恒等式的结构：

   $$= \frac{1}{4}\left(\frac{e^{i3\theta} + e^{-i3\theta}}{2}\right) + \frac{3}{4}\left(\frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}\right)$$
4. 代回标准余弦形式，得到最终结果：

   $$= \frac{1}{4}\cos3\theta + \frac{3}{4}\cos\theta$$

> **考试提示:** 相比反复使用倍角公式，指数三角恒等式可以在多倍角恒等式类题目上节省大量时间。

*计算器:* allowed

## 棣莫弗定理：证明与应用

**棣莫弗定理** — 对任意整数$n$和实数$\theta$，$[r(\cos\theta + i\sin\theta)]^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)$。在指数形式下，该式可简化为$(re^{i\theta})^n = r^n e^{in\theta}$。

**推导:** 证明棣莫弗定理对所有整数$n$成立

*起点:* 欧拉关系式与数学归纳法

1. 基础情况1：$n=1$：$[r(\cos\theta + i\sin\theta)]^1 = r(\cos 1\theta + i\sin 1\theta)$，显然成立。
2. 归纳步骤：假设定理对正整数$n=k$成立：$[r(\cos\theta + i\sin\theta)]^k = r^k(\cos k\theta + i\sin k\theta)$。
3. 对于$n=k+1$，将$n=k$的结果乘以$r(\cos\theta + i\sin\theta)$，并应用和角公式：

   $$[r(\cos\theta + i\sin\theta)]^{k+1} = r^k(\cos k\theta + i\sin k\theta) \times r(\cos\theta + i\sin\theta) = r^{k+1}(\cos(k+1)\theta + i\sin(k+1)\theta)$$
4. 基础情况2：$n=0$：左侧等于1，右侧等于$r^0(\cos 0 + i\sin 0) = 1$，因此$n=0$时定理成立。
5. 负整数$n$：令$n=-m$，其中$m$为正整数。利用$\frac{1}{\cos m\theta + i\sin m\theta} = \cos(-m\theta) + i\sin(-m\theta)$，可证明定理对所有负整数$n$成立。

*结论:* 棣莫弗定理已被证明对所有整数$n$成立。

**例题:** 求复数$z = 16\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\right)$的所有4次方根。

1. 对根应用棣莫弗定理：$r(\cos\theta + i\sin\theta)$的n次方根的模为$r^{1/n}$，辐角为$\frac{\theta + 2\pi k}{n}$，其中$k=0,1,...,n-1$。
2. 计算根的模：$16^{1/4} = 2$。
3. 计算$k=0,1,2,3$对应的所有有效辐角：

   $$\frac{2\pi/3 + 2\pi k}{4} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}$$
4. 列出4个不同的根：

   $$2\left(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\right), 2\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\right), 2\left(\cos\left(-\frac{5\pi}{6}\right) + i\sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right)\right), 2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)$$

> **考试提示:** 除非题目明确另有要求，否则n次方根的辐角必须使用主辐角（范围为$-\pi < \theta \leq \pi$）。

*计算器:* allowed

## 阿尔冈图中的轨迹与区域

- $|z - a| = b$：圆心为复数$a$、半径为$b$的圆
- $|z - a| = k|z - b|$（$k \neq 1$）：阿波罗尼斯圆，所有点$z$到$a$和$b$的距离之比为$k$
- $\arg(z - a) = \beta$：从$a$出发、与正实轴夹角为$\beta$的半直线，不包含点$a$本身
- $\arg\left(\frac{z-a}{z-b}\right) = \beta$：经过$a$和$b$的一段圆弧，其中从$z$指向$a$和从$z$指向$b$的两条直线的夹角为$\beta$
- 区域是上述形式的不等式，例如$|z-a| \leq b$是圆的内部与边界，$|z-a| \leq |z-b|$是比点$b$更靠近点$a$的半平面

**例题:** 绘制由$\arg\left(\frac{z - 2i}{z + 3}\right) = \frac{\pi}{4}$定义的轨迹，并写出对应圆的圆心坐标。

1. 识别两个定点：$a = 2i$（坐标$(0,2)$）和$b = -3$（坐标$(-3,0)$）。
2. 该轨迹是经过$(0,2)$和$(-3,0)$的圆的一段圆弧，其中两点连线对应的圆周角为$\frac{\pi}{4}$，位于弦的上方。
3. 圆心位于点$(-3,0)$和$(0,2)$连线的垂直平分线上。中点为$(-1.5, 1)$，弦的斜率为$\frac{2}{3}$，因此垂直平分线的斜率为$-\frac{3}{2}$。
4. 利用圆的定理：圆心角是圆周角的两倍，因此圆心角为$\frac{\pi}{2}$。圆心位于垂直平分线上，距离中点$(-1.5, 1)$的距离为$\frac{\sqrt{13}}{2}$，得到圆心坐标为$\left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right)$，半径为$\sqrt{\frac{13}{2}}$。

> **考试提示:** 即使你的轨迹草图没有完全按比例绘制，也务必标注定点和关键角度，以拿到全部步骤分。

*计算器:* allowed

## z平面到w平面的变换

**莫比乌斯变换** — 形式为$w = \frac{az + b}{cz + d}$的变换，其中$a,b,c,d$为复常数且$ad - bc \neq 0$。这类变换将z平面中的直线和圆映射为w平面中的直线或圆。

**例题:** 变换$w = \frac{z + 1}{z - i}$将z平面中的轨迹$|z| = 1$映射为w平面中的一条直线，求该直线的方程。

1. 对变换式进行整理，将$z$表示为因变量：

   $$w(z - i) = z + 1 \implies wz - wi = z + 1 \implies z(w - 1) = 1 + wi \implies z = \frac{1 + wi}{w - 1}$$
2. 代入原始轨迹方程$|z| = 1$：

   $$\left|\frac{1 + wi}{w - 1}\right| = 1$$
3. 利用模的性质$\left|\frac{A}{B}\right| = \frac{|A|}{|B|}$进行化简：

   $$|1 + wi| = |w - 1|$$
4. 令$w = u + iv$（$u,v$为实数）并代入方程：

   $$|1 + i(u + iv)| = |u + iv - 1| \implies |1 - v + iu| = |(u - 1) + iv|$$
5. 将模平方后相等，化简得到结果：

   $$(1 - v)^2 + u^2 = (u - 1)^2 + v^2 \implies 1 - 2v + v^2 + u^2 = u^2 - 2u + 1 + v^2 \implies u = v$$

> **考试提示:** 当题目要求写出变换后的轨迹方程时，除非明确要求复数形式，否则最终答案务必用实坐标$u$和$v$（其中$w = u + iv$）表示。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 使用主辐角范围$0 \leq \arg(z) < 2\pi$，而非Edexcel要求的$-\pi < \arg(z) \leq \pi$
  - 原因: Edexcel明确规定了从负π到正π的约定，超出该范围的答案会丢失精度分。
  - 正确做法: 提交最终答案前，始终通过加或减$2\pi$将辐角调整到$(-\pi, \pi]$范围内。
- **错误做法:** 将$\arg(z - a) = \beta$绘制为完整的无限直线，而非半直线
  - 原因: 辐角仅对从$a$出发沿$\beta$方向的点有定义，点$a$本身的辐角是未定义的。
  - 正确做法: 仅绘制从$a$出发沿$\beta$方向的正确方向的线段部分，并用空心圆标记点$a$表示其被排除。
- **错误做法:** 计算复数的n次方根时，忘记将$2\pi k$除以$n$
  - 原因: n次方根的辐角间隔为$2\pi/n$，直接加完整的$2\pi$增量只会重复得到同一个根，无法得到不同的根。
  - 正确做法: 要得到$n$个不同的根，对$k = 0, 1, ..., n-1$使用辐角$\frac{\theta + 2\pi k}{n}$。
- **错误做法:** 假设莫比乌斯变换总是将圆映射为圆
  - 原因: 如果z平面中的原始圆经过变换的极点（即分母为零的点$z = -d/c$），它将被映射为w平面中的直线，而非圆。
  - 正确做法: 首先检查极点是否位于原始轨迹上，以确定变换后的轨迹是直线还是圆。
- **错误做法:** 仅对正整数$n$证明棣莫弗定理，忽略$n=0$和负整数的情况
  - 原因: 考试题目经常要求证明对所有整数$n$成立，遗漏零和负整数的情况会丢失大约一半的可用分数。
  - 正确做法: 始终包含$n=1$和$n=0$的基础情况，然后通过对正整数结果取倒数扩展到负整数$n$。

## 速查表

| 概念 | 核心公式/规则 | 考试提示 |
| --- | --- | --- |
| 欧拉关系式 | $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ | 如有需要可自行推导$\cos\theta = \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$和$\sin\theta = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$ |
| 棣莫弗定理 | $[r(\cos\theta+i\sin\theta)]^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)$ | 通过归纳法对所有整数n证明；根的辐角间隔为$2\pi/n$ |
| $\|z-a\|=b$ | 圆心为$a$、半径为$b$的圆 | 区域$\|z-a\|\leq b$包含边界 |
| $\|z-a\|=k\|z-b\|$（$k≠1$） | 阿波罗尼斯圆 | 如果$k=1$，则是点$a$和$b$连线的垂直平分线 |
| $\arg(z-a)=\beta$ | 从$a$出发、与实轴夹角为$\beta$的半直线 | 排除点$a$（草图上用空心圆标记） |
| 莫比乌斯变换 | $w = \frac{az+b}{cz+d}$ | 整理变换式将$z$表示为因变量，代入原始轨迹方程 |

## 下一步

现在你已经掌握了Edexcel IAL FP2的进阶复数内容，可以继续学习FP2的下一个核心主题：二阶微分方程，该主题经常使用复数方法求解高阶线性方程。你还应该练习该主题的完整历年真题，熟悉每年都会出现的证明、计算和绘图类题型。确保你能快速回忆起标准轨迹和变换的步骤，在1小时30分钟的考试中节省时间。

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