# 一阶微分方程（FP2）

> Edexcel 国际A-Level 进阶数学 · FP2
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-further-math-fp2-first-order-differential-equations/

本指南覆盖Edexcel IAL进阶数学FP2要求的全部三种一阶微分方程技巧：可分离变量常微分方程、通过积分因子求解的线性常微分方程、使用给定代换可化简的常微分方程，以及面向考试的解题策略。

**先修:** [A-Level 纯数学积分技巧](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-pure-maths-integration/); [基础求导法则（链式法则、乘积法则、商数法则）](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-pure-maths-differentiation/)

## 学习目标

- 求解可分离变量一阶常微分方程，利用边界条件求特解，并绘制解曲线族
- 使用积分因子法求解形如 $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ 的线性一阶常微分方程
- 应用给定代换将非标准一阶常微分方程转化为可分离变量形式或线性形式
- 按照考纲要求从实际场景中建立一阶常微分方程

## 可分离变量一阶常微分方程

**可分离变量一阶常微分方程** — 形如 $\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$ 的微分方程，可重新整理实现变量分离：$\frac{1}{g(y)} dy = f(x) dx$。

求解时对整理后的方程两侧同时积分，在x侧添加一个任意常数$C$即可得到通解。如果题目给出边界条件，代入求解$C$即可得到特解。

**例题:** 已知$y=2$时$x=0$，求$\frac{dy}{dx} = 3x^2 y$的特解。

1. 1. 整理方程实现变量分离：
2. $$\frac{1}{y} dy = 3x^2 dx$$
3. 2. 对两侧同时积分：
4. $$\ln|y| = x^3 + C$$
5. 3. 对两侧取指数消去自然对数：
6. $$y = Ae^{x^3} \text{ 其中 } A = e^C$$
7. 4. 代入边界条件 $y=2$, $x=0$：
8. $$2 = Ae^{0} \implies A = 2$$
9. 5. 写出特解：
10. $$y = 2e^{x^3}$$

> **考试提示:** 对$1/y$积分得到$\ln|y|$时必须保留绝对值符号，除非题目上下文明确说明$y$恒为正；后续合并常数时可以根据情况去掉绝对值。

*计算器:* allowed

## 线性一阶常微分方程与积分因子

**线性一阶常微分方程** — 可以写成标准形式 $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ 的微分方程，其中$P(x)$和$Q(x)$都只是$x$的函数。

积分因子（IF）法用于求解这类方程。积分因子的计算公式为$e^{\int P(x) dx}$，计算积分因子时不需要添加积分常数。将标准形式方程的每一项都乘以积分因子，方程左侧就可以化简为积分因子与$y$的乘积的导数。

**例题:** 求解$x>0$时的方程$\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = x$。

1. 1. 从标准形式中识别$P(x)$和$Q(x)$：$P(x) = 2/x$，$Q(x) = x$。
2. 2. 计算积分因子：
3. $$IF = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \ln x} = e^{\ln x^2} = x^2$$
4. 3. 将原方程所有项乘以积分因子：
5. $$x^2 \frac{dy}{dx} + 2x y = x^3$$
6. 4. 识别左侧是$IF \cdot y$的导数：
7. $$\frac{d}{dx}(x^2 y) = x^3$$
8. 5. 对两侧关于$x$积分：
9. $$x^2 y = \frac{x^4}{4} + C$$
10. 6. 整理得到$y$的通解：
11. $$y = \frac{x^2}{4} + \frac{C}{x^2}$$

> **tip**
>
> 识别$P(x)$之前必须先将微分方程整理为严格的标准形式$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$：如果$\frac{dy}{dx}$的系数不为1，先将方程整体除以该系数。

*计算器:* allowed

## 通过给定代换可化简的常微分方程

部分非标准一阶常微分方程无法直接用可分离变量法或积分因子法求解，但考试一定会给出代换，将方程转化为上述标准形式之一。你需要对代换式求导，将$\frac{dy}{dx}$替换为含新变量和$x$的表达式，再代入原微分方程。

**例题:** 使用代换$z = y/x$将$x>0$、$y>0$时的方程$\frac{dy}{dx} = \frac{y^2 + x^2}{xy}$化简为可分离变量的常微分方程，再求其通解。

1. 1. 整理给定代换，将$y$表示为$z$和$x$的函数：$y = zx$。
2. 2. 使用乘积法则对$y$关于$x$求导：
3. $$\frac{dy}{dx} = z + x \frac{dz}{dx}$$
4. 3. 将$y = zx$和$\frac{dy}{dx} = z + x \frac{dz}{dx}$代入原微分方程：
5. $$z + x \frac{dz}{dx} = \frac{(zx)^2 + x^2}{x(zx)} = \frac{z^2 x^2 + x^2}{z x^2} = \frac{z^2 + 1}{z} = z + \frac{1}{z}$$
6. 4. 化简消去两侧的$z$，再分离变量：
7. $$x \frac{dz}{dx} = \frac{1}{z} \implies z dz = \frac{1}{x} dx$$
8. 5. 对两侧积分：
9. $$\frac{z^2}{2} = \ln x + C$$
10. 6. 将$z = y/x$代回，得到以$x$和$y$表示的通解：
11. $$\frac{y^2}{2x^2} = \ln x + C \implies y^2 = 2x^2 (\ln x + C)$$

> **考试提示:** 解题最后一定要代换回原变量，考试几乎总是要求答案以$x$和$y$表示，而不是代换后的新变量。

*计算器:* allowed

## 建立微分方程与绘制解曲线

考试题目可能要求你从实际场景（例如变化率、种群增长、冷却过程）出发，利用给定的比例关系建立一阶常微分方程。你也可能被要求绘制解曲线族中的若干条曲线，展示任意常数$C$取不同值时的效果。

**例题:** 种群$P$在时刻$t$的增长率与$P$和$(1000 - P)$的乘积成正比，使用$k$作为比例常数，建立关于$P$和$t$的一阶常微分方程。

1. 1. 将变化率描述转化为数学表述：$P$的增长率为$\frac{dP}{dt}$。
2. 2. 写出比例关系：$\frac{dP}{dt} \propto P(1000 - P)$
3. 3. 引入比例常数$k$得到最终微分方程：
4. $$\frac{dP}{dt} = kP(1000 - P) \text{ 其中 } k > 0$$

绘制解曲线时，选取2-3个不同的$C$值（例如正、负、零）绘制对应曲线，标注所有渐近线和截距，清晰说明$C$的取值变化如何平移或变换曲线。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 计算积分因子前忘记将线性微分方程整理为标准形式（$\frac{dy}{dx}$的系数为1）。
  - 原因: 这会导致$P(x)$取值错误，积分因子随之出错，整个求解过程全部失效。
  - 正确做法: 始终先将方程整体除以$\frac{dy}{dx}$的系数使其等于1，再识别$P(x)$和$Q(x)$。
- **错误做法:** 计算积分因子时添加积分常数。
  - 原因: 该常数在方程乘完积分因子后会自动抵消，完全多余，不仅浪费时间，应用不当还会引入错误。
  - 正确做法: 计算积分因子的积分时省略积分常数。
- **错误做法:** 对$1/y$积分得到$\ln(y)$时没有正当理由就去掉绝对值符号。
  - 原因: 如果$y$可以取负值，这会导致丢失负解，考官也可能因为你遗漏绝对值扣分。
  - 正确做法: 先写出$\ln|y|$，只有在合并任意常数或者题目上下文明确说明$y$恒为正时才去掉绝对值。
- **错误做法:** 使用给定代换求解完成后忘记代换回原变量。
  - 原因: 题目几乎总是要求答案以原始的$x$和$y$变量表示，保留代换后的变量会丢失分数。
  - 正确做法: 将代换变量替换为原始表达式作为解题的最后一步。
- **错误做法:** 对可分离变量微分方程积分时在两侧分别添加独立的任意常数。
  - 原因: 两个独立常数可以合并为一个常数，同时添加两个完全多余，代入边界条件时还容易造成混淆。
  - 正确做法: 两侧积分完成后，只在右侧（x侧）添加一个任意常数$C$。

## 速查表

| 方法 | 标准形式 | 关键步骤 |
| --- | --- | --- |
| 可分离变量常微分方程 | $\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$ | 1. 整理为$\frac{1}{g(y)} dy = f(x) dx$；2. 积分并添加常数$C$；3. 代入边界条件得到特解。 |
| 积分因子法 | $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ | 1. 计算$IF = e^{\int P(x) dx}$；2. 方程乘以积分因子；3. 将左侧化简为$\frac{d}{dx}(IF \cdot y)$；4. 两侧积分。 |
| 给定代换法 | 任意非标准一阶常微分方程 | 1. 对给定代换求导替换$\frac{dy}{dx}$；2. 代入原微分方程；3. 求解得到的标准微分方程；4. 代换回原变量。 |

## 下一步

掌握一阶微分方程是你后续FP2学习的基础技能，考试中它经常和积分、极坐标等其他主题结合出题。当你熟练掌握本指南覆盖的三类一阶常微分方程求解方法后，下一步就可以学习二阶线性微分方程，这是FP2中另一大微分方程主题。你还需要练习将微分方程建立和实际场景关联，这类题目经常在进阶数学考试中和力学、统计主题结合出现。定期练习本主题的真题可以帮助你避免常见错误，在限时考试环境下提升解题速度。

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