使用矩阵进行变换

Q: 如果我记不住变换矩阵，该如何推导它？

求出标准基向量 和 在该变换下的像。矩阵的第一列是点(1,0)的像，第二列是点(0,1)的像。

Edexcel 国际A-Level 进阶数学· FP1 第6.1至6.4节· 45 分钟阅读

1. 二维线性变换的矩阵表示★★☆☆☆⏱ 10 min

✓ 计算器

📘 定义

线性变换

将直线映射为直线、保持原点不变，且满足线性性质： $M (a u + b v) = a M u + b M v$ 对于标量 $a, b$ 和向量 $u, v$ 成立。

例:

沿x轴的反射是线性变换，而平移（不旋转/拉伸直接移动图形）不是线性变换，因为平移不保持原点位置不变。

所有以原点为中心的线性变换都可以表示为作用于列向量的2×2矩阵。推导任意变换矩阵的通用规则是计算标准基向量 $i = (10)$ 和 $j = (01)$ 在该变换下的像：矩阵的第一列是 $i$ 的像，第二列是 $j$ 的像。

📐 例题

推导表示沿x轴反射的矩阵。

1
求 $i = (10)$ 的像：沿x轴反射不会改变该点位置，因此像为 $(10)$ 。
2
求 $j = (01)$ 的像：沿x轴反射会翻转y坐标的符号，因此像为 $(0 - 1)$ 。
3
使用这些像作为列构造变换矩阵：
4
$\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}$

Exam tip:

如果无法回忆起未知的变换矩阵，始终可以通过基向量推导得到；该方法适用于所有以原点为中心的线性变换，即使最终矩阵结果有误，你也可以获得步骤分。

2. 核心变换矩阵★★★☆☆⏱ 12 min

✓ 计算器

你需要能够使用以下核心变换矩阵。只有逆时针旋转矩阵和一般直线反射矩阵会在公式手册中给出；其余所有矩阵如果记不住，都可以通过基向量推导得到。

变换类型	矩阵	关键说明
沿x轴反射	$(10 0 - 1)$	通过基向量推导
沿y轴反射	$(- 1 0 01)$	通过基向量推导
沿 $y = x$ 反射	$(0110)$	通过基向量推导
沿 $y = - x$ 反射	$(0 - 1 - 1 0)$	通过基向量推导
绕原点O逆时针旋转 $θ$	$(cos θ sin θ - sin θ cos θ)$	公式手册中给出
平行于x轴的拉伸，比例系数为 $k$	$(k 0 01)$	通过基向量推导
平行于y轴的拉伸，比例系数为 $k$	$(10 0 k)$	通过基向量推导
以O为中心的放大，比例系数为 $k$	$(k 0 0 k)$	通过基向量推导

📐 例题

求点 $(2, 3)$ 绕原点逆时针旋转90°后的像点。

1
将 $θ = 9 0^{\circ}$ 代入标准旋转矩阵： $cos 9 0^{\circ} = 0$ ， $sin 9 0^{\circ} = 1$ ，因此矩阵为：
2
$\begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$
3
将该矩阵与原点点的列向量相乘：
4
$\begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 \\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0(2) + (-1)(3) \\ 1(2) + 0(3)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3 \\ 2\end{pmatrix}$
5
像点为 $(- 3, 2)$ 。

Exam tip:

对于90°整数倍的角度，可以在坐标网格上标出点并手动旋转验证你的旋转结果，避免符号错误。

3. 复合变换★★★★☆⏱ 15 min

✓ 计算器

当你依次执行两个变换时，复合矩阵是各个独立矩阵的乘积，顺序与变换执行顺序相反。如果你先执行变换B，再执行变换A，复合矩阵是 $A B$ ，因为向量先乘以B，再乘以A： $A (B v) = (A B) v$ 。

📐 例题

一个图形先沿直线 $y = x$ 反射，再绕原点逆时针旋转180°，求复合变换矩阵。

1
识别独立矩阵：沿 $y = x$ 反射（第一个变换B）= $(0110)$ ；180°逆时针旋转（第二个变换A）= $(- 1 0 0 - 1)$ 。
2
按逆顺序组合：复合矩阵 = $A B$ 。
3
计算乘积：
4
$\begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & -1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}$
5
该矩阵对应沿 $y = - x$ 反射，可作为结果正确性的验证。

Exam tip:

如果你不确定顺序，可以用简单点如(1,0)测试你的复合矩阵，依次执行变换并将结果与矩阵乘法输出对比。

4. 逆变换与行列式作为面积比例因子★★★★☆⏱ 12 min

✓ 计算器

📘 定义

面积比例因子

变换后图形的面积与原图形面积的比值，等于 $∣ det (M) ∣$ 。 $det (M)$ 的符号表示定向：正号表示定向保持不变，负号表示定向反转（例如反射变换）。

例:

反射变换的 $det (M) = - 1$ ，因此图形面积不变，但定向被翻转。

当且仅当 $det (M) \neq = 0$ 时逆变换存在，由 $M^{- 1}$ 表示，作用是抵消M的效果。对于复合矩阵为AB的变换序列，逆变换为 $(A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1}$ （逆矩阵顺序也反转）。

📐 例题

某变换的矩阵为 $M = (2003)$ 。面积为4 cm²的三角形经过M变换。(a) 求变换后三角形的面积。(b) 求逆变换的矩阵。

1
计算M的行列式：
2
$\det(M) = (2)(3) - (0)(0) = 6$
3
面积比例因子 = $∣ det (M) ∣ = 6$ ，因此像的面积 = $4 \times 6 = 24$ cm²。
4
使用2×2逆矩阵公式 $M^{- 1} = \frac{1}{d e t ( M )} (d - c - b a)$ ：
5
$M^{-1} = \frac{1}{6}\begin{pmatrix}3 & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{3}\end{pmatrix}$

Exam tip:

你不需要计算图形所有顶点的坐标来求变换后的面积；只需将原面积乘以行列式的绝对值即可，节省答题时间。

5. 常见陷阱

错误做法:

按照口头描述的变换顺序相乘矩阵（先B后A得到BA而非AB）

原因:

矩阵从左侧作用于列向量，因此后执行的变换必须在第一个变换之后作用，所以要放在乘积的左侧。

正确做法:

如果先执行变换B，再执行A，计算乘积AB而非BA，并用样例点测试确认顺序正确。

错误做法:

直接将顺时针旋转的角度代入给出的逆时针旋转矩阵

原因:

公式手册仅提供绕原点逆时针旋转的矩阵。

正确做法:

对于顺时针旋转 $θ$ ，将逆时针矩阵中的 $θ$ 替换为 $- θ$ ，得到 $(cos θ - sin θ sin θ cos θ)$ 。

错误做法:

计算面积比例因子时忘记取行列式的绝对值

原因:

负行列式仅表示定向反转，不存在负面积。

正确做法:

将原面积乘以 $∣ det (M) ∣$ 得到变换后图形的面积。

错误做法:

使用行向量而非列向量推导变换矩阵

原因:

Edexcel考纲使用列向量约定，即像 = M * 向量，而非向量 * M。

正确做法:

将列向量 $(10)$ 和 $(01)$ 的像作为变换矩阵的列，而非行。

错误做法:

假设所有矩阵都存在逆变换

原因:

行列式为零的变换是奇异变换，会将图形坍缩为一条直线或一个点，因此无法被逆转。

正确做法:

计算逆变换矩阵之前，首先检查 $det (M) \neq = 0$ 是否成立。

6. 速查表

变换类型	矩阵	关键性质
沿x轴反射	$(10 0 - 1)$	$det = - 1$
沿y轴反射	$(- 1 0 01)$	$det = - 1$
沿 $y = x$ 反射	$(0110)$	$det = - 1$
沿 $y = - x$ 反射	$(0 - 1 - 1 0)$	$det = - 1$
逆时针旋转 $θ$	$(cos θ sin θ - sin θ cos θ)$	$det = 1$
平行x轴拉伸，比例系数k	$(k 0 01)$	$det = k$
平行y轴拉伸，比例系数k	$(10 0 k)$	$det = k$
放大，比例系数k	$(k 0 0 k)$	$det = k^{2}$
先执行B再执行A的复合变换	$A B$	$det = det (A) det (B)$
逆变换	$M^{- 1}$	$det = 1/ det (M)$

7. 常见问题

计算复合变换的矩阵时，矩阵相乘的顺序是什么？

如果先应用变换B，再应用变换A，复合矩阵是AB，而不是BA。矩阵从左侧作用于列向量，因此后执行的变换要放在乘积的左侧。

如果我记不住变换矩阵，该如何推导它？

求出标准基向量 $(10)$ 和 $(01)$ 在该变换下的像。矩阵的第一列是点(1,0)的像，第二列是点(0,1)的像。

行列式为负值代表什么含义？

负号表示该变换反转了图形的定向（例如反射的行列式值为-1）。行列式的绝对值是面积比例因子，因此计算面积时始终使用正值。

深入阅读

official_documentEdexcel IAL FP1 考试大纲第6部分为变换相关内容，请查阅
official_documentEdexcel IAL 进阶数学公式手册包含标准旋转和反射矩阵公式

下一步

掌握FP1二维矩阵变换后，你可以将这些技能应用到历年真题中，这类题目通常会结合矩阵运算和坐标几何知识点。请完成足够的练习以避免常见的乘法顺序错误，这类错误每年都会让很多考生失分。如果你后续学习进阶数学的更高阶单元，会在FP3中再次遇到矩阵变换，届时会扩展到三维场景。你也应当复习矩阵逆和行列式的计算，确保可以完整解答分值为6-8分的复合变换和逆变换考题。