# 使用矩阵进行变换

> Edexcel 国际A-Level 进阶数学 · IAL FP1 2018大纲（第3版）
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-further-math-fp1-transformations-using-matrices/

本指南涵盖Edexcel IAL FP1所有二维矩阵变换内容，包括核心变换矩阵、复合变换、逆变换以及行列式面积比例因子，配有贴合考试要求的例题。

**先修:** [2×2矩阵乘法以及2×2矩阵求逆运算](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-further-math-fp1-matrix-operations/); [列向量运算与基础坐标几何知识](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-further-math-fp1-vectors/)

## 学习目标

- 使用2×2矩阵表示二维线性变换
- 识记并应用以原点为中心的反射、旋转、拉伸和放大变换对应的矩阵
- 按照正确的逆运算顺序计算复合变换矩阵
- 将行列式作为面积比例因子使用，并在逆变换存在时求出逆变换矩阵

## 二维线性变换的矩阵表示

**线性变换** — 将直线映射为直线、保持原点不变，且满足线性性质：$M(a\mathbf{u} + b\mathbf{v}) = aM\mathbf{u} + bM\mathbf{v}$ 对于标量$a,b$和向量$\mathbf{u},\mathbf{v}$成立。

*例:* 沿x轴的反射是线性变换，而平移（不旋转/拉伸直接移动图形）不是线性变换，因为平移不保持原点位置不变。

所有以原点为中心的线性变换都可以表示为作用于列向量的2×2矩阵。推导任意变换矩阵的通用规则是计算标准基向量$\mathbf{i} = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$和$\mathbf{j} = \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$在该变换下的像：矩阵的第一列是$\mathbf{i}$的像，第二列是$\mathbf{j}$的像。

**例题:** 推导表示沿x轴反射的矩阵。

1. 求$\mathbf{i} = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$的像：沿x轴反射不会改变该点位置，因此像为$\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$。
2. 求$\mathbf{j} = \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$的像：沿x轴反射会翻转y坐标的符号，因此像为$\begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix}$。
3. 使用这些像作为列构造变换矩阵：
4. $$\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}$$

> **考试提示:** 如果无法回忆起未知的变换矩阵，始终可以通过基向量推导得到；该方法适用于所有以原点为中心的线性变换，即使最终矩阵结果有误，你也可以获得步骤分。

*计算器:* allowed

## 核心变换矩阵

你需要能够使用以下核心变换矩阵。只有逆时针旋转矩阵和一般直线反射矩阵会在公式手册中给出；其余所有矩阵如果记不住，都可以通过基向量推导得到。

| 变换类型 | 矩阵 | 关键说明 |
| --- | --- | --- |
| 沿x轴反射 | $\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}$ | 通过基向量推导 |
| 沿y轴反射 | $\begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ | 通过基向量推导 |
| 沿$y=x$反射 | $\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$ | 通过基向量推导 |
| 沿$y=-x$反射 | $\begin{pmatrix}0 & -1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}$ | 通过基向量推导 |
| 绕原点O逆时针旋转$\theta$ | $\begin{pmatrix}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta\end{pmatrix}$ | 公式手册中给出 |
| 平行于x轴的拉伸，比例系数为$k$ | $\begin{pmatrix}k & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ | 通过基向量推导 |
| 平行于y轴的拉伸，比例系数为$k$ | $\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & k\end{pmatrix}$ | 通过基向量推导 |
| 以O为中心的放大，比例系数为$k$ | $\begin{pmatrix}k & 0 \\ 0 & k\end{pmatrix}$ | 通过基向量推导 |

**例题:** 求点$(2, 3)$绕原点逆时针旋转90°后的像点。

1. 将$\theta = 90^\circ$代入标准旋转矩阵：$\cos 90^\circ = 0$，$\sin 90^\circ = 1$，因此矩阵为：
2. $$\begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$$
3. 将该矩阵与原点点的列向量相乘：
4. $$\begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 \\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0(2) + (-1)(3) \\ 1(2) + 0(3)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3 \\ 2\end{pmatrix}$$
5. 像点为$(-3, 2)$。

> **考试提示:** 对于90°整数倍的角度，可以在坐标网格上标出点并手动旋转验证你的旋转结果，避免符号错误。

*计算器:* allowed

## 复合变换

当你依次执行两个变换时，复合矩阵是各个独立矩阵的乘积，顺序与变换执行顺序**相反**。如果你先执行变换B，再执行变换A，复合矩阵是$AB$，因为向量先乘以B，再乘以A：$A(B\mathbf{v}) = (AB)\mathbf{v}$。

> **关键顺序规则**
>
> 始终将后执行的变换写在矩阵乘积的**左侧**。混淆顺序是本知识点最常考的错误点。

**例题:** 一个图形先沿直线$y=x$反射，再绕原点逆时针旋转180°，求复合变换矩阵。

1. 识别独立矩阵：沿$y=x$反射（第一个变换B）= $\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$；180°逆时针旋转（第二个变换A）= $\begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}$。
2. 按逆顺序组合：复合矩阵 = $AB$。
3. 计算乘积：
4. $$\begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & -1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}$$
5. 该矩阵对应沿$y=-x$反射，可作为结果正确性的验证。

> **考试提示:** 如果你不确定顺序，可以用简单点如(1,0)测试你的复合矩阵，依次执行变换并将结果与矩阵乘法输出对比。

*计算器:* allowed

## 逆变换与行列式作为面积比例因子

**面积比例因子** — 变换后图形的面积与原图形面积的比值，等于$|\det(M)|$。$\det(M)$的符号表示定向：正号表示定向保持不变，负号表示定向反转（例如反射变换）。

*例:* 反射变换的$\det(M) = -1$，因此图形面积不变，但定向被翻转。

当且仅当$\det(M) \neq 0$时逆变换存在，由$M^{-1}$表示，作用是抵消M的效果。对于复合矩阵为AB的变换序列，逆变换为$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$（逆矩阵顺序也反转）。

**例题:** 某变换的矩阵为$M = \begin{pmatrix}2 & 0 \\ 0 & 3\end{pmatrix}$。面积为4 cm²的三角形经过M变换。(a) 求变换后三角形的面积。(b) 求逆变换的矩阵。

1. 计算M的行列式：
2. $$\det(M) = (2)(3) - (0)(0) = 6$$
3. 面积比例因子 = $|\det(M)| = 6$，因此像的面积 = $4 \times 6 = 24$ cm²。
4. 使用2×2逆矩阵公式$M^{-1} = \frac{1}{\det(M)}\begin{pmatrix}d & -b \\ -c & a\end{pmatrix}$：
5. $$M^{-1} = \frac{1}{6}\begin{pmatrix}3 & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{3}\end{pmatrix}$$

> **考试提示:** 你不需要计算图形所有顶点的坐标来求变换后的面积；只需将原面积乘以行列式的绝对值即可，节省答题时间。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 按照口头描述的变换顺序相乘矩阵（先B后A得到BA而非AB）
  - 原因: 矩阵从左侧作用于列向量，因此后执行的变换必须在第一个变换之后作用，所以要放在乘积的左侧。
  - 正确做法: 如果先执行变换B，再执行A，计算乘积AB而非BA，并用样例点测试确认顺序正确。
- **错误做法:** 直接将顺时针旋转的角度代入给出的逆时针旋转矩阵
  - 原因: 公式手册仅提供绕原点逆时针旋转的矩阵。
  - 正确做法: 对于顺时针旋转$\theta$，将逆时针矩阵中的$\theta$替换为$-\theta$，得到$\begin{pmatrix}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta\end{pmatrix}$。
- **错误做法:** 计算面积比例因子时忘记取行列式的绝对值
  - 原因: 负行列式仅表示定向反转，不存在负面积。
  - 正确做法: 将原面积乘以$|\det(M)|$得到变换后图形的面积。
- **错误做法:** 使用行向量而非列向量推导变换矩阵
  - 原因: Edexcel考纲使用列向量约定，即像 = M * 向量，而非向量 * M。
  - 正确做法: 将列向量$\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$和$\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$的像作为变换矩阵的列，而非行。
- **错误做法:** 假设所有矩阵都存在逆变换
  - 原因: 行列式为零的变换是奇异变换，会将图形坍缩为一条直线或一个点，因此无法被逆转。
  - 正确做法: 计算逆变换矩阵之前，首先检查$\det(M) \neq 0$是否成立。

## 速查表

| 变换类型 | 矩阵 | 关键性质 |
| --- | --- | --- |
| 沿x轴反射 | $\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$ | $\det = -1$ |
| 沿y轴反射 | $\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}$ | $\det = -1$ |
| 沿$y=x$反射 | $\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ | $\det = -1$ |
| 沿$y=-x$反射 | $\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}$ | $\det = -1$ |
| 逆时针旋转$\theta$ | $\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}$ | $\det = 1$ |
| 平行x轴拉伸，比例系数k | $\begin{pmatrix}k&0\\0&1\end{pmatrix}$ | $\det = k$ |
| 平行y轴拉伸，比例系数k | $\begin{pmatrix}1&0\\0&k\end{pmatrix}$ | $\det = k$ |
| 放大，比例系数k | $\begin{pmatrix}k&0\\0&k\end{pmatrix}$ | $\det = k^2$ |
| 先执行B再执行A的复合变换 | $AB$ | $\det = \det(A)\det(B)$ |
| 逆变换 | $M^{-1}$ | $\det = 1/\det(M)$ |

## 下一步

掌握FP1二维矩阵变换后，你可以将这些技能应用到历年真题中，这类题目通常会结合矩阵运算和坐标几何知识点。请完成足够的练习以避免常见的乘法顺序错误，这类错误每年都会让很多考生失分。如果你后续学习进阶数学的更高阶单元，会在FP3中再次遇到矩阵变换，届时会扩展到三维场景。你也应当复习矩阵逆和行列式的计算，确保可以完整解答分值为6-8分的复合变换和逆变换考题。

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-further-math-fp1-transformations-using-matrices/