级数（FP1）

Q: 我需要记住FP1全部三个标准求和公式吗？

只有必须记忆。和在Edexcel IAL进阶数学FP1考试的官方公式手册中提供。

Edexcel 国际A-Level 进阶数学· FP1 第7.1节（2018年考纲规范第3版）· 15 分钟阅读

1. 求和的线性性质规则★★☆☆☆⏱ 4 min

✓ 计算器

📘 定义

求和的线性性质

对于常数a和b，以及函数f(r)和g(r)，求和算子满足： $\sum_{r = 1}^{n} [a f (r) + b g (r)] = a \sum_{r = 1}^{n} f (r) + b \sum_{r = 1}^{n} g (r)$ 。此外，n项上的常数k的和为 $\sum_{r = 1}^{n} k = nk$ 。

该规则是所有FP1级数问题的基础。它可以将复杂的复合求和拆分为独立的简单项，这些项与你可以直接使用的标准求和结果完全匹配。

📐 例题

将求和 $\sum_{r = 1}^{n} (3 r^{2} + 2 r - 5)$ 拆分为独立的标准求和项。

1
应用线性性质拆分每一项并提取常数：
$\sum_{r=1}^{n} (3r^2 + 2r - 5) = 3\sum_{r=1}^{n} r^2 + 2\sum_{r=1}^{n} r - 5\sum_{r=1}^{n} 1$
2
使用常数求和规则化简常数项：
$= 3\sum_{r=1}^{n} r^2 + 2\sum_{r=1}^{n} r - 5n$

Exam tip:

始终先将常数项提取出来，注意不含r的项（例如-5）需要累加n次，而不是仅累加1次。

2. 标准求和结果★★★☆☆⏱ 5 min

✓ 计算器

求和项	闭合形式
$\sum_{r = 1}^{n} r$	$\frac{1}{2} n (n + 1)$
$\sum_{r = 1}^{n} r^{2}$	$\frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1)$
$\sum_{r = 1}^{n} r^{3}$	$\frac{1}{4} n^{2} (n + 1)^{2}$

这三个结果是FP1级数问题中你唯一需要用到的标准求和公式。任何关于r的多项式项都可以通过线性规则展开并拆分为这三个求和的组合。

📐 例题

使用标准结果计算 $\sum_{r = 1}^{10} r^{2}$ 的值。

1
将n=10代入标准 $\sum r^{2}$ 公式：
$\sum_{r=1}^{10} r^2 = \frac{1}{6}(10)(10+1)(2(10)+1)$
2
计算数值：
$= \frac{1}{6} \times 10 \times 11 \times 21 = 385$

Exam tip:

代入n到公式中时务必反复检查，尤其是 $\sum r^{2}$ 的结果包含(2n+1)因子，很容易混淆出错。

3. 化简为完全因式分解的闭合形式★★★★☆⏱ 6 min

✓ 计算器

将标准结果代入拆分后的求和式后，你将得到一个关于n的多项式表达式。你必须将其化简为完全因式分解形式，这是考纲的明确要求。因式分解后更便于代入特定n值计算，且题目中经常明确要求给出因式分解形式。

📐 例题

求 $\sum_{r = 1}^{n} r (r^{2} + 2)$ 的闭合形式，结果需完全因式分解。

1
首先展开求和号内的项：
$r(r^2 + 2) = r^3 + 2r$
2
应用线性性质拆分求和：
$\sum_{r=1}^{n} (r^3 + 2r) = \sum_{r=1}^{n} r^3 + 2\sum_{r=1}^{n} r$
3
代入标准求和结果：
$= \frac{1}{4}n^2(n+1)^2 + 2 \times \frac{1}{2}n(n+1) = \frac{1}{4}n^2(n+1)^2 + n(n+1)$
4
提取公因子：公因子为 $\frac{1}{4} n (n + 1)$
$= \frac{1}{4}n(n+1) [n(n+1) + 4] = \frac{1}{4}n(n+1)(n^2 + n +4)$
5
确认 $n^{2} + n + 4$ 没有实整数因子，因此这就是完全因式分解形式。

4. 常见陷阱

错误做法:

拆分求和时忘记将常数项乘以n，例如将 $\sum 5$ 写为5而非5n

原因:

常数项在r取n个值时都要被包含，因此它要被累加n次，而不是1次。

正确做法:

当k为常数时，始终将 $\sum_{r = 1}^{n} k$ 替换为nk。

错误做法:

使用差分法求解FP1级数问题。

原因:

差分法不属于FP1考纲内容，即使你得到了正确答案也不会获得分数。

正确做法:

FP1级数问题仅使用求和的线性性质以及Σr、Σr²、Σr³三个标准结果求解。

错误做法:

混淆标准求和公式，例如将属于 $\sum r^{3}$ 的公式 $\sum r^{2} = \frac{1}{4} n^{2} (n + 1)^{2}$ 误用。

原因:

即使你的代数运算全部正确，最终答案也会出错。

正确做法:

仅记忆 $\sum r$ 的公式， $\sum r^{2}$ 和 $\sum r^{3}$ 请查阅公式手册避免混淆。

错误做法:

最终闭合形式保留为展开的多项式，没有进行因式分解。

原因:

考试题目通常明确要求完全因式分解形式，即使你的展开表达式正确，未因式分解也会丢失分数。

正确做法:

始终将最终闭合形式完全因式分解，将分母作为公因子提取以消去所有分数。

错误做法:

拆分求和前错误展开求和号内的项，例如将 $r (r + 3)$ 写为 $r^{2} + 3$ 而非 $r^{2} + 3 r$ 。

原因:

解题第一步的代数错误会导致后续所有推导全部无效。

正确做法:

应用线性规则拆分求和前，务必反复检查复合项的展开是否正确。

5. 速查表

概念	规则/公式
求和的线性性质	$\sum (a f (r) + b g (r)) = a \sum f (r) + b \sum g (r)$
常数k的和	$\sum_{r = 1}^{n} k = nk$
$\sum_{r = 1}^{n} r$ （需记忆）	$\frac{1}{2} n (n + 1)$
$\sum_{r = 1}^{n} r^{2}$ （公式手册提供）	$\frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1)$
$\sum_{r = 1}^{n} r^{3}$ （公式手册提供）	$\frac{1}{4} n^{2} (n + 1)^{2}$
最终答案要求	完全因式分解的闭合多项式形式

6. 常见问题

我需要记住FP1全部三个标准求和公式吗？

只有 $\sum r = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ 必须记忆。 $\sum r^{2}$ 和 $\sum r^{3}$ 在Edexcel IAL进阶数学FP1考试的官方公式手册中提供。

FP1级数题允许使用差分法吗？

不允许。差分法不属于2018版FP1考纲内容，FP1级数题不会要求使用该方法，该方法仅在FP2中考查。

深入阅读

Formula BookEdexcel IAL 进阶数学 FP1 公式手册标准求和结果请参考第5页

下一步

掌握FP1有限级数求和后，你可以将这些技能应用到Edexcel IAL进阶数学考纲的相关主题中。级数问题经常和数学归纳法结合考查，要求你使用归纳原理证明标准求和结果或你推导得到的闭合形式。你还将在FP2中接触更进阶的级数主题，包括差分法和需要部分分式分解的分数项级数求和。建议你练习历年FP1级数真题，巩固拆分求和、代入标准结果、快速准确因式分解最终答案的能力，这类题目通常每题占4-6分，只要避免常见代数错误就很容易拿满分。