# 二次方程的根

> Edexcel 国际A-Level 进阶数学 · Edexcel IAL FP1
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-further-math-fp1-roots-of-quadratic-equations/

本指南涵盖Edexcel IAL FP1中二次方程根的相关内容，包括根的和与积公式、对称表达式的化简，以及构造具有变换根的二次方程，完全符合2018版考纲要求。

**先修:** [基础二次方程求解与代数运算](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-maths-pure-1-quadratic-equations/); [基础代数恒等式（二项式立方展开）](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-maths-pure-1-algebraic-expressions/)

## 学习目标

- 识记并应用二次方程根的和与积公式
- 使用标准恒等式处理根的对称表达式，包括平方、倒数和立方形式
- 利用计算得到的和与积值构造具有变换后根的新二次方程

## 根的和与积公式

对于任意形如 $ax^2 + bx + c = 0$、根为 $\alpha$ 和 $\beta$ 的二次方程，存在两个简单关系将二次方程的系数与其根的和与积关联起来。这些公式不会在考试的公式手册中提供，你必须牢记。

**二次方程根的和与积** — 根的和：$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$。根的积：$\alpha\beta = \frac{c}{a}$。

*记法:* $ax^2 + bx + c = 0$，根为 $\alpha, \beta$

*例:* 对于 $2x^2 + 5x + 2 = 0$，$\alpha + \beta = -5/2$，$\alpha\beta = 2/2 = 1$。

**例题:** 二次方程 $3x^2 - 7x + 2 = 0$ 的根为 $\alpha$ 和 $\beta$，计算其根的和与积。

1. 识别系数：a = 3, b = -7, c = 2。
2. 使用 $\alpha + \beta = -b/a$ 计算根的和：
3. $$\alpha + \beta = -\frac{-7}{3} = \frac{7}{3}$$
4. 使用 $\alpha\beta = c/a$ 计算根的积：
5. $$\alpha\beta = \frac{2}{3}$$

> **tip**
>
> 计算根的和时务必反复核对b的符号：常见错误是遗漏负号，导致根的和结果错误。

*计算器:* allowed

## 根的对称表达式化简

$\alpha$ 和 $\beta$ 的对称表达式是指交换 $\alpha$ 和 $\beta$ 后保持不变的表达式。你无需求出 $\alpha$ 和 $\beta$ 的具体值，只需利用标准代数恒等式将其改写为 $S = \alpha+\beta$ 和 $P=\alpha\beta$ 的形式，即可完成求值。

**二次方程根的核心对称恒等式** — 你需要能够按需推导以下恒等式：1. $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta$ 2. $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}$ 3. $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha+\beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha+\beta)$（该恒等式为明确要求掌握的知识点）。

**例题:** 已知二次方程 $2x^2 - 4x - 1 = 0$ 的根为 $\alpha$ 和 $\beta$，求 $\alpha^3 + \beta^3$ 的精确值。

1. 首先从给定二次方程计算 $S = \alpha+\beta$ 和 $P=\alpha\beta$：
2. $$S = -\frac{-4}{2} = 2$$
3. $$P = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}$$
4. 应用立方和恒等式：
5. $$\alpha^3 + \beta^3 = S^3 - 3PS$$
6. 代入S和P的值：
7. $$= (2)^3 - 3(-\frac{1}{2})(2) = 8 + 3 = 11$$

> **考试提示**
>
> 所有对称表达式都必须求出精确值，除非题目明确要求，否则不要使用计算器计算根的具体数值。即使最终计算结果有误，只要正确代入S和P，评分标准也会给方法分。

*计算器:* allowed

## 构造具有变换根的二次方程

要构造根为原根 $\alpha$ 和 $\beta$ 的变换形式的新二次方程，你只需要计算两个值：新根的和（S'）与新根的积（P'）。新二次方程即为 $x^2 - S'x + P' = 0$，如果要求整数系数，可将方程整体缩放得到。

**例题:** 二次方程 $x^2 + 3x - 2 = 0$ 的根为 $\alpha$ 和 $\beta$，求一个整系数二次方程，使其根为 $\frac{1}{\alpha^2}$ 和 $\frac{1}{\beta^2}$。

1. 首先求原二次方程的S和P：
2. $$S = \alpha + \beta = -\frac{3}{1} = -3$$
3. $$P = \alpha\beta = \frac{-2}{1} = -2$$
4. 计算S' = 新根的和 = $\frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2}$：
5. $$S' = \frac{\beta^2 + \alpha^2}{\alpha^2\beta^2} = \frac{S^2 - 2P}{P^2}$$
6. 代入数值：
7. $$= \frac{(-3)^2 - 2(-2)}{(-2)^2} = \frac{9 + 4}{4} = \frac{13}{4}$$
8. 计算P' = 新根的积 = $\frac{1}{\alpha^2} \times \frac{1}{\beta^2}$：
9. $$P' = \frac{1}{(\alpha\beta)^2} = \frac{1}{P^2} = \frac{1}{4}$$
10. 写出二次方程：$x^2 - S'x + P' = 0$：
11. $$x^2 - \frac{13}{4}x + \frac{1}{4} = 0$$
12. 所有项乘以4得到整数系数：
13. $$4x^2 - 13x + 1 = 0$$

> **warning**
>
> 在新二次方程公式中，千万不要忘记 $x^2$ 和 $S'x$ 之间的负号。标准形式始终是 $x^2 - (和)x + (积) = 0$，而不是 $x^2 + (和)x + (积) = 0$。

*计算器:* allowed

## 考试风格自测

本主题的考试题通常分小问设置：首先要求计算根的和与积，然后求对称表达式的值，最后构造变换后的新二次方程。所有题目都要求写出精确的符号运算过程，因此你需要展示代入S和P的每一步。

**概念自测**

1. 若 $\alpha+\beta = 5$ 且 $\alpha\beta = 2$，则 $\alpha^2 + \beta^2$ 的值是多少？

   - 21
   - 25
   - 29
   - 17

   *解析:* 正确：$\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta = 25 - 4 = 21$。

2. 某个二次方程的新根和为6，积为8，正确的整系数二次方程是哪一个？

   - $x^2 + 6x + 8 = 0$
   - $x^2 - 6x + 8 = 0$
   - $x^2 + 6x - 8 = 0$
   - $x^2 - 6x - 8 = 0$

   *解析:* 正确：使用标准形式 $x^2 - Sx + P = 0$。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 在 $\alpha + \beta = -b/a$ 中遗漏负号，例如对于 $x^2 +5x +3=0$，错误写出 $\alpha+\beta = 5$。
  - 原因: 根的和公式明确使用x项系数的相反数，忽略该符号会导致后续所有计算全部错误。
  - 正确做法: 代入数值前先写出完整公式，对照原二次方程反复核对b的符号。
- **错误做法:** 使用二次方程求根公式计算 $\alpha$ 和 $\beta$ 的具体值来求对称表达式的值。
  - 原因: 这种做法会引入不必要的计算错误，浪费时间，而且如果根的计算出错，不会获得方法分。
  - 正确做法: 所有对称表达式都只改写为S = α+β和P = αβ的形式，再直接代入从二次方程系数得到的S和P值。
- **错误做法:** 将新二次方程写为 $x^2 + S'x + P' = 0$，而不是正确的 $x^2 - S'x + P' =0$。
  - 原因: 根为r1和r2的二次方程标准形式是 $(x - r1)(x - r2) = x^2 - (r1+r2)x + r1r2$，因此和的项前面是负号。
  - 正确做法: 明确熟记新二次方程的结构为 $x^2 - (新根的和)x + (新根的积) = 0$。
- **错误做法:** 当题目要求整系数二次方程时，最终结果保留分数系数。
  - 原因: 如果题目明确要求整数形式，评分标准会扣掉结果分。
  - 正确做法: 写出标准二次方程形式后，将所有项乘以分母的最小公倍数以消去分数。
- **错误做法:** 在二次方程根的题目中使用三次或四次方程的韦达公式。
  - 原因: Edexcel IAL FP1将本主题严格限定在二次方程，更高次的公式在这里既不需要也不适用。
  - 正确做法: 只使用二次方程的根的和与积两个公式，需要时从基础二项式展开规则推导对称恒等式。

## 速查表

| 概念 | 公式 / 规则 |
| --- | --- |
| 二次方程根的和 | $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$，适用于 $ax^2 + bx + c = 0$ |
| 二次方程根的积 | $\alpha\beta = \frac{c}{a}$，适用于 $ax^2 + bx + c = 0$ |
| 平方和恒等式 | $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta$ |
| 倒数和恒等式 | $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}$ |
| 立方和恒等式 | $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha+\beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha+\beta)$ |
| 新二次方程公式 | $x^2 - S'x + P' = 0$，其中S'为新根的和，P'为新根的积 |

## 下一步

掌握Edexcel IAL FP1二次方程根的相关内容后，你可以在此基础上学习FP1的其他核心主题。接下来你可以学习复数，你将使用共轭根对分解没有实根的二次方程，并将对称表达式化简技巧应用到复根相关问题中。你也可以进入坐标系主题，其中二次方程根被用于求直线与圆锥曲线的交点。请务必练习本主题的历年真题，熟悉考试表述和常见评分标准要求，因为本主题几乎在每一套FP1试卷中都会出现。记住在化简对称表达式时要写出完整过程，代入S和P的每一步都能获得方法分。

- [复数（FP1）](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-further-math-fp1-complex-numbers/)

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