证明（FP1 数学归纳法）

Edexcel 国际A-Level 进阶数学· FP1 8.1（2018年考纲第3版）· 25 分钟阅读

1. 符合评分标准的强制4步归纳结构★☆☆☆☆⏱ 5 min

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📘 定义

数学归纳法（FP1 格式）

一种演绎证明方法，用于证明命题对所有正整数n成立，包含4个强制步骤，每一步在Edexcel FP1考试中都单独给分。

基础步：验证命题对最小的有效n值成立（FP1题目中通常为n=1）
假设步（归纳假设）：声明你假设命题对正整数n=k成立
归纳递推步：利用n=k成立的假设，证明命题对n=k+1成立，清晰写出所有运算过程
结论步：写出标准明确结论：当n=1时命题成立，且若n=k成立则n=k+1也成立，因此由数学归纳法，命题对所有正整数n成立。

📐 例题

使用数学归纳法证明，对所有正整数n， $\sum_{r = 1}^{n} r = \frac{1}{2} n (n + 1)$ 。

1
基础步：n=1。左边LHS = $\sum_{r = 1}^{1} r = 1$ ，右边RHS = $\frac{1}{2} (1) (2) = 1$ 。命题在n=1时成立。
2
假设步：假设命题对n=k成立： $\sum_{r = 1}^{k} r = \frac{1}{2} k (k + 1)$ 。
3
归纳递推步：对于n=k+1，左边LHS = $\sum_{r = 1}^{k + 1} r = \sum_{r = 1}^{k} r + (k + 1)$ 。代入假设：
4
$\frac{1}{2}k(k+1) + (k+1) = (k+1)\left(\frac{k}{2} + 1\right) = \frac{1}{2}(k+1)(k+2)$
5
该结果与n=k+1时的右边RHS完全匹配。
6
结论步：当n=1时命题成立，且若n=k成立则n=k+1也成立，因此由数学归纳法，命题对所有正整数n成立。

Exam tip:

清晰标注证明的每一步（基础步、假设步、归纳递推步、结论步），让阅卷老师可以轻松给你所有可得分数。

2. 级数求和的归纳证明★★☆☆☆⏱ 6 min

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📐 例题

证明对所有正整数n， $\sum_{r = 1}^{n} r (r + 1) = \frac{1}{3} n (n + 1) (n + 2)$ 。

1
基础步：n=1。左边LHS = $1 \times 2 = 2$ ，右边RHS = $\frac{1}{3} (1) (2) (3) = 2$ 。n=1时命题成立。
2
假设步：假设命题对n=k成立： $\sum_{r = 1}^{k} r (r + 1) = \frac{1}{3} k (k + 1) (k + 2)$ 。
3
归纳递推步：对于n=k+1，左边LHS = $\sum_{r = 1}^{k + 1} r (r + 1) = \sum_{r = 1}^{k} r (r + 1) + (k + 1) (k + 2)$ 。代入假设：
4
$\frac{1}{3}k(k+1)(k+2) + (k+1)(k+2) = (k+1)(k+2)\left(\frac{k}{3} + 1\right) = \frac{1}{3}(k+1)(k+2)(k+3)$
5
该结果与n=k+1时的右边RHS完全匹配。
6
使用标准结论句即可。

Exam tip:

一定要将归纳递推步的结果展开或因式分解，使其完全匹配n=k+1时右边RHS的精确形式，而不仅仅是数学上等价的形式，这样才能拿到全部分数。

3. 整除性命题的归纳证明★★★☆☆⏱ 6 min

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📘 定义

整除性归纳规则（FP1）

对于证明 $f (n)$ 可以被 $d$ 整除的题型，将 $f (k + 1)$ 整理为 $m \times d + f (k)$ 的形式，其中 $m$ 是整数，这样如果 $f (k)$ 可以被 $d$ 整除，那么 $f (k + 1)$ 也可以被 $d$ 整除。

📐 例题

证明对所有正整数n， $3^{2 n} + 11$ 可以被4整除。

1
基础步：n=1。 $3^{2} + 11 = 20 = 5 \times 4$ ，因此可以被4整除。n=1时命题成立。
2
假设步：假设命题对n=k成立： $3^{2 k} + 11 = 4 m$ ，其中m是正整数，因此 $3^{2 k} = 4 m - 11$ 。
3
归纳递推步：对于n=k+1， $f (k + 1) = 3^{2 (k + 1)} + 11 = 9 \times 3^{2 k} + 11$ 。代入假设：
4
$9(4m - 11) + 11 = 36m - 99 + 11 = 36m - 88 = 4(9m - 22)$
5
由于 $9 m - 22$ 是整数，因此 $f (k + 1)$ 可以被4整除。
6
使用标准结论句即可。

Exam tip:

一定要明确说明整理后得到的因子是整数，以此确认整除性，这是拿到全部分数的必要步骤。

4. 数列通项的归纳证明★★★☆☆⏱ 4 min

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📐 例题

某数列由递推关系 $u_{n + 1} = 3 u_{n} + 4$ 定义，且 $u_{1} = 1$ 。证明对所有正整数n， $u_{n} = 3^{n} - 2$ 。

1
基础步：n=1。 $u_{1} = 3^{1} - 2 = 1$ ，与给定的初始值匹配。n=1时命题成立。
2
假设步：假设命题对n=k成立： $u_{k} = 3^{k} - 2$ 。
3
归纳递推步：对于n=k+1，使用递推关系： $u_{k + 1} = 3 u_{k} + 4$ 。代入假设：
4
$3(3^k - 2) + 4 = 3^{k+1} - 6 + 4 = 3^{k+1} - 2$
5
该结果与n=k+1时的公式完全匹配。
6
使用标准结论句即可。

Exam tip:

一定要对照题目给出的初始项验证基础步，而不是对照你要证明的公式，以此确认你的起始点是正确的。

5. 矩阵幂次的归纳证明★★★★☆⏱ 4 min

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📐 例题

设 $A = (- 2 9 - 1 4)$ 。证明对所有正整数n， $A^{n} = (1 - 3 n 9 n - n 3 n + 1)$ 。

1
基础步：n=1。 $A^{1} = (- 2 9 - 1 4)$ ，与n=1时的右边RHS匹配。n=1时命题成立。
2
假设步：假设命题对n=k成立： $A^{k} = (1 - 3 k 9 k - k 3 k + 1)$ 。
3
归纳递推步：对于n=k+1， $A^{k + 1} = A^{k} \times A$ 。代入假设并计算矩阵乘法：
4
$\begin{pmatrix} 1-3k & -k \\ 9k & 3k+1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 9 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1-3k)(-2) + (-k)(9) & (1-3k)(-1) + (-k)(4) \\ 9k(-2) + (3k+1)(9) & 9k(-1) + (3k+1)(4) \end{pmatrix}$
5
$= \begin{pmatrix} -2 - 3k & -1 -k \\ 9k + 9 & 3k + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-3(k+1) & -(k+1) \\ 9(k+1) & 3(k+1)+1 \end{pmatrix}$
6
该结果与n=k+1时的右边RHS完全匹配。
7
使用标准结论句即可。

Exam tip:

明确写出所有矩阵乘法步骤，不要跳过中间计算，即使你出现算术错误，正确的运算过程也能拿到步骤分。

6. 常见陷阱

错误做法:

跳过明确的结论句

原因:

根据Edexcel评分标准，结论部分是所有归纳证明题强制占1分的内容

正确做法:

写出完整的标准结论，连接基础步、归纳递推步，并将命题推广到所有符合条件的n

错误做法:

在整除性证明中没有确认因子是整数

原因:

阅卷老师需要确认表达式是除数的整数倍，而不仅仅是代数形式上的倍数

正确做法:

明确声明整理后得到的因子是整数，以此确认整除性成立

错误做法:

在正整数n的题目中使用n=0作为基础步

原因:

基础步必须与题目给出的定义域一致，FP1中几乎所有题目定义域都是正整数

正确做法:

使用题目指定的最小n值作为基础步，通常为n=1

错误做法:

跳过矩阵乘法的中间步骤

原因:

即使最终结果错误，正确的乘法步骤也能拿到步骤分

正确做法:

在归纳递推步做矩阵乘法时，明确写出每个元素的计算过程

错误做法:

没有清晰展示归纳假设的代入过程

原因:

阅卷老师需要看到你确实使用了n=k的假设来证明n=k+1成立，而不是直接重新整理推导

正确做法:

在运算过程中明确标注你代入归纳假设的位置

7. 速查表

归纳类型	关键步骤提示	常见考试例题
级数求和	将求和拆分为n=k的和加上第(k+1)项，因式分解匹配n=k+1的右边RHS	证明 $\sum_{r = 1}^{n} r^{3} = \frac{1}{4} n^{2} (n + 1)^{2}$
整除性	将f(k+1)整理为 $m \times d + f (k)$ 的形式，确认m是整数	证明 $2^{4 n} - 1$ 可以被15整除
数列通项	使用给定的递推关系和假设的 $u_{k}$ 推导 $u_{k + 1}$	对 $u_{n + 1} = 2 u_{n} - 1$ ， $u_{1} = 3$ ，证明 $u_{n} = 2^{n} + 1$
矩阵幂次	将假设的 $A^{k}$ 乘以基础矩阵A，化简元素匹配n=k+1的右边RHS	证明 $(1011)^{n} = (10 n 1)$
所有类型	完整的强制结论可拿到1分	所有归纳证明题都要求写出标准结论句

8. 常见问题

写归纳证明的结论部分能拿到分数吗？

当然可以！根据官方评分标准，每道FP1归纳证明题的明确结论部分单独占1分。你必须明确写出结论，说明它连接了基础步、归纳递推步，将命题推广到所有符合条件的n。

我可以用n=0作为基础步的取值吗？

只有当题目明确说明命题对非负整数成立时才可以。几乎所有FP1题目中，针对正整数的命题基础步取值都是n=1。

整除性证明的归纳递推步卡壳了怎么办？

将n=k+1的表达式重新整理，分离出n=k假设中的项，然后证明剩余部分是除数的整数倍即可。

深入阅读

下一步

现在你已经掌握了Edexcel IAL FP1的数学归纳法，可以将这一基础技巧应用到更进阶的进阶数学主题中。归纳法会在FP2中再次出现，用于证明棣莫弗定理对任意n成立，也会出现在其他单元中，因此现在巩固4步结构的理解可以为你后续节省大量时间。练习过往WFM01真题中四类归纳题型的混合套题，提升解题速度和准确率，并且一定要写出完整的结论句拿到所有可得分数。特别注意避开本指南中提到的常见陷阱，尤其是矩阵乘法或代数运算中的算术错误。