# 证明（FP1 数学归纳法）

> Edexcel 国际A-Level 进阶数学 · IAL 进阶数学 FP1
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-further-math-fp1-proof/

本指南讲解Edexcel IAL FP1进阶数学中唯一考察的证明方法：数学归纳法。你将学习符合评分标准的标准4步结构，并将其应用到四类必考归纳题型：求和、整除性、数列、矩阵。

**先修:** [代数运算与因式分解](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-maths-pure-algebra-manipulation/); [求和符号的使用](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-maths-pure-sequences-series/); [基础矩阵运算](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-further-math-fp1-matrices/); 数列的递推关系

## 学习目标

- 熟记并应用Edexcel FP1评分标准规定的4个强制得分步骤完成归纳证明
- 使用数学归纳法证明有限级数求和结果
- 使用归纳法证明正整数n对应的整除性命题
- 使用归纳法证明数列通项公式和矩阵幂次结果
- 写出符合考试规范的结论，拿到归纳证明题的全部可得分数

## 符合评分标准的强制4步归纳结构

**数学归纳法（FP1 格式）** — 一种演绎证明方法，用于证明命题对所有正整数n成立，包含4个强制步骤，每一步在Edexcel FP1考试中都单独给分。

1. **基础步**：验证命题对最小的有效n值成立（FP1题目中通常为n=1）
2. **假设步（归纳假设）**：声明你假设命题对正整数n=k成立
3. **归纳递推步**：利用n=k成立的假设，证明命题对n=k+1成立，清晰写出所有运算过程
4. **结论步**：写出标准明确结论：*当n=1时命题成立，且若n=k成立则n=k+1也成立，因此由数学归纳法，命题对所有正整数n成立*。

> **tip**
>
> 每道归纳证明题的结论句是强制占1分的内容。即使你其余部分的证明完全正确，也不要简写或跳过它。

**例题:** 使用数学归纳法证明，对所有正整数n，$\sum_{r=1}^n r = \frac{1}{2}n(n+1)$。

1. 基础步：n=1。左边LHS = $\sum_{r=1}^1 r = 1$，右边RHS = $\frac{1}{2}(1)(2) = 1$。命题在n=1时成立。
2. 假设步：假设命题对n=k成立：$\sum_{r=1}^k r = \frac{1}{2}k(k+1)$。
3. 归纳递推步：对于n=k+1，左边LHS = $\sum_{r=1}^{k+1} r = \sum_{r=1}^k r + (k+1)$。代入假设：
4. $$\frac{1}{2}k(k+1) + (k+1) = (k+1)\left(\frac{k}{2} + 1\right) = \frac{1}{2}(k+1)(k+2)$$
5. 该结果与n=k+1时的右边RHS完全匹配。
6. 结论步：当n=1时命题成立，且若n=k成立则n=k+1也成立，因此由数学归纳法，命题对所有正整数n成立。

> **考试提示:** 清晰标注证明的每一步（基础步、假设步、归纳递推步、结论步），让阅卷老师可以轻松给你所有可得分数。

*计算器:* allowed

## 级数求和的归纳证明

> **info**
>
> 在构造归纳递推步时，如果需要，你可以直接引用Edexcel公式手册中的标准求和结果（r的和、r²的和、r³的和）。除非题目明确要求，否则你不需要单独证明这些结果。

**例题:** 证明对所有正整数n，$\sum_{r=1}^n r(r+1) = \frac{1}{3}n(n+1)(n+2)$。

1. 基础步：n=1。左边LHS = $1 \times 2 = 2$，右边RHS = $\frac{1}{3}(1)(2)(3) = 2$。n=1时命题成立。
2. 假设步：假设命题对n=k成立：$\sum_{r=1}^k r(r+1) = \frac{1}{3}k(k+1)(k+2)$。
3. 归纳递推步：对于n=k+1，左边LHS = $\sum_{r=1}^{k+1} r(r+1) = \sum_{r=1}^k r(r+1) + (k+1)(k+2)$。代入假设：
4. $$\frac{1}{3}k(k+1)(k+2) + (k+1)(k+2) = (k+1)(k+2)\left(\frac{k}{3} + 1\right) = \frac{1}{3}(k+1)(k+2)(k+3)$$
5. 该结果与n=k+1时的右边RHS完全匹配。
6. 使用标准结论句即可。

> **考试提示:** 一定要将归纳递推步的结果展开或因式分解，使其完全匹配n=k+1时右边RHS的精确形式，而不仅仅是数学上等价的形式，这样才能拿到全部分数。

*计算器:* allowed

## 整除性命题的归纳证明

**整除性归纳规则（FP1）** — 对于证明$f(n)$可以被$d$整除的题型，将$f(k+1)$整理为$m \times d + f(k)$的形式，其中$m$是整数，这样如果$f(k)$可以被$d$整除，那么$f(k+1)$也可以被$d$整除。

**例题:** 证明对所有正整数n，$3^{2n} + 11$可以被4整除。

1. 基础步：n=1。$3^2 + 11 = 20 = 5 \times 4$，因此可以被4整除。n=1时命题成立。
2. 假设步：假设命题对n=k成立：$3^{2k} + 11 = 4m$，其中m是正整数，因此$3^{2k} = 4m - 11$。
3. 归纳递推步：对于n=k+1，$f(k+1) = 3^{2(k+1)} + 11 = 9 \times 3^{2k} + 11$。代入假设：
4. $$9(4m - 11) + 11 = 36m - 99 + 11 = 36m - 88 = 4(9m - 22)$$
5. 由于$9m - 22$是整数，因此$f(k+1)$可以被4整除。
6. 使用标准结论句即可。

> **考试提示:** 一定要明确说明整理后得到的因子是整数，以此确认整除性，这是拿到全部分数的必要步骤。

*计算器:* allowed

## 数列通项的归纳证明

**例题:** 某数列由递推关系$u_{n+1} = 3u_n + 4$定义，且$u_1 = 1$。证明对所有正整数n，$u_n = 3^n - 2$。

1. 基础步：n=1。$u_1 = 3^1 - 2 = 1$，与给定的初始值匹配。n=1时命题成立。
2. 假设步：假设命题对n=k成立：$u_k = 3^k - 2$。
3. 归纳递推步：对于n=k+1，使用递推关系：$u_{k+1} = 3u_k + 4$。代入假设：
4. $$3(3^k - 2) + 4 = 3^{k+1} - 6 + 4 = 3^{k+1} - 2$$
5. 该结果与n=k+1时的公式完全匹配。
6. 使用标准结论句即可。

> **考试提示:** 一定要对照题目给出的初始项验证基础步，而不是对照你要证明的公式，以此确认你的起始点是正确的。

*计算器:* allowed

## 矩阵幂次的归纳证明

**例题:** 设$A = \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 9 & 4 \end{pmatrix}$。证明对所有正整数n，$A^n = \begin{pmatrix} 1-3n & -n \\ 9n & 3n+1 \end{pmatrix}$。

1. 基础步：n=1。$A^1 = \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 9 & 4 \end{pmatrix}$，与n=1时的右边RHS匹配。n=1时命题成立。
2. 假设步：假设命题对n=k成立：$A^k = \begin{pmatrix} 1-3k & -k \\ 9k & 3k+1 \end{pmatrix}$。
3. 归纳递推步：对于n=k+1，$A^{k+1} = A^k \times A$。代入假设并计算矩阵乘法：
4. $$\begin{pmatrix} 1-3k & -k \\ 9k & 3k+1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 9 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1-3k)(-2) + (-k)(9) & (1-3k)(-1) + (-k)(4) \\ 9k(-2) + (3k+1)(9) & 9k(-1) + (3k+1)(4) \end{pmatrix}$$
5. $$= \begin{pmatrix} -2 - 3k & -1 -k \\ 9k + 9 & 3k + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-3(k+1) & -(k+1) \\ 9(k+1) & 3(k+1)+1 \end{pmatrix}$$
6. 该结果与n=k+1时的右边RHS完全匹配。
7. 使用标准结论句即可。

> **考试提示:** 明确写出所有矩阵乘法步骤，不要跳过中间计算，即使你出现算术错误，正确的运算过程也能拿到步骤分。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 跳过明确的结论句
  - 原因: 根据Edexcel评分标准，结论部分是所有归纳证明题强制占1分的内容
  - 正确做法: 写出完整的标准结论，连接基础步、归纳递推步，并将命题推广到所有符合条件的n
- **错误做法:** 在整除性证明中没有确认因子是整数
  - 原因: 阅卷老师需要确认表达式是除数的整数倍，而不仅仅是代数形式上的倍数
  - 正确做法: 明确声明整理后得到的因子是整数，以此确认整除性成立
- **错误做法:** 在正整数n的题目中使用n=0作为基础步
  - 原因: 基础步必须与题目给出的定义域一致，FP1中几乎所有题目定义域都是正整数
  - 正确做法: 使用题目指定的最小n值作为基础步，通常为n=1
- **错误做法:** 跳过矩阵乘法的中间步骤
  - 原因: 即使最终结果错误，正确的乘法步骤也能拿到步骤分
  - 正确做法: 在归纳递推步做矩阵乘法时，明确写出每个元素的计算过程
- **错误做法:** 没有清晰展示归纳假设的代入过程
  - 原因: 阅卷老师需要看到你确实使用了n=k的假设来证明n=k+1成立，而不是直接重新整理推导
  - 正确做法: 在运算过程中明确标注你代入归纳假设的位置

## 速查表

| 归纳类型 | 关键步骤提示 | 常见考试例题 |
| --- | --- | --- |
| 级数求和 | 将求和拆分为n=k的和加上第(k+1)项，因式分解匹配n=k+1的右边RHS | 证明$\sum_{r=1}^n r^3 = \frac{1}{4}n^2(n+1)^2$ |
| 整除性 | 将f(k+1)整理为$m \times d + f(k)$的形式，确认m是整数 | 证明$2^{4n} - 1$可以被15整除 |
| 数列通项 | 使用给定的递推关系和假设的$u_k$推导$u_{k+1}$ | 对$u_{n+1}=2u_n -1$，$u_1=3$，证明$u_n = 2^n +1$ |
| 矩阵幂次 | 将假设的$A^k$乘以基础矩阵A，化简元素匹配n=k+1的右边RHS | 证明$\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}$ |
| 所有类型 | 完整的强制结论可拿到1分 | 所有归纳证明题都要求写出标准结论句 |

## 下一步

现在你已经掌握了Edexcel IAL FP1的数学归纳法，可以将这一基础技巧应用到更进阶的进阶数学主题中。归纳法会在FP2中再次出现，用于证明棣莫弗定理对任意n成立，也会出现在其他单元中，因此现在巩固4步结构的理解可以为你后续节省大量时间。练习过往WFM01真题中四类归纳题型的混合套题，提升解题速度和准确率，并且一定要写出完整的结论句拿到所有可得分数。特别注意避开本指南中提到的常见陷阱，尤其是矩阵乘法或代数运算中的算术错误。

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