# 方程的数值解

> Edexcel 国际A-Level 进阶数学 · IAL FMATHS FP1
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-further-math-fp1-numerical-solution-of-equations/

本指南涵盖Edexcel IAL FP1进阶数学要求的三种数值求根方法，包括通过符号变化定位根、分步运算和精度证明，完全符合2018版考纲要求。

**先修:** [P1/P2初等函数与多项式函数的根](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-pure-math-p1-polynomial-roots/); [P1/P2函数的基础求导](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-pure-math-p2-basic-differentiation/)

## 学习目标

- 使用连续函数的符号变化检验定位f(x)=0的根
- 应用区间二分法、线性插值和牛顿-拉夫逊法优化根的估计值
- 使用舍入区间上的符号变化检验证明答案的精度
- 熟记二分法和线性插值的未提供步骤，正确使用给出的牛顿-拉夫逊公式

## 通过符号变化检验定位根

要求解f(x)=0的数值解，首先使用符号变化检验确认区间内存在根。对于连续函数，f(a)和f(b)符号相反即可证明开区间(a, b)内至少存在一个根。

**符号变化检验** — 对于连续函数f(x)，若f(a) < 0且f(b) > 0（反之亦然），则f(x)=0在(a, b)内至少存在一个根。

*例:* f(x) = x³ - 3x +1，f(1) = -1，f(2) = 3，因此根位于(1,2)内

**例题:** 证明f(x) = x³ - 3x + 1在区间(1, 2)内存在一个根。

1. 计算f(1):

   $$f(1) = 1^3 - 3(1) + 1 = -1$$
2. 计算f(2):

   $$f(2) = 2^3 - 3(2) + 1 = 3$$
3. f(1)为负，f(2)为正，且f(x)是多项式（在全体实数上连续），因此(1, 2)内存在一个根。

> **考试提示:** 使用符号变化检验时务必明确说明f(x)是连续函数，以获得全部分数。

## 区间二分法

区间二分法通过反复将已知根区间在中点处拆分，保留存在符号变化的子区间来缩小根的范围。考试不会提供该方法的公式，你必须熟记整个流程。

**区间二分法** — 缩小根区间(a, b)的迭代方法：计算中点c = (a+b)/2，检验f(c)。若f(a)和f(c)符号相反，则保留(a, c)；否则保留(c, b)。重复操作直到区间满足所需精度。

**例题:** 已知f(x) = x³ - 3x + 1的根位于区间(1, 2)内，使用两次区间二分法求出包含该根的更小区间。

1. 第一次迭代：计算(1,2)的中点：

   $$c_1 = \frac{1+2}{2} = 1.5$$
2. 计算f(1.5):

   $$f(1.5) = (1.5)^3 - 3(1.5) + 1 = -0.125$$
3. f(1.5)为负，f(2)为正，因此保留区间(1.5, 2)。
4. 第二次迭代：计算(1.5,2)的中点：

   $$c_2 = \frac{1.5 + 2}{2} = 1.75$$
5. 计算f(1.75):

   $$f(1.75) = (1.75)^3 - 3(1.75) + 1 \approx 1.109$$
6. f(1.5)为负，f(1.75)为正，因此缩小后的区间为(1.5, 1.75)。

> **考试提示:** 即使中间f(x)值计算简单，也要全部明确写出，这样即使出现算术错误也能拿到方法分。

## 线性插值法

线性插值（试位法）比二分法更快：它将已知根区间端点(a, f(a))和(b, f(b))连线的直线的x轴截距作为根的估计值。考试不会提供该方法的公式。

**求根用线性插值法** — 对于f(a)和f(b)符号相反的区间(a,b)，连接(a, f(a))和(b, f(b))的直线的x轴截距c就是下一个根估计值，可通过相似三角形推导：\frac{c - a}{b - c} = \frac{|f(a)|}{|f(b)|}。

**例题:** 对f(x) = x³ - 3x + 1的根所在区间(1, 2)使用线性插值，求出根的估计值。

1. 已知f(1) = -1，f(2) = 3。使用相似三角形关联距离：

   $$\frac{c - 1}{2 - c} = \frac{|f(1)|}{|f(2)|} = \frac{1}{3}$$
2. 整理求解c：

   $$3(c - 1) = 2 - c \implies 3c - 3 = 2 - c \implies 4c = 5 \implies c = 1.25$$
3. 检验f(1.25): f(1.25) ≈ -0.797，因此缩小后的区间为(1.25, 2)。

> **考试提示:** 使用相似三角形推导根的估计值，而不是死记公式，避免符号错误。

## 牛顿-拉夫逊法流程

牛顿-拉夫逊法是三种方法中速度最快的，它利用f(x)的导数迭代优化根的估计值。该公式印在考试提供的公式手册中，计算f'(x)仅需要用到P1/P2的求导法则。

**牛顿-拉夫逊迭代** — 将根估计值x_n优化为x_{n+1}的迭代公式：x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}，其中f'(x_n)是f(x)在x_n处的一阶导数。

**例题:** 已知f(x) = x³ - 3x + 1的初始估计值x_0 = 1.5，使用两次牛顿-拉夫逊法求出根的估计值，并证明其精度为3位小数。

1. 首先计算f(x)的导数：

   $$f'(x) = 3x^2 - 3$$
2. 第一次迭代（x_0 = 1.5）：

   $$f(1.5) = -0.125, f'(1.5) = 3(1.5)^2 - 3 = 3.75$$
3. $$x_1 = 1.5 - \frac{-0.125}{3.75} = 1.5333 \text{ (4 位小数)}$$
4. 第二次迭代（x_1 = 1.5333）：

   $$f(1.5333) ≈ 0.0051, f'(1.5333) ≈ 4.0533$$
5. $$x_2 = 1.5333 - \frac{0.0051}{4.0533} ≈ 1.5320 \text{ (4 位小数)}$$
6. 证明精度为3位小数：f(1.5315) ≈ -0.0007，f(1.5325) ≈ 0.0034，符号变化证明根为1.532，精确到3位小数。

> **考试提示:** 在开始迭代前仔细核对导数计算，错误的导数会导致后续所有估计值全部无效。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 使用符号变化检验时没有说明f(x)是连续函数
  - 原因: 阅卷人要求明确确认连续性才能应用该检验，仅说明符号相反会被扣分。
  - 正确做法: 每次使用符号变化检验时都补充一句类似“f(x)是多项式，因此在全体实数上连续”的说明。
- **错误做法:** 提前将迭代过程中的中间估计值舍入到最终要求的精度
  - 原因: 提前舍入会引入误差，误差会在后续迭代中累积，导致最终结果错误。
  - 正确做法: 所有中间估计值至少保留4位小数，仅对最终答案舍入到要求的精度。
- **错误做法:** 尝试背诵二分法和线性插值的现成公式
  - 原因: 很多学生记错公式导致失分，考试也不会提供这两种方法的公式。
  - 正确做法: 练习通过相似三角形推导线性插值结果，从基本原理计算二分法中点。
- **错误做法:** 在牛顿-拉夫逊法中使用FP3求导法则（例如双曲函数、反三角函数求导）
  - 原因: Edexcel限定f(x)为P1/P2范围内的函数，因此这些导数永远不会用到，使用它们完全没有必要。
  - 正确做法: 仅使用P1/P2求导法则（幂函数、乘积、商、链式法则处理基础三角函数、指数函数、对数函数）计算f'(x)。
- **错误做法:** 没有使用符号变化检验证明最终答案的精度
  - 原因: 阅卷人要求证明根落在舍入区间内，仅给出匹配的迭代估计值是不够的。
  - 正确做法: 在给出最终答案前，检验舍入区间的上下界（例如n位小数精度对应x ± 0.5×10^(-n)），确认存在符号变化。

## 速查表

| 方法 | 流程/公式 | 速度 | 要求的运算过程 |
| --- | --- | --- | --- |
| 符号变化检验 | 检验f(a)·f(b) < 0，确认f(x)连续 | 无 | f(a)、f(b)的值，连续性说明 |
| 区间二分法 | 中点c = (a+b)/2，保留存在符号变化的区间 | 慢 | 所有中点值、f(c)值、每次迭代后的区间 |
| 线性插值法 | 通过相似三角形推导x轴截距 | 中等 | 相似三角形推导过程、c值、f(c)值、新区间 |
| 牛顿-拉夫逊法 | x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)（公式手册提供） | 快 | 导数f'(x)、所有迭代值、用于精度证明的符号变化检验 |

## 下一步

现在你已经掌握了Edexcel IAL FP1要求的三种数值求根方法，可以开始练习结合这些方法和符号变化精度证明的完整考试题型。这类题目通常在75分的FP1试卷中占8-12分，因此定期限时练习非常重要，可以避免算术错误，确保你写出所有要求的运算过程拿到全分。接下来你可以学习FP1其他高分值主题，包括矩阵和复数，练习历年真题的主题类题目，熟悉Edexcel的评分标准。记住所有练习和正式考试都只能使用允许的非CAS科学计算器。

- [FP1 复数](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-further-math-fp1-complex-numbers/)

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