# 矩阵代数

> Edexcel 国际A-Level 进阶数学 · IAL FM FP1 2018
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-further-math-fp1-matrix-algebra/

本指南涵盖Edexcel IAL 进阶数学FP1要求的全部核心2×2矩阵代数内容，包括算术运算、行列式、奇异/非奇异矩阵分类、逆矩阵，以及贴合考试要求的完整例题。

**先修:** 基础代数变形能力

## 学习目标

- 正确执行2×2矩阵的加法、减法与数乘运算
- 计算相容2×2矩阵的乘积，并解释矩阵乘法不满足交换律的原因
- 计算2×2矩阵的行列式，判定矩阵为奇异矩阵或非奇异矩阵
- 使用标准公式计算非奇异2×2矩阵的逆矩阵
- 应用乘积逆的逆序法则：$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$

## 矩阵加法、减法与数乘运算

矩阵是数字组成的矩形阵列，维度表示为行数×列数。在FP1中，你处理的所有矩阵都是2×2矩阵。两个矩阵仅当维度相同时才能相加或相减：你需要逐个对对应位置的元素执行加/减运算。

**数乘运算** — 将矩阵的每一个元素都乘以一个常数（标量）值。

**例题:** 已知$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -3 & 4 \end{pmatrix}$和$B = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ 0 & 7 \end{pmatrix}$，计算$2A - B$。

1. 将A的每个元素乘以2，计算2A：

   $$2A = \begin{pmatrix} 2\times 2 & 2\times 1 \\ 2\times (-3) & 2\times 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -6 & 8 \end{pmatrix}$$
2. 用2A的对应元素减去B的元素：

   $$2A - B = \begin{pmatrix} 4-5 & 2 - (-2) \\ -6 - 0 & 8 -7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ -6 & 1 \end{pmatrix}$$

> **考试提示:** 执行加减运算前务必先检查矩阵维度；如果矩阵尺寸不一致，该运算没有定义。

*计算器:* allowed

## 矩阵乘法

矩阵乘法遵循点积规则，仅当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数（即两矩阵相容）时才有定义。对于2×2矩阵$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$和$B = \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix}$，乘积$AB = \begin{pmatrix} ae + bg & af + bh \\ ce + dg & cf + dh \end{pmatrix}$。

> **warning**
>
> 矩阵乘法**不满足交换律**：几乎所有情况下$AB \neq BA$，所有计算中你必须保留矩阵的原有顺序。

**例题:** 已知$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$和$B = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}$，计算$AB$。

1. A的第一行点乘B的第一行，得到左上角元素：$1\times4 + 3\times5 = 19$
2. A的第一行点乘B的第二列，得到右上角元素：$1\times(-1) + 3\times2 = 5$
3. A的第二行点乘B的第一列，得到左下角元素：$2\times4 + 0\times5 = 8$
4. A的第二行点乘B的第二列，得到右下角元素：$2\times(-1) + 0\times2 = -2$
5. 合并得到乘积矩阵：

   $$AB = \begin{pmatrix} 19 & 5 \\ 8 & -2 \end{pmatrix}$$

> **考试提示:** 如果题目要求计算$BA$，不要复用你算出的$AB$结果，必须从头重新计算，避免顺序错误。

*计算器:* allowed

## 2×2行列式与奇异矩阵

**2×2矩阵的行列式** — 对于$M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$，$\det M = ad - bc$。行列式为0的矩阵是奇异矩阵，行列式不为0的矩阵是非奇异矩阵。

*记法:* $\det M$ or $|M|$

**例题:** 对于矩阵$M = \begin{pmatrix} 3 & k \\ 2 & 6 \end{pmatrix}$，求使M为奇异矩阵的k值。

1. 写出M的行列式公式：

   $$\det M = (3)(6) - (k)(2) = 18 - 2k$$
2. 奇异矩阵的行列式等于0：$18 - 2k = 0$
3. 求解k：$2k = 18 \implies k = 9$

> **考试提示:** 如果你算出需要求逆的矩阵行列式为0，先反复检查你的算术，因为奇异矩阵不存在逆矩阵。

*计算器:* allowed

## 2×2矩阵的逆矩阵

非奇异2×2矩阵$M$的逆矩阵写作$M^{-1}$，满足$MM^{-1} = M^{-1}M = I$，其中$I$是2×2单位矩阵$\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$。$M^{-1}$的计算公式为$\frac{1}{\det M} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$。

**例题:** 求$M = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$的逆矩阵。

1. 计算M的行列式：

   $$\det M = (4)(3) - (1)(2) = 12 - 2 = 10$$
2. 交换主对角线元素，将副对角线元素取反得到伴随矩阵：

   $$\text{伴随矩阵} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$$
3. 将伴随矩阵乘以$1/\det M$得到逆矩阵：

   $$M^{-1} = \frac{1}{10} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.3 & -0.1 \\ -0.2 & 0.4 \end{pmatrix}$$

> **考试提示:** 考试剩余时间充足的话，一定要把算出的逆矩阵和原矩阵相乘，验证结果是否为单位矩阵。

*计算器:* allowed

## 矩阵乘积的逆矩阵

对于两个非奇异2×2矩阵$A$和$B$，它们乘积的逆矩阵遵循逆序法则：$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$。该法则可以推广到两个以上矩阵的乘积，所有逆矩阵都要按照原乘积的顺序反转排列。

**例题:** 已知$A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$和$B^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$，计算$(AB)^{-1}$。

1. 应用乘积逆的逆序法则：$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$
2. 计算$B^{-1}$和$A^{-1}$的乘积：

   $$B^{-1}A^{-1} = \begin{pmatrix} 1\times2 + 4\times(-1) & 1\times0 +4\times3 \\ 0\times2 + 2\times(-1) & 0\times0 + 2\times3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 12 \\ -2 & 6 \end{pmatrix}$$

> **考试提示:** 绝对不要把$(AB)^{-1}$写成$A^{-1}B^{-1}$，这是FP1考试中该知识点最常见的错误。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 对不同维度的矩阵执行加法
  - 原因: 加减运算仅对行数和列数完全相等的矩阵有定义
  - 正确做法: 执行加减运算前先检查维度，如果维度不匹配，该运算没有定义
- **错误做法:** 假设矩阵乘法满足$AB = BA$
  - 原因: 几乎所有矩阵对的乘法都不满足交换律
  - 正确做法: 所有乘积运算中保留矩阵的原有顺序，如果题目要求计算反向乘积必须重新计算
- **错误做法:** 写出$(AB)^{-1} = A^{-1}B^{-1}$
  - 原因: 乘积$A^{-1}B^{-1}$无法将$AB$消去得到单位矩阵
  - 正确做法: 始终反转逆矩阵的顺序：$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$
- **错误做法:** 计算伴随矩阵时交换所有元素，而不是仅交换主对角线元素
  - 原因: 伴随矩阵仅要求交换主对角线元素，同时将副对角线元素取反
  - 正确做法: 对于$M = \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$，伴随矩阵为$\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$
- **错误做法:** 尝试计算奇异矩阵的逆矩阵
  - 原因: 奇异矩阵的行列式为0，逆矩阵公式要求除以0，没有定义
  - 正确做法: 求逆前先计算行列式，如果行列式等于0，说明该矩阵是奇异矩阵，不存在逆矩阵

## 速查表

| 运算 | 2×2矩阵$A = \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix}e&f\\g&h\end{pmatrix}$的运算规则 |
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| 加法/减法 | $A \pm B = \begin{pmatrix}a\pm e & b\pm f \\ c\pm g & d\pm h\end{pmatrix}$（仅适用于同维度矩阵） |
| 数乘运算 | $kA = \begin{pmatrix}ka & kb \\ kc & kd\end{pmatrix}$，其中k为标量 |
| 矩阵乘法 | $AB = \begin{pmatrix}ae+bg & af+bh \\ ce+dg & cf+dh\end{pmatrix}$（仅适用于相容矩阵） |
| 行列式 | $\det A = ad - bc$ |
| 逆矩阵 | $A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b \\ -c & a\end{pmatrix}$（仅当$\det A \neq 0$时成立） |
| 乘积的逆 | $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ |

## 下一步

现在你已经掌握了FP1要求的核心2×2矩阵代数知识，可以将这些技能应用到矩阵变换这一FP1大纲的下一个核心知识点中。矩阵运算也是后续FP3内容的基础，包括3×3矩阵、特征值与特征向量、求解线性方程组。请务必练习该知识点的历年真题，避免常见的顺序错误，熟记行列式和逆矩阵公式，因为它们不会在考试公式手册中提供。

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