坐标系（FP1）

Q: 在FP1中我需要使用参数求导来计算切线/法线吗？

不需要，Edexcel明确禁止在FP1的该考点使用参数求导。你必须对曲线的直角坐标形式求导（例如抛物线的，等轴双曲线的）来得到切线斜率，即便参数求导会得到相同结果也不允许。

Q: 我需要为FP1背诵等轴双曲线的焦点和准线吗？

不需要，FP1公式手册明确说明这些内容不属于FP1考核范围。本考点仅要求掌握抛物线的焦点和准线。

Edexcel 国际A-Level 进阶数学· FP1 4.1 至 4.4（2018版大纲第3期）· 25 分钟阅读

1. 抛物线与等轴双曲线的标准形式★★☆☆☆⏱ 5 min

✓ 计算器

📘 定义

FP1要求的标准圆锥曲线形式

FP1坐标系考点仅考核两种圆锥曲线：抛物线和等轴双曲线，它们的固定标准形式和参数形式均可在公式手册中查到。

例:

抛物线：直角坐标形式 $y^{2} = 4 a x$ ，参数形式 $(a t^{2}, 2 a t)$ ；等轴双曲线：直角坐标形式 $x y = c^{2}$ ，参数形式 $(c t, \frac{c}{t})$ 。

📐 例题

写出抛物线 $y^{2} = 12 x$ 上参数t=2对应的点坐标，以及c=4的等轴双曲线的直角坐标方程。

1
步骤1：对于抛物线，将 $y^{2} = 12 x$ 与标准形式 $y^{2} = 4 a x$ 对比，得到 $4 a = 12$ ，因此 $a = 3$ 。
2
步骤2：使用抛物线的参数坐标： $(a t^{2}, 2 a t) = (3 \times 2^{2}, 2 \times 3 \times 2) = (12, 12)$ 。
3
步骤3：对于等轴双曲线，将 $c = 4$ 代入 $x y = c^{2}$ ，得到 $x y = 16$ 。
4
最终答案：抛物线上的点为(12,12)，双曲线方程为 $x y = 16$ 。

注意在FP1中参数 $t$ 仅用于定义曲线上的任意点：你不需要对参数方程做超出代入数值、用于切线/法线计算点定义之外的复杂运算。

2. 抛物线的焦点-准线性质★★★☆☆⏱ 7 min

✓ 计算器

📘 定义

$y^2=4ax$的焦点与准线

抛物线 $y^{2} = 4 a x$ 的焦点位于点 $(a, 0)$ ，准线为直线 $x = - a$ 。抛物线上所有点到该焦点和准线的距离都相等。

例:

对于 $y^{2} = 8 x$ ， $a = 2$ ，因此焦点为(2,0)，准线为 $x = - 2$ 。

📐 例题

点P位于抛物线 $y^{2} = 20 x$ 上，已知点P的y坐标为10，证明点P到焦点的距离等于它到准线的垂直距离。

1
步骤1：求 $y^{2} = 20 x$ 对应的 $a$ 值： $4 a = 20$ ，因此 $a = 5$ 。焦点为(5, 0)，准线为 $x = - 5$ 。
2
步骤2：求点P的坐标：将 $y = 10$ 代入 $y^{2} = 20 x$ ，得到 $100 = 20 x \to x = 5$ ，因此 $P = (5, 10)$ 。
3
步骤3：计算点P到焦点的距离： $(5 - 5)^{2} + (10 - 0)^{2} = 100 = 10$ 。
4
步骤4：计算点P到准线 $x = - 5$ 的垂直距离：由于准线是竖直线，直接取水平距离： $5 - (- 5) = 10$ 。
5
步骤5：两个距离都等于10，因此该性质对点P成立。

3. 抛物线与等轴双曲线的切线★★★☆☆⏱ 7 min

✓ 计算器

要得到任意一条曲线的切线方程，你必须对曲线的直角坐标形式求导，得到给定点处的切线斜率，再使用直线方程 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 。注意此处不允许使用参数求导。

📐 例题

求等轴双曲线 $x y = 9$ 在 $x = 3$ 处的切线方程，结果以 $a x + b y + c = 0$ 的形式给出，其中 $a, b, c$ 均为整数。

1
步骤1：将双曲线方程整理为便于求导的直角坐标形式： $y = \frac{9}{x} = 9 x^{- 1}$ 。
2
$\frac{dy}{dx} = -9x^{-2} = -\frac{9}{x^2}$
3
步骤2：求切点坐标：当 $x = 3$ 时， $y = 9/3 = 3$ ，因此切点为(3,3)。
4
步骤3：计算 $x = 3$ 处的切线斜率： $m = - \frac{9}{3 ^{2}} = - 1$ 。
5
步骤4：代入直线方程： $y - 3 = - 1 (x - 3)$
6
步骤5：整理为要求的形式： $y - 3 = - x + 3 \to x + y - 6 = 0$ 。

4. 抛物线与等轴双曲线的法线★★★★☆⏱ 6 min

✓ 计算器

曲线在某点处的法线与该点的切线互相垂直，因此法线斜率是切线斜率的负倒数。你可以按照求切线的相同流程计算，得到切线斜率后将其替换为 $m_{法线} = - 1/ m_{切线}$ 即可。

📐 例题

求抛物线 $y^{2} = 16 x$ 在点(1, 4)处的法线方程，结果以 $y = m x + c$ 的形式给出。

1
步骤1：将抛物线方程整理为便于求导的直角坐标形式（由于 $y = 4$ 为正，取正根）： $y = 4 x = 4 x^{1/2}$ 。
2
$\frac{dy}{dx} = 4 \times \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{2}{\sqrt{x}}$
3
步骤2：计算 $x = 1$ 处的切线斜率： $m_{切线} = 2/ 1 = 2$ 。
4
步骤3：计算法线斜率： $m_{法线} = - 1/2$ 。
5
步骤4：将点(1,4)和法线斜率代入直线方程： $y - 4 = - \frac{1}{2} (x - 1)$
6
步骤5：整理为 $y = m x + c$ 的形式： $y = - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} + 4 = - \frac{1}{2} x + \frac{9}{2}$ 。

5. 常见陷阱

错误做法:

使用参数求导计算切线/法线斜率

原因:

Edexcel FP1明确禁止在本考点使用参数求导，即便你的最终答案正确也会丢失步骤分

正确做法:

始终对曲线的直角坐标形式（ $y$ 作为 $x$ 的函数）求导来计算斜率

错误做法:

使用等轴双曲线的焦点和准线解题

原因:

FP1公式手册明确标注这些内容不属于考核范围，FP1考试中永远不会出现要求使用它们的题目

正确做法:

FP1坐标系题目中仅对抛物线 $y^{2} = 4 a x$ 使用焦点-准线性质

错误做法:

整理 $y^{2} = 4 a x$ 用于求导时取错平方根的符号

原因:

这会得到正确切线斜率的相反数，最终得到错误的切线和法线方程

正确做法:

对 $4 a x$ 开平方时，使用你计算点的y坐标对应的符号

错误做法:

在答案中使用通用双曲线 $x^{2} / a^{2} - y^{2} / b^{2} = 1$ 或椭圆方程

原因:

这些内容属于FP3的考点，不属于FP1，FP1坐标系题目中这类答案不会被接受

正确做法:

FP1中仅使用抛物线的标准形式 $y^{2} = 4 a x$ 和等轴双曲线的标准形式 $x y = c^{2}$

错误做法:

忘记法线斜率是切线斜率的负倒数

原因:

这会得到一条与切线平行而非垂直的直线，丢失过程分数

正确做法:

代入法线的直线方程前，务必先计算 $m_{法线} = - 1/ m_{切线}$

6. 速查表

概念	标准形式 / 公式	备注
抛物线直角坐标形式	$y^{2} = 4 a x$	$a > 0$ ，开口朝右
抛物线参数形式	$(a t^{2}, 2 a t)$	$t$ 为任意实数
抛物线焦点	$(a, 0)$	FP1公式手册已给出
抛物线准线	$x = - a$	FP1公式手册已给出
等轴双曲线直角坐标形式	$x y = c^{2}$	$c > 0$ ，渐近线为 $x = 0$ 、 $y = 0$
等轴双曲线参数形式	$(c t, c / t)$	$t \neq = 0$
切线斜率	$m_{切} = \frac{d y}{d x}$ （直角坐标形式）	不允许使用参数求导
法线斜率	$m_{法} = - 1/ m_{切}$	与切线垂直

7. 常见问题

在FP1中我需要使用参数求导来计算切线/法线吗？

不需要，Edexcel明确禁止在FP1的该考点使用参数求导。你必须对曲线的直角坐标形式求导（例如抛物线的 $y = 2 a x$ ，等轴双曲线的 $y = \frac{c ^{2}}{x}$ ）来得到切线斜率，即便参数求导会得到相同结果也不允许。

我需要为FP1背诵等轴双曲线的焦点和准线吗？

不需要，FP1公式手册明确说明这些内容不属于FP1考核范围。本考点仅要求掌握抛物线 $y^{2} = 4 a x$ 的焦点和准线。

深入阅读

formula_bookEdexcel IAL 进阶数学 FP1 公式手册圆锥曲线标准形式的参考章节

下一步

掌握FP1坐标系是学习FP3中更深入圆锥曲线内容的基础，后续你会学习通用双曲线、椭圆以及它们的离心率性质。本部分内容也与FP1轨迹问题高度关联，这类题目通常要求你求两条曲线的切线、法线交点的轨迹。在继续学习之前，请确保你能熟练解答完整的考试题型，包含切线、法线和焦点-准线性质，这类题目在每一份FP1试卷中都是占5-7分的高频考题。你也需要练习将本部分内容与P1、P2的代数运算技巧结合，高效化简直线方程、求解交点坐标。