# 坐标系（FP1）

> Edexcel 国际A-Level 进阶数学 · FP1
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-further-math-fp1-coordinate-systems/

本指南覆盖Edexcel IAL FP1坐标系的全部内容：抛物线与等轴双曲线的标准形式和参数形式、抛物线的焦点-准线性质，以及使用直角坐标求导计算切线/法线。

**先修:** [P1求导（分数指数与负指数的幂法则）](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-maths-p1-differentiation/); [直线方程（$y - y_1 = m(x - x_1)$）](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-maths-p1-straight-line-graphs/)

## 学习目标

- 牢记抛物线$y^2=4ax$和等轴双曲线$xy=c^2$的标准直角坐标形式与参数形式
- 应用抛物线的焦点-准线性质求解轨迹与验证类题目
- 仅使用直角坐标求导计算两条曲线的切线与法线方程
- 解答涉及切线/法线与曲线、坐标轴相交的考试题型

## 抛物线与等轴双曲线的标准形式

**FP1要求的标准圆锥曲线形式** — FP1坐标系考点仅考核两种圆锥曲线：抛物线和等轴双曲线，它们的固定标准形式和参数形式均可在公式手册中查到。

*例:* 抛物线：直角坐标形式$y^2=4ax$，参数形式$(at^2, 2at)$；等轴双曲线：直角坐标形式$xy=c^2$，参数形式$(ct, \frac{c}{t})$。

**例题:** 写出抛物线$y^2=12x$上参数t=2对应的点坐标，以及c=4的等轴双曲线的直角坐标方程。

1. 步骤1：对于抛物线，将$y^2=12x$与标准形式$y^2=4ax$对比，得到$4a=12$，因此$a=3$。
2. 步骤2：使用抛物线的参数坐标：$(at^2, 2at) = (3 \times 2^2, 2 \times 3 \times 2) = (12, 12)$。
3. 步骤3：对于等轴双曲线，将$c=4$代入$xy=c^2$，得到$xy=16$。
4. 最终答案：抛物线上的点为(12,12)，双曲线方程为$xy=16$。

注意在FP1中参数$t$仅用于定义曲线上的任意点：你不需要对参数方程做超出代入数值、用于切线/法线计算点定义之外的复杂运算。

*计算器:* allowed

## 抛物线的焦点-准线性质

**$y^2=4ax$的焦点与准线** — 抛物线$y^2=4ax$的焦点位于点$(a, 0)$，准线为直线$x=-a$。抛物线上所有点到该焦点和准线的距离都相等。

*例:* 对于$y^2=8x$，$a=2$，因此焦点为(2,0)，准线为$x=-2$。

**例题:** 点P位于抛物线$y^2=20x$上，已知点P的y坐标为10，证明点P到焦点的距离等于它到准线的垂直距离。

1. 步骤1：求$y^2=20x$对应的$a$值：$4a=20$，因此$a=5$。焦点为(5, 0)，准线为$x=-5$。
2. 步骤2：求点P的坐标：将$y=10$代入$y^2=20x$，得到$100=20x \rightarrow x=5$，因此$P=(5,10)$。
3. 步骤3：计算点P到焦点的距离：$\sqrt{(5-5)^2 + (10-0)^2} = \sqrt{100} = 10$。
4. 步骤4：计算点P到准线$x=-5$的垂直距离：由于准线是竖直线，直接取水平距离：$5 - (-5) = 10$。
5. 步骤5：两个距离都等于10，因此该性质对点P成立。

> **tip**
>
> 抛物线上任意点$(x,y)$到准线$x=-a$的垂直距离恒为$x+a$，因为准线是竖直线。这个技巧可以帮你在考试中省去使用完整距离公式的步骤。

*计算器:* allowed

## 抛物线与等轴双曲线的切线

要得到任意一条曲线的切线方程，你必须对曲线的直角坐标形式求导，得到给定点处的切线斜率，再使用直线方程$y - y_1 = m(x - x_1)$。注意此处不允许使用参数求导。

**例题:** 求等轴双曲线$xy=9$在$x=3$处的切线方程，结果以$ax + by + c = 0$的形式给出，其中$a,b,c$均为整数。

1. 步骤1：将双曲线方程整理为便于求导的直角坐标形式：$y = \frac{9}{x} = 9x^{-1}$。
2. $$\frac{dy}{dx} = -9x^{-2} = -\frac{9}{x^2}$$
3. 步骤2：求切点坐标：当$x=3$时，$y=9/3=3$，因此切点为(3,3)。
4. 步骤3：计算$x=3$处的切线斜率：$m = -\frac{9}{3^2} = -1$。
5. 步骤4：代入直线方程：$y - 3 = -1(x - 3)$
6. 步骤5：整理为要求的形式：$y - 3 = -x + 3 \rightarrow x + y - 6 = 0$。

> **exam_tip**
>
> 求导前务必先将曲线整理为以$y$为$x$的函数的形式，这是Edexcel对FP1要求的标准方法，也可以避免使用本考点不要求的隐函数求导带来的错误。

*计算器:* allowed

## 抛物线与等轴双曲线的法线

曲线在某点处的法线与该点的切线互相垂直，因此法线斜率是切线斜率的负倒数。你可以按照求切线的相同流程计算，得到切线斜率后将其替换为$m_{法线} = -1/m_{切线}$即可。

**例题:** 求抛物线$y^2=16x$在点(1, 4)处的法线方程，结果以$y = mx + c$的形式给出。

1. 步骤1：将抛物线方程整理为便于求导的直角坐标形式（由于$y=4$为正，取正根）：$y = 4\sqrt{x} = 4x^{1/2}$。
2. $$\frac{dy}{dx} = 4 \times \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{2}{\sqrt{x}}$$
3. 步骤2：计算$x=1$处的切线斜率：$m_{切线} = 2/\sqrt{1} = 2$。
4. 步骤3：计算法线斜率：$m_{法线} = -1/2$。
5. 步骤4：将点(1,4)和法线斜率代入直线方程：$y - 4 = -\frac{1}{2}(x - 1)$
6. 步骤5：整理为$y = mx + c$的形式：$y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2} + 4 = -\frac{1}{2}x + \frac{9}{2}$。

> **warning**
>
> 整理$y^2=4ax$用于求导时，务必取正确符号的平方根：使用与你计算点的y坐标匹配的符号，避免得到错误的斜率。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 使用参数求导计算切线/法线斜率
  - 原因: Edexcel FP1明确禁止在本考点使用参数求导，即便你的最终答案正确也会丢失步骤分
  - 正确做法: 始终对曲线的直角坐标形式（$y$作为$x$的函数）求导来计算斜率
- **错误做法:** 使用等轴双曲线的焦点和准线解题
  - 原因: FP1公式手册明确标注这些内容不属于考核范围，FP1考试中永远不会出现要求使用它们的题目
  - 正确做法: FP1坐标系题目中仅对抛物线$y^2=4ax$使用焦点-准线性质
- **错误做法:** 整理$y^2=4ax$用于求导时取错平方根的符号
  - 原因: 这会得到正确切线斜率的相反数，最终得到错误的切线和法线方程
  - 正确做法: 对$4ax$开平方时，使用你计算点的y坐标对应的符号
- **错误做法:** 在答案中使用通用双曲线$x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1$或椭圆方程
  - 原因: 这些内容属于FP3的考点，不属于FP1，FP1坐标系题目中这类答案不会被接受
  - 正确做法: FP1中仅使用抛物线的标准形式$y^2=4ax$和等轴双曲线的标准形式$xy=c^2$
- **错误做法:** 忘记法线斜率是切线斜率的负倒数
  - 原因: 这会得到一条与切线平行而非垂直的直线，丢失过程分数
  - 正确做法: 代入法线的直线方程前，务必先计算$m_{法线} = -1 / m_{切线}$

## 速查表

| 概念 | 标准形式 / 公式 | 备注 |
| --- | --- | --- |
| 抛物线 直角坐标形式 | $y^2 = 4ax$ | $a > 0$，开口朝右 |
| 抛物线 参数形式 | $(at^2, 2at)$ | $t$为任意实数 |
| 抛物线 焦点 | $(a, 0)$ | FP1公式手册已给出 |
| 抛物线 准线 | $x = -a$ | FP1公式手册已给出 |
| 等轴双曲线 直角坐标形式 | $xy = c^2$ | $c > 0$，渐近线为$x=0$、$y=0$ |
| 等轴双曲线 参数形式 | $(ct, c/t)$ | $t \neq 0$ |
| 切线斜率 | $m_{切} = \frac{dy}{dx}$（直角坐标形式） | 不允许使用参数求导 |
| 法线斜率 | $m_{法} = -1/m_{切}$ | 与切线垂直 |

## 下一步

掌握FP1坐标系是学习FP3中更深入圆锥曲线内容的基础，后续你会学习通用双曲线、椭圆以及它们的离心率性质。本部分内容也与FP1轨迹问题高度关联，这类题目通常要求你求两条曲线的切线、法线交点的轨迹。在继续学习之前，请确保你能熟练解答完整的考试题型，包含切线、法线和焦点-准线性质，这类题目在每一份FP1试卷中都是占5-7分的高频考题。你也需要练习将本部分内容与P1、P2的代数运算技巧结合，高效化简直线方程、求解交点坐标。

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