# 复数（FP1）

> Edexcel 国际A-Level 进阶数学 · 2018 Edexcel IAL 进阶数学 FP1
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-further-math-fp1-complex-numbers/

本指南覆盖Edexcel IAL FP1复数的全部内容，包括笛卡尔/极坐标形式、算术运算、阿尔冈图、以及二次、三次、四次方程的共轭根定理，配有符合考试要求的完整例题。

**先修:** [二次方程与二次求根公式（Edexcel IAL P1）](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-p1-quadratic-equations/); [因式定理与余数定理（Edexcel IAL P2）](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-ial-p2-polynomials/)

## 学习目标

- 用笛卡尔形式和极坐标形式定义复数，掌握共轭、模、辐角、实部虚部与复数相等的性质
- 完成复数的加法、乘法、除法运算，应用模的乘法法则
- 在阿尔冈图上用几何方式表示复数及其运算
- 求解实系数二次方程的复根
- 识别共轭根对，完整求解实系数三次方程
- 利用共轭根与实根性质求解实系数四次方程的所有根

## 复数的定义与形式

**复数** — 可以写成**笛卡尔形式** $z = a + ib$（其中 $a,b \in \mathbb{R}$，$i^2 = -1$）或**极坐标形式** $z = r\cos\theta + ir\sin\theta$（其中 $r = |z|$，$\theta = \arg(z)$）的数。

两个复数相等当且仅当它们的实部相等且虚部相等。$z = a + ib$ 的共轭是 $z^* = a - ib$，模是 $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$，主辐角是 $z$ 从正实轴出发的夹角，取值在 $-\pi$ 到 $\pi$ 之间。

**例题:** 对于 $z = 3 + 4i$，计算 $\text{Re}(z)$、$\text{Im}(z)$、$z^*$、$|z|$ 和 $z$ 的主辐角，结果保留3位有效数字。

1. 1. 识别实部和虚部：$\text{Re}(z) = 3$，$\text{Im}(z) = 4$
2. 2. 将虚部符号取反得到共轭：$z^* = 3 - 4i$
3. $$3. 计算模：|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$$
4. 4. 计算辐角：$z$ 位于第一象限，因此 $\arg(z) = \arctan(\frac{4}{3}) = 0.927$ 弧度（3位有效数字）

> **考试提示:** 写出主辐角之前一定要先判断复数所在的象限：对于第二、第三象限的数值，需要将反正切结果调整 $\pm \pi$，使其落在 $-\pi < \arg(z) \leq \pi$ 的范围内。

*计算器:* allowed

## 复数的算术运算

复数加减运算时，将实部和虚部分别合并。乘法运算时正常展开括号，将 $i^2$ 替换为 $-1$。除法运算时，将分子分母同时乘以分母的共轭，消去分母中的 $i$。复数乘积的模始终满足法则 $|z_1 z_2| = |z_1||z_2|$。

> **tip**
>
> 考试中一定要将复数分式化简为 $a + ib$ 的形式才能拿到全部分数。

**例题:** 已知 $z_1 = 2 + i$，$z_2 = 1 - 3i$，计算 $z_1 + z_2$、$z_1 z_2$、$\frac{z_1}{z_2}$，并验证 $|z_1 z_2| = |z_1||z_2|$。

1. 1. 实部虚部分别相加得到和：$z_1 + z_2 = (2 + 1) + i(1 - 3) = 3 - 2i$
2. 2. 展开乘积并替换 $i^2 = -1$：$z_1 z_2 = (2)(1) + 2(-3i) + i(1) + i(-3i) = 2 - 6i + i + 3 = 5 - 5i$
3. 3. 乘以 $z_2$ 的共轭完成除法：
4. $$\frac{z_1}{z_2} = \frac{(2+i)(1+3i)}{(1-3i)(1+3i)} = \frac{2 + 7i - 3}{1 + 9} = \frac{-1 + 7i}{10} = -0.1 + 0.7i$$
5. 4. 验证模的法则：$|z_1| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$，$|z_2| = \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \sqrt{10}$，因此 $|z_1||z_2| = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$。
6. 5. 计算 $|z_1 z_2| = |5 - 5i| = \sqrt{5^2 + (-5)^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$，法则成立。

*计算器:* allowed

## 阿尔冈图表示

阿尔冈图将复数表示为坐标为 $(\text{Re}(z), \text{Im}(z))$ 的点，或者从原点出发的向量。复数加法对应向量加法，乘以实标量会拉伸向量，取共轭会将复数沿实轴反射。

**例题:** 在阿尔冈图上画出 $z = 1 + i$、$z^*$ 和 $z + z^*$，并描述 $z$ 和 $z^*$ 之间的几何关系。

1. 1. 在第一象限的点 $(1, 1)$ 处画出 $z = 1 + i$。
2. 2. 在第四象限的点 $(1, -1)$ 处画出 $z^* = 1 - i$。
3. 3. 计算 $z + z^* = 2 + 0i$，将其画在正实轴上的点 $(2, 0)$ 处。
4. 4. 几何关系：$z$ 和 $z^*$ 关于实轴（x轴）互为镜像。

> **考试提示:** 绘制阿尔冈图时一定要将坐标轴标注为'Re'（x轴）和'Im'（y轴），并且给所有画出的点标注对应的复数，才能拿到全部分数。

*计算器:* allowed

## 实系数多项式的复根

**共轭根定理** — 对于任意实系数多项式，若 $z = a + ib$ 是一个非实根，则它的共轭 $z^* = a - ib$ 也一定是根。实系数三次多项式至少有1个实根，实系数四次多项式有0、2或4个实根。

对于实系数二次方程，非实根始终构成共轭对。对于三次和四次方程，可以先用因式定理找到整数实根，再用共轭根定理找到非实根对，最后将多项式完全因式分解。

**例题:** 已知 $x = 2 + i$ 是 $f(x) = x^4 - x^3 - 5x^2 + 7x + 10$ 的一个根，求 $f(x) = 0$ 的所有其他根。

1. 1. 应用共轭根定理：由于系数都是实数，$x = 2 - i$ 也是一个根。
2. 2. 求出这两个根对应的二次因式：$(x - (2+i))(x - (2-i)) = (x - 2)^2 + 1 = x^2 - 4x + 5$
3. 3. 将 $f(x)$ 除以 $x^2 - 4x + 5$ 得到剩余的二次因式：$f(x) = (x^2 - 4x + 5)(x^2 + 3x + 2)$
4. 4. 因式分解剩余二次式：$x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)$
5. 5. 全部根为 $2 + i$、$2 - i$、$-1$、$-2$。

> **考试提示:** 在寻找整系数多项式的实根时，优先测试±1、±2、±5、±10这类小整数值，FP1考试题目中的实根几乎都是这类数值。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 将 $a + ib$ 的共轭写为 $-a + ib$ 或 $-a - ib$
  - 原因: 混淆了共轭的定义，共轭只需要将虚部的符号取反
  - 正确做法: 对于 $z = a + ib$，保持实部不变，仅将虚部的符号取反：$z^* = a - ib$
- **错误做法:** 辐角使用角度为单位，或者取值超出 $-\pi < \arg(z) \leq \pi$ 的范围
  - 原因: Edexcel FP1明确要求主辐角使用弧度，且必须落在指定范围内
  - 正确做法: 将角度转换为弧度，必要时调整±$2\pi$使其符合范围，同时检查z所在的象限避免符号错误
- **错误做法:** 假设所有四次方程都只有共轭根对，没有实根
  - 原因: 实系数四次方程可以有0、2或4个实根，共轭对仅适用于非实根
  - 正确做法: 先用因式定理测试整数实根，再对剩余的非实根应用共轭根定理
- **错误做法:** 复数乘法展开时忘记将 $i^2$ 替换为 $-1$
  - 原因: i的定义是 $i^2 = -1$，省略这一步替换会导致实部计算错误
  - 正确做法: 展开复数乘积时，每遇到 $i^2$ 就立即替换为 $-1$，之后再分别合并实部和虚部项
- **错误做法:** 在FP1答案中使用结论 $\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)$
  - 原因: 该性质不属于FP1考纲内容，仅在FP2中考查
  - 正确做法: 对于FP1的复数乘积几何题，仅使用 $|z_1 z_2| = |z_1||z_2|$ 描述模的变化，不要使用旋转/辐角相加的推导逻辑

## 速查表

| 概念 | 公式/法则 | 考试提示 |
| --- | --- | --- |
| 复数形式 | $z = a + ib = r\cos\theta + ir\sin\theta$ | $a = \text{Re}(z)$，$b = \text{Im}(z)$，$r = \|z\|$，$\theta = \arg(z)$ |
| 共轭 | $z^* = a - ib$ | 在阿尔冈图上将z沿实轴反射 |
| 模 | $\|z\| = \sqrt{a^2 + b^2}$，$\|z_1 z_2\| = \|z_1\|\|z_2\|$ | 模的取值始终非负 |
| 相等法则 | $a + ib = c + id \iff a = c$ 且 $b = d$ | 分别对比实部和虚部求解方程 |
| 共轭根定理 | 实系数多项式的非实根以共轭对形式出现 | 三次方程至少有1个实根；四次方程有0/2/4个实根 |
| 复数除法 | $\frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1 z_2^*}{\|z_2\|^2}$ | 将分子分母同时乘以分母的共轭 |

## 下一步

你现在已经掌握了Edexcel IAL FP1复数的全部核心内容。本知识点是后续FP2内容（包括棣莫弗定理、复数轨迹、变换）的基础，也和FP1中的矩阵代数、级数知识点有重叠。复数题分值占比高，几乎每套FP1试卷都会出现，因此一定要练习过往真题，提升运算和求根的速度。接下来可以学习FP1的其他核心知识点，完成整个单元的备考。

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