# 几何分布

> 数学 · CIE A-Level 9709
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u4-the-geometric-distribution/

本指南覆盖CIE 9709 S1考纲对几何分布的全部要求：模型适用条件、概率公式、尾概率结论、众数与期望，不含任何超纲内容。

**先修:** [离散随机变量基础](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u4-discrete-random-variables/); [二项分布基础](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u4-the-binomial-distribution/)

## 学习目标

- 识别几何分布作为有效模型的实际场景，掌握$X \sim \text{Geo}(p)$记法的使用
- 使用MF19公式计算几何分布的单个概率
- 计算几何分布的累积尾概率$P(X > r)$和$P(X \leq r)$
- 写出任意几何分布的众数并计算其期望值

## 几何分布的有效适用条件

只有同时满足以下全部四条规则时，几何分布才是合适的模型：所有试验相互独立，每次试验只有两个互斥的结果（成功或失败），所有试验的成功概率$p$为常数，统计的是直到首次成功（含首次成功）的总试验次数。

**几何分布** — 描述首次成功发生在第$r$次试验的离散分布，其中$r = 1, 2, 3, ...$

*记法:* $X \sim \text{Geo}(p)$

> **warning**
>
> CIE官方明确定义$X$为首次成功对应的试验序号，而非首次成功前的失败次数。使用其他定义会导致所有标准公式计算结果错误。

**例题:** 判断以下场景是否适合用几何分布建模：「反复抛掷一枚公平6面骰子，直到掷出6点为止，$X$为抛掷总次数。」

1. 逐一检查四个条件：
2. 1. 每次掷骰子的结果与之前所有抛掷相互独立：满足。
3. 2. 每次试验只有两个结果：掷出6点（成功）或未掷出6点（失败）：满足。
4. 3. 成功概率$p = 1/6$为常数：满足。
5. 4. $X$统计直到首次掷出6点（含该次）的总抛掷次数：满足。
6. 结论：$X \sim \text{Geo}(1/6)$是有效模型。

## 核心单个概率公式

首次成功恰好发生在第$r$次试验的概率由标准MF19公式给出。该公式的含义是：前$r-1$次试验全部失败，第$r$次试验恰好成功。

$$P(X = r) = p(1-p)^{r-1} \quad \text{for } r = 1, 2, 3, ...$$

**例题:** 已知$X \sim \text{Geo}(0.25)$，计算$P(X=4)$，结果保留3位有效数字。

1. 提取参数：$p=0.25$，$r=4$
2. 代入公式：
3. $$P(X=4) = 0.25 \times (1-0.25)^{4-1} = 0.25 \times 0.75^3$$
4. $$0.25 \times 0.421875 = 0.10546875$$
5. 四舍五入保留3位有效数字：0.105

## 尾概率与众数

几何分布最常考的非单个概率结果是尾概率$P(X > r)$，它描述的事件是：前$r$次试验全部失败，前$r$次尝试中没有出现成功。

**推导:** 证明$P(X > r) = q^r$

*起点:* $X > r$表示首次成功没有出现在第1到第r次试验中

1. 若首次成功发生在第r次试验之后，则前r次试验必须全部失败
2. 试验相互独立，因此将每次试验的失败概率相乘
3. $$P(X > r) = q \times q \times ... \times q \quad (r \text{ 次})$$

*结论:* $P(X > r) = q^r = (1-p)^r$

$$P(X \leq r) = 1 - P(X > r) = 1 - (1-p)^r$$

> **info**
>
> 所有几何分布的众数都是1，因为概率值$P(X=r)$随$r$增大严格递减，无需计算即可直接写出众数。

**例题:** 已知$X \sim \text{Geo}(0.1)$，计算$P(X > 5)$和$P(X \leq 3)$，结果保留3位有效数字。

1. 首先计算$P(X > 5)$：
2. $$P(X > 5) = (1-0.1)^5 = 0.9^5 = 0.59049 \approx 0.590$$
3. 接下来计算$P(X \leq 3)$：
4. $$P(X \leq 3) = 1 - (1-0.1)^3 = 1 - 0.729 = 0.271$$

## 几何分布的期望

几何分布中首次成功所需的平均试验次数是一个直接在MF19公式表中给出的简单结论。注意几何分布的方差明确不在CIE 9709 S1考纲范围内，考试中不会要求你计算它。

$$E(X) = \frac{1}{p}$$

**例题:** 反复抛掷一枚公平硬币，直到掷出正面为止。求所需的总抛掷次数的期望值。

1. 确定成功概率：公平硬币掷出正面的概率$p = 0.5$
2. $$E(X) = \frac{1}{p} = \frac{1}{0.5} = 2$$
3. 首次得到正面所需的期望抛掷次数为2。

**概念自测**

测试你对几何分布核心规则的理解：

1. $X \sim \text{Geo}(0.7)$的众数是多少？

   - 0.7
   - 1
   - 1.43
   - 7

   *解析:* 所有几何分布的众数都是1，无需计算。

2. 已知$X \sim \text{Geo}(0.2)$，求$E(X)$的值？

   - 0.2
   - 2
   - 5
   - 0.8

   *解析:* $E(X) = 1/p = 1/0.2 = 5$。

## 常见错误

- **错误做法:** 将$X$定义为首次成功前的失败次数
  - 原因: CIE标准记法将$X$定义为首次成功对应的试验序号，使用其他定义会导致所有公式计算结果错误
  - 正确做法: 应用任何几何分布公式前，务必确认$X$统计的是直到首次成功（含该次）的总试验次数
- **错误做法:** 尝试计算几何分布的方差
  - 原因: 几何分布方差明确不在S1考纲范围内，多余的无效计算会导致你丢失答案得分
  - 正确做法: 几何分布相关题目中，只需要计算期望$E(X) = 1/p$即可
- **错误做法:** 使用公式$P(X = r) = p(1-p)^r$而非$p(1-p)^{r-1}$
  - 原因: 指数统计的是首次成功前的失败次数，该值为$r-1$而非$r$
  - 正确做法: 代入数值时务必检查指数比试验序号$r$小1
- **错误做法:** 将几何分布公式应用于试验不独立的场景
  - 原因: 所有几何分布结论都建立在试验结果互不影响的假设之上
  - 正确做法: 使用任何概率或期望公式前，先验证全部四条几何模型适用条件
- **错误做法:** 声称几何分布的众数不是1
  - 原因: 所有几何分布的概率值严格递减，因此最高概率始终出现在$r=1$处
  - 正确做法: 牢记任意$\text{Geo}(p)$的众数都是1，无需计算

## 速查表

| 物理量 | 公式（Geo(p)） | 备注 |
| --- | --- | --- |
| P(X = r) | p(1-p)^{r-1} | r ≥ 1，首次成功发生在第r次试验 |
| P(X > r) | (1-p)^r | 前r次试验全部失败 |
| P(X ≤ r) | 1 - (1-p)^r | 前r次试验不全失败的对立事件 |
| 众数 | 1 | 对所有合法p值均成立 |
| E(X) | 1/p | MF19公式表中已给出 |

## 下一步

掌握几何分布之后，你可以进一步将它与二项分布进行对比，后者是CIE 9709 S1中另一个核心的离散命名分布。大量考题要求你从场景中选出正确的分布，因此练习区分二项分布（固定试验次数，统计总成功数）和几何分布（首次成功即停止）的场景，会直接提升你Paper 5的得分。几何分布是投入少得分高的考点，几乎每两套S1试卷就会出现一次，考前复习本指南可以帮你在相关题目中拿到满分。

- [二项分布](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u4-the-binomial-distribution/)

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