# 二项分布

> 数学 · CIE A-Level 9709
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u4-the-binomial-distribution/

本指南涵盖CIE 9709第5卷要求的二项模型适用条件、记号、概率公式、累积边界规则以及期望方差计算

**先修:** [基础排列组合（ⁿCᵣ计算）](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u4-permutations-and-combinations/); [离散随机变量基础](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u4-discrete-random-variables/)

## 学习目标

- 识别符合条件的二项分布场景，使用标准记号X ~ B(n,p)
- 使用官方公式计算单个和累积二项概率
- 计算任意二项分布的期望与方差
- 正确理解考试表述，避免累积概率边界错误

## 二项模型适用条件与记号

**二项分布** — 用于统计n次独立重复试验中成功次数的离散概率模型，每次试验成功概率为常数p

*记法:* X ~ B(n, p)

*例:* 统计10次公平抛硬币中正面朝上的次数：X ~ B(10, 0.5)

1. 试验次数n是预先确定的固定值
2. 每次试验恰好有两个互斥结果（标记为成功和失败）
3. 所有试验之间完全独立
4. 每次试验的成功概率p完全相同
5. 随机变量X统计n次试验中的总成功次数

> **warning**
>
> 如果四个条件中有任意一个不满足，二项模型就不成立。例如从有限总体中不放回抽样会破坏p为常数的规则。

**例题:** 判断该场景是否适合使用二项分布：一个袋子中有10个红球和10个蓝球，不放回抽取3个球，X为抽到的红球数量。说明你的理由。

1. 逐一检查四个二项分布条件：
2. 固定n=3次试验，两种结果（红/蓝），但每次抽取后p会变化，试验不独立，因此p不是常数。
3. 结论：二项分布不适用。

## 单项二项概率公式

$$P(X = r) = \binom{n}{r} p^r (1-p)^{n-r} \quad \text{for } r = 0,1,2,...,n$$

该公式用于计算n次总试验中恰好得到r次成功的精确概率。ⁿCᵣ项统计了r次成功在n次试验中所有可能的排列方式，pʳ是连续r次成功的概率，(1-p)ⁿ⁻ʳ是剩余n-r次失败的概率。

**例题:** 已知X ~ B(6, 0.4)，计算P(X=2)，结果保留三位有效数字。

1. 将n=6、r=2、p=0.4代入标准公式：
2. $$P(X=2) = \binom{6}{2} (0.4)^2 (0.6)^{4}$$
3. $$= 15 \times 0.16 \times 0.1296$$
4. $$= 0.31104 \approx 0.311$$

**概念自测**

测试你对单项二项概率计算的理解

1. 若X ~ B(5, 0.5)，求P(X=3)的值？

   - 0.3125
   - 0.5
   - 0.25
   - 0.125

   *解析:* 使用⁵C₃ × 0.5³ × 0.5² = 10 × 0.125 × 0.25 = 0.3125

## 累积概率边界规则

**考试命令词**

CIE考试题对二项累积概率使用特定表述；误解边界是本主题失分的首要原因。

- **at most r** — 所有值≤r，即P(X ≤ r)

- **fewer than r** — 所有值<r，即P(X ≤ r-1)

- **at least r** — 所有值≥r，即1 - P(X ≤ r-1)

- **more than r** — 所有值>r，即1 - P(X ≤ r)

**例题:** 已知X ~ B(6, 0.4)，计算P(X ≥ 2)，结果保留三位有效数字。

1. 使用边界规则：P(X ≥ 2) = 1 - P(X ≤ 1)
2. 展开P(X ≤1) = P(X=0) + P(X=1)
3. $$P(X=0) = \binom{6}{0} (0.4)^0 (0.6)^6 = 1 \times 1 \times 0.046656 = 0.046656$$
4. $$P(X=1) = \binom{6}{1} (0.4)^1 (0.6)^5 = 6 \times 0.4 \times 0.07776 = 0.186624$$
5. $$P(X ≥ 2) = 1 - (0.046656 + 0.186624) = 0.76672 \approx 0.767$$

> **tip**
>
> 即使你觉得边界转换很明显，也一定要在答题纸上写出完整的边界转换步骤。即使你算错了某一项，阅卷人也会根据正确步骤给过程分。

## 二项分布的期望与方差

$$E(X) = np$$

$$Var(X) = np(1-p) = npq$$

这两个公式直接印在MF19考试公式表上，因此你不需要在考试中推导它们。当n很大时，二项分布可以用正态分布近似——详见正态分布章节。

**例题:** 一枚公平的6面骰子被掷30次，X为掷出3点的总次数，求E(X)和Var(X)。

1. 首先确定n和p：n=30次试验，p=1/6（掷出3点的概率）
2. $$E(X) = np = 30 \times \frac{1}{6} = 5$$
3. $$Var(X) = np(1-p) = 30 \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{25}{6} \approx 4.17$$

## 常见错误

- **错误做法:** 将「少于5次」错误处理为P(X ≤ 5)
  - 原因: 少于5次意味着X只能取0、1、2、3、4，因此上界是4，不是5
  - 正确做法: 在计算前先将「少于r次」转换为P(X ≤ r-1)
- **错误做法:** 不放回抽样时将总体总大小当作n
  - 原因: 不放回抽样破坏了p为常数的条件，因此二项模型在此处不成立
  - 正确做法: n是固定的试验次数，不是你抽样的总体的总大小
- **错误做法:** 计算累积概率求和前就将单项二项概率舍入到三位有效数字
  - 原因: 中间舍入会在最终累积结果中引入大量可避免的误差
  - 正确做法: 所有中间步骤保留完整的未舍入值，仅将最终答案舍入到三位有效数字
- **错误做法:** 错误地将「成功」定义为概率更小的事件
  - 原因: 这会交换p和1-p，导致概率值完全错误
  - 正确做法: 明确写出什么事件算作成功，并确认其概率与你使用的p值一致
- **错误做法:** 将方差计算为np而不是np(1-p)
  - 原因: 混淆期望公式和方差公式是非常常见的粗心错误
  - 正确做法: 对照MF19公式表核对你的计算过程，确认你选用了正确的表达式

## 速查表

| 描述 | 公式 / 规则 |
| --- | --- |
| 二项分布记号 | X ~ B(n, p) |
| 单项概率 | P(X=r) = ⁿCᵣ pʳ (1-p)ⁿ⁻ʳ |
| P(最多r次成功) | P(X ≤ r) |
| P(至少r次成功) | 1 - P(X ≤ r-1) |
| 期望值（均值） | E(X) = np |
| 方差 | Var(X) = np(1-p) |

## 下一步

掌握二项分布是CIE 9709第5卷学习的关键里程碑，它是你后续学习所有其他离散概率模型的基础。接下来你会将离散随机变量的知识拓展到几何分布——S1教学大纲中第二个命名的离散模型，之后再学习包括正态分布在内的连续概率分布。你在这里学到的二项期望和方差规则也会在后续抽样相关内容中用到。练习3-4道历年真题中的二项分布题目，巩固边界转换技巧，这是在这个高分值主题拿到满分的最简单方法。

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