概率

CIE A-Level 数学· 第4单元：概率与统计1，主题3：概率· 20 分钟阅读

1. 核心定义与基础概率★★☆☆☆⏱ 15 min

📘 定义

概率

$P (E)$

衡量事件 $E$ 发生可能性的量，取值范围为0（不可能）到1（必然）。对于等可能结果， $P (E) = \frac{Number of favourable outcomes}{Total number of possible outcomes}$ 。

例:

投掷一枚公平的六面骰子，掷出偶数的概率是 $\frac{3}{6} = 0.5$ 。

研究概率时，样本空间描述了实验所有可能的结果，事件是样本空间的任意子集。一个核心基础概念是补概率：事件 $A$ 的补集（记为 $A^{'}$ ）包含所有不属于 $A$ 的结果，因此 $P (A^{'}) = 1 - P (A)$ 。

📐 例题

一个袋子里有5个红球、3个蓝球和2个大小质地相同的绿球，随机摸出一个球，求摸出的球不是绿球的概率。

1
计算袋子中球的总数：
2
$5 + 3 + 2 = 10$
3
计算摸出绿球的概率：
4
$P(\text{green}) = \frac{2}{10} = 0.2$
5
我们要求的是摸出非绿球的概率，这是事件'摸出绿球'的补事件：
6
$P(\text{not green}) = 1 - P(\text{green}) = 1 - 0.2 = 0.8$

2. 加法法则与互斥事件★★☆☆☆⏱ 20 min

📘 定义

互斥事件

若两个事件 $A$ 和 $B$ 不能同时发生，则它们是互斥（不相交）事件，即它们的交集为空： $A \cap B = \emptyset$ 。

例:

从标准一副牌中抽一张牌：抽到红桃和抽到梅花是互斥事件。

对于任意两个事件，概率的加法法则计算A、B中至少一个发生的概率： $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ 。若A和B互斥，则 $P (A \cap B) = 0$ ，因此法则简化为 $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ 。韦恩图是可视化事件关系、避免对交集重复计数的有用工具。

📐 例题

50名学生中，25人打曲棍球，20人踢足球，10人两项都参加。求随机选一名学生，两项运动都不参加的概率。

1
定义事件： $H =$ 学生打曲棍球， $F =$ 学生踢足球。我们已知：
2
$P(H) = \frac{25}{50} = 0.5, \quad P(F) = \frac{20}{50} = 0.4, \quad P(H \cap F) = \frac{10}{50} = 0.2$
3
用加法法则计算至少参加一项运动的概率：
4
$P(H \cup F) = P(H) + P(F) - P(H \cap F) = 0.5 + 0.4 - 0.2 = 0.7$
5
两项都不参加是 $H \cup F$ 的补事件：
6
$P(\text{neither}) = 1 - P(H \cup F) = 1 - 0.7 = 0.3$

✓ 快速检测

测试你的理解：

对于两个互斥事件A和B， $P (A \cap B)$ 的值是多少？
- 0
- 1
- $P (A) P (B)$
- $P (A) + P (B)$
显示答案
0 —
正确！互斥事件没有重叠，因此它们交集的概率为0。

3. 乘法法则与独立事件★★★☆☆⏱ 20 min

📘 定义

独立事件

若一个事件的发生不影响另一个事件的发生概率，则两个事件 $A$ 和 $B$ 独立。即满足 $P (A ∣ B) = P (A)$ 且 $P (B ∣ A) = P (B)$ 。

例:

投掷两枚公平骰子：第一枚的结果不影响第二枚的结果。

对于任意两个事件，乘法法则指出： $P (A \cap B) = P (A ∣ B) \times P (B)$ 。若A和B独立，则 $P (A ∣ B) = P (A)$ ，因此法则简化为 $P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$ 。在CIE考试中，这个公式是检验独立性的标准方法：若 $P (A \cap B) = P (A) P (B)$ ，则A和B独立。

📐 例题

一个袋子里有4个红球和6个蓝球，有放回地随机摸出两个球。证明事件'第一个球是红球'和'第二个球是红球'独立，并求两个都是红球的概率。

1
定义 $R_{1} =$ 第一个球是红球， $R_{2} =$ 第二个球是红球。由于是有放回抽取，总球数保持不变，因此：
2
$P(R_1) = \frac{4}{10} = 0.4, \quad P(R_2) = \frac{4}{10} = 0.4$
3
用乘法法则计算两个都是红球的概率：
4
$P(R_1 \cap R_2) = P(R_1) \times P(R_2) = 0.4 \times 0.4 = 0.16$
5
检验独立性条件： $P (R_{1}) \times P (R_{2}) = 0.16 = P (R_{1} \cap R_{2})$ ，因此两个事件独立。

4. 常见陷阱

错误做法:

混淆互斥事件和独立事件

原因:

学生经常误以为这两个术语可以互换，但它们描述的是事件完全不同的性质

正确做法:

记住：互斥意味着 $P (A \cap B) = 0$ （不能同时发生），独立意味着 $P (A \cap B) = P (A) P (B)$ （一个不影响另一个）。两个概率非零的事件不可能同时满足两者。

错误做法:

使用加法法则时忘记减去交集

原因:

学生对所有事件都使用互斥事件的简化公式，导致对重叠结果重复计数

正确做法:

除非明确告知事件互斥，否则始终使用通用加法法则 $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ 。

错误做法:

无放回抽样时乘以未调整的概率

原因:

学生假设所有复合事件都是独立的，直接乘以原始概率，忽略了样本空间的变化

正确做法:

对于无放回抽样，第一次抽取后，第二个概率的分子和分母都要减1。

错误做法:

韦恩图中对交集区域重复计数

原因:

学生将完整的交集值同时加到两个单个事件区域中，而不是在并集中只计数一次

正确做法:

填写韦恩图时，先填入交集的值，再从每个单个事件中减去交集，得到'仅A'和'仅B'区域。

错误做法:

没有检查概率在0到1之间

原因:

计算时赶进度会导致本可以轻松发现的算术错误

正确做法:

始终验证最终概率在0到1之间，若超出范围则重新计算。

5. 速查表

概念	公式
补集法则	$P (A^{'}) = 1 - P (A)$
通用加法法则	$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$
加法法则（互斥事件）	$P (A \cup B) = P (A) + P (B)$
通用乘法法则	$P (A \cap B) = P (A ∣ B) P (B)$
乘法法则（独立事件）	$P (A \cap B) = P (A) P (B)$
独立性检验	$P (A \cap B) = P (A) P (B)$
互斥事件	$P (A \cap B) = 0$

6. 常见问题

互斥事件和独立事件的区别是什么？

互斥事件不能同时发生，因此 $P (A \cap B) = 0$ 。独立事件不会影响彼此的概率，因此 $P (A \cap B) = P (A) P (B)$ 。两个概率非零的事件不可能同时是互斥事件又是独立事件。

真题中的出现

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这个基础概率主题是CIE A-Level 9709所有后续统计学主题的基础。掌握基础概率法则后，你会将这些概念拓展到条件概率，后者系统化处理非独立事件。你也会在学习常见概率分布（如二项分布和正态分布）时运用这些核心法则，这些分布占S1考试的很大比重。扎实理解这里的核心法则和概念区别，可以避免你在几乎所有统计学题目中犯常见错误。