# 概率

> CIE A-Level 数学 · 9709 概率与统计 1
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u4-probability/

本子主题涵盖CIE A-Level数学的核心概率概念，包括复合事件的基本法则、韦恩图/树状图解题方法，以及互斥事件和独立事件的关键区别，是所有统计学主题的基础。

**先修:** [基础排列组合](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u4-permutations-and-combinations/); 基础集合符号

## 学习目标

- 运用核心法则计算单个事件和复合事件的概率
- 区分互斥事件和独立事件
- 运用韦恩图和树状图解决概率问题
- 正确运用补集、加法和乘法法则

## 真题考频

据 OwlsPrep 对官方 CIE 9709 S1 真题的聚合（2016–2025）: **概率** 近 10 年出现 **91 次**——占 S1 全部真题的 **20.3%**（438 题中 91 题）.

最常考形式: 条件概率 (60), 概率树 (30), 独立事件 (23), 乘法公式 (21), 样本空间 (15).

## 核心定义与基础概率

**概率** — 衡量事件$E$发生可能性的量，取值范围为0（不可能）到1（必然）。对于等可能结果，$P(E) = \frac{\text{有利结果数}}{\text{所有可能结果数}}$。

*记法:* $P(E)$

*例:* 投掷一枚公平的六面骰子，掷出偶数的概率是$\frac{3}{6} = 0.5$。

研究概率时，样本空间描述了实验所有可能的结果，事件是样本空间的任意子集。一个核心基础概念是补概率：事件$A$的补集（记为$A'$）包含所有不属于$A$的结果，因此$P(A') = 1 - P(A)$。

**例题:** 一个袋子里有5个红球、3个蓝球和2个大小质地相同的绿球，随机摸出一个球，求摸出的球不是绿球的概率。

1. 计算袋子中球的总数：
2. $$5 + 3 + 2 = 10$$
3. 计算摸出绿球的概率：
4. $$P(\text{绿}) = \frac{2}{10} = 0.2$$
5. 我们要求的是摸出非绿球的概率，这是事件'摸出绿球'的补事件：
6. $$P(\text{非绿}) = 1 - P(\text{绿}) = 1 - 0.2 = 0.8$$

> **tip**
>
> 始终检查最终概率是否在0到1之间。任何超出该范围的值都说明计算出错了。

## 加法法则与互斥事件

**互斥事件** — 若两个事件$A$和$B$不能同时发生，则它们是互斥（不相交）事件，即它们的交集为空：$A \cap B = \emptyset$。

*例:* 从标准一副牌中抽一张牌：抽到红桃和抽到梅花是互斥事件。

两个互斥事件的加法法则很简单：$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$，因为它们没有公共结果。这一点，加上借助韦恩图的推理，正是CIE所期望的方法：把样本空间划分为互不重叠的区域（'仅$A$'、'仅$B$'、'两者都'、'两者都不'），再把需要的部分相加。同样的韦恩图分区法也能处理有重叠的事件，而不会对交集重复计数。作为可选拓展，重叠的情形也可以用通用加法法则$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$一行解决，但9709大纲并不要求这个公式——韦恩图分区法总是够用的。

**例题:** 从标准52张牌堆中抽出一张牌，求它是K或Q的概率。

1. 设$K$为事件'这张牌是K'，$Q$为事件'这张牌是Q'。一张牌不可能既是K又是Q，因此这两个事件互斥：
2. $$P(K \cap Q) = 0$$
3. 牌堆中有4张K和4张Q：
4. $$P(K) = \frac{4}{52}, \quad P(Q) = \frac{4}{52}$$
5. 由于两个事件互斥，加法法则化简为直接相加：
6. $$P(K \cup Q) = P(K) + P(Q) = \frac{4}{52} + \frac{4}{52} = \frac{8}{52} = \frac{2}{13}$$

**例题:** 50名学生中，25人打曲棍球，20人踢足球，10人两项都参加。借助韦恩图，求随机选出的一名学生两项运动都不参加的概率。

1. 设$H$为'打曲棍球'，$F$为'踢足球'。从中心向外填韦恩图，先填重叠区域（两项都参加的学生）：
2. $$n(H \cap F) = 10$$
3. 从每项的总人数中减去重叠部分，得到'仅参加一项'的区域：
4. $$n(\text{仅 } H) = 25 - 10 = 15, \quad n(\text{仅 } F) = 20 - 10 = 10$$
5. 三个已填区域共有$15 + 10 + 10 = 35$名学生，其余学生两项都不参加：
6. $$n(\text{都不参加}) = 50 - 35 = 15$$
7. 把人数换算为概率：
8. $$P(\text{都不参加}) = \frac{15}{50} = 0.3$$

**概念自测**

测试你的理解：

1. 对于两个互斥事件A和B，$P(A \cap B)$的值是多少？

   - 0
   - 1
   - $P(A)P(B)$
   - $P(A) + P(B)$

   *解析:* 正确！互斥事件没有重叠，因此它们交集的概率为0。

## 乘法法则与独立事件

**独立事件** — 若一个事件的发生不影响另一个事件的发生概率，则两个事件$A$和$B$独立。即满足$P(A|B) = P(A)$且$P(B|A) = P(B)$，其中$P(A|B)$表示在$B$发生的条件下$A$发生的条件概率（将在下一节详细定义）。

*例:* 投掷两枚公平骰子：第一枚的结果不影响第二枚的结果。

对于任意两个事件，乘法法则指出：$P(A \cap B) = P(A|B) \times P(B)$。若A和B独立，则$P(A|B) = P(A)$，因此法则简化为$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$。在CIE考试中，这个公式是检验独立性的标准方法：若$P(A \cap B) = P(A)P(B)$，则A和B独立。

**例题:** 一个袋子里有4个红球和6个蓝球，有放回地随机摸出两个球。证明事件'第一个球是红球'和'第二个球是红球'独立，并求两个都是红球的概率。

1. 定义$R_1 = $第一个球是红球，$R_2 = $第二个球是红球。由于是有放回抽取，总球数保持不变，因此：
2. $$P(R_1) = \frac{4}{10} = 0.4, \quad P(R_2) = \frac{4}{10} = 0.4$$
3. 用乘法法则计算两个都是红球的概率：
4. $$P(R_1 \cap R_2) = P(R_1) \times P(R_2) = 0.4 \times 0.4 = 0.16$$
5. 检验独立性条件：$P(R_1) \times P(R_2) = 0.16 = P(R_1 \cap R_2)$，因此两个事件独立。

> **tip**
>
> 有放回抽样总是得到独立事件，而无放回抽样总是得到非独立事件，因为第一次抽取后样本空间发生了变化。

## 条件概率与树状图

**条件概率** — 在事件$B$已经发生的条件下，事件$A$发生的概率，定义为$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$（其中$P(B) > 0$）。整理后即得乘法法则$P(A \cap B) = P(A|B)\,P(B)$。

*记法:* $P(A|B)$

*例:* 若已知从标准牌堆中抽出的牌是红色，则它是红桃的概率为$P(\text{红桃}|\text{红色}) = \frac{13}{26} = 0.5$，因为26张红色牌中有13张是红桃。

条件概率衡量的是：在已知另一个事件发生后，某个事件发生的可能性如何变化。对于独立事件，这个额外信息没有影响，因此$P(A|B) = P(A)$；对于非独立事件则有影响。树状图是CIE的标准工具：给每条分支标上概率，确保从同一点引出的各分支概率之和为1，沿一条路径相乘得到某个特定结果，再把满足条件的各条路径相加。无放回抽样时，第二组分支上的概率是以第一次抽取结果为条件的。

**例题:** 一个盒子里有7个白色和3个黑色筹码。无放回地随机抽取两个筹码。(a) 求两个筹码都是黑色的概率。(b) 已知第二个筹码是黑色，求第一个筹码也是黑色的概率。

1. 第一次抽取：$P(\text{黑}) = \frac{3}{10}$，$P(\text{白}) = \frac{7}{10}$——这是树状图的第一组分支。
2. 由于无放回，第二次抽取依赖于第一次。若第一个筹码是黑色，则9个中还剩2黑7白：
3. $$P(\text{黑}|\text{第一个黑}) = \frac{2}{9}, \quad P(\text{白}|\text{第一个黑}) = \frac{7}{9}$$
4. (a) 沿'先黑后黑'这条路径把概率相乘：
5. $$P(\text{两个都黑}) = \frac{3}{10} \times \frac{2}{9} = \frac{6}{90} = \frac{1}{15}$$
6. (b) 用$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$，其中$A$='第一个黑'，$B$='第二个黑'。先把两条以黑色第二个筹码结尾的路径（'先白后黑'与'先黑后黑'）相加，求出$P(\text{第二个黑})$：
7. $$P(\text{第二个黑}) = \frac{7}{10} \times \frac{3}{9} + \frac{3}{10} \times \frac{2}{9} = \frac{21}{90} + \frac{6}{90} = \frac{27}{90} = \frac{3}{10}$$
8. 再相除，分子用(a)中求得的两个都黑的概率：
9. $$P(\text{第一个黑}|\text{第二个黑}) = \frac{P(\text{两个都黑})}{P(\text{第二个黑})} = \frac{1/15}{3/10} = \frac{6}{27} = \frac{2}{9}$$

> **tip**
>
> 在树状图上，处理一连串事件时沿分支相乘，再把满足条件的各条路径相加。务必检查从同一点引出的各分支概率之和为1。

## 常见错误

- **错误做法:** 混淆互斥事件和独立事件
  - 原因: 学生经常误以为这两个术语可以互换，但它们描述的是事件完全不同的性质
  - 正确做法: 记住：互斥意味着$P(A \cap B) = 0$（不能同时发生），独立意味着$P(A \cap B) = P(A)P(B)$（一个不影响另一个）。两个概率非零的事件不可能同时满足两者。
- **错误做法:** 两个事件可能同时发生时，仍直接把$P(A)$和$P(B)$相加
  - 原因: 对于有重叠的事件，直接相加会把公共结果算两次，从而高估$P(A \cup B)$。
  - 正确做法: 默认借助韦恩图推理：把样本空间划分为互不重叠的区域（'仅$A$'、'仅$B$'、'两者都'、'两者都不'），只把需要的部分相加。仅当题目实际给出$P(A \cap B)$的值时，才代入通用公式$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$——9709大纲并不要求这个公式。
- **错误做法:** 无放回抽样时乘以未调整的概率
  - 原因: 学生假设所有复合事件都是独立的，直接乘以原始概率，忽略了样本空间的变化
  - 正确做法: 对于无放回抽样，第一次抽取后，第二个概率的分子和分母都要减1。
- **错误做法:** 韦恩图中对交集区域重复计数
  - 原因: 学生将完整的交集值同时加到两个单个事件区域中，而不是在并集中只计数一次
  - 正确做法: 填写韦恩图时，先填入交集的值，再从每个单个事件中减去交集，得到'仅A'和'仅B'区域。
- **错误做法:** 没有检查概率在0到1之间
  - 原因: 计算时赶进度会导致本可以轻松发现的算术错误
  - 正确做法: 始终验证最终概率在0到1之间，若超出范围则重新计算。

## 速查表

| 概念 | 公式 |
| --- | --- |
| 补集法则 | $P(A') = 1 - P(A)$ |
| 加法法则（互斥事件） | $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ |
| 通用加法法则（可选拓展） | $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ |
| 条件概率 | $P(A\|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ |
| 通用乘法法则 | $P(A \cap B) = P(A\|B)P(B)$ |
| 乘法法则（独立事件） | $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ |
| 独立性检验 | $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ |
| 互斥事件 | $P(A \cap B) = 0$ |

## 下一步

这个基础概率主题是CIE A-Level 9709所有后续统计学主题的基础。本主题建立的法则——加法与乘法法则、互斥事件与独立事件，以及借助树状图的条件概率——会在你学习常见概率分布（如二项分布和正态分布）时直接用到，这些分布占S1考试的很大比重。扎实理解这里的核心法则和概念区别，可以避免你在几乎所有统计学题目中犯常见错误。

- [离散随机变量](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u4-discrete-random-variables/)
- [正态分布](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u4-normal-distribution/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u4-probability/