# 排列与组合

> CIE A-Level 数学 · 概率与统计 1
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u4-permutations-and-combinations/

本子主题介绍了元素排列（有序排列）和选择（无序组合）的核心计数方法，是CIE A-Level中概率、二项分布及所有后续统计主题的基础技能。

**先修:** 阶乘与基本计数原理

## 学习目标

- 区分有序排列和无序组合
- 计算有/无重复相同元素情况下的排列数
- 计算无序选择的组合数
- 解决CIE考试中的带限制计数问题

## 真题考频

据 OwlsPrep 对官方 CIE 9709 S1 真题的聚合（2016–2025）: **排列与组合** 近 10 年出现 **86 次**——占 S1 全部真题的 **19.6%**（438 题中 86 题）.

最常考形式: 带条件排列 (64), 选取问题 (51), 排列 (29), 组合 (23).

## 不同元素的排列

**排列** — 从$n$个不同元素中选取$r$个元素的有序排列或选择，选取顺序会影响结果。

*记法:* $^nP_r = P(n,r)$

*例:* 从A、B、C三个字母中选2个排列，得到6种不同的排列。

当元素不重复时，排列数用以下公式计算：

$$^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!} = n(n-1)(n-2)...(n-r+1)$$

**例题:** 从单词*HEPTAGON*中选取4个字母，一共有多少种排列？（所有字母都不同）

1. 1. 统计不同字母的总数：$n=8$，我们选取$r=4$。
2. 2. 代入排列公式：
3. $$^8P_4 = \frac{8!}{(8-4)!} = \frac{8!}{4!}$$
4. 3. 化简得到：$8 \times 7 \times 6 \times 5 = 1680$

> **考试提示:** 使用该公式前，请务必确认所有元素都是不同的。

## 含相同元素的排列

本节讲解考纲要求的“排列相同元素”技能。先把它与一个容易混淆的预备知识（元素可重复使用）区分开：

1. **元素可重复使用——预备知识，乘法原理（不是考纲所说的“重复”）**：当元素可以重复使用时（例如4位PIN码的每一位），从$n$个元素中排$r$个的方法数为$n^r$。这来自基本计数原理，与下面的“相同元素”情形*不同*。
2. **相同元素——即考纲所说的“重复”（例如单词NEEDLESS的字母）**：当排列全部$n$个元素且其中有些相同时，需要除以每种重复元素个数的阶乘，避免重复计数。

$$\text{不同排列数} = \frac{n!}{k_1! \cdot k_2! \cdot ... \cdot k_m!}$$

其中$k_i$是第$i$种相同元素的个数。

**例题:** 求单词*STATISTICS*中字母的不同排列数。

1. 1. 统计总字母数：$n=10$。
2. 2. 找出重复字母：S有3个，T有3个，I有2个，A有1个，C有1个。
3. 3. 代入公式：
4. $$\frac{10!}{3! \cdot 3! \cdot 2!} = \frac{3628800}{6 \times 6 \times 2}$$
5. 4. 化简得到50400种不同排列。

## 不同元素的组合

**组合** — 从$n$个不同元素中选取$r$个元素的无序选择，顺序不改变结果。

*记法:* $^nC_r = \binom{n}{r}$

*例:* 从A、B、C三个字母中选2个，只得到3种不同的组合。

组合数的计算是调整排列数，去掉同一选择的重复排序，公式为：

$$\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!} = \frac{^nP_r}{r!}$$

有一个可简化计算的常用恒等式是 $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$。

**例题:** 从8名候选人中选出3人组成委员会，一共有多少种不同的委员会？

1. 1. 委员会成员的顺序不影响结果，因此使用组合：$n=8$，$r=3$。
2. 2. 代入公式：
3. $$\binom{8}{3} = \frac{8!}{3! \cdot 5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1}$$
4. 3. 化简得到56种不同的委员会。

**概念自测**

1. 将人们排成一排拍照是排列问题还是组合问题？

   - 排列
   - 组合

   *解析:* 队列中位置顺序会影响结果，因此这是排列问题。

## 带限制条件的综合问题

大多数CIE考试题目会结合排列组合与限制条件，例如“必须至少包含X个”、“某些元素必须相邻”或“某些元素必须不相邻”。一种常用的高效方法是：先计算总结果数，再减去不满足限制条件的无效结果数。

**例题:** 从6名男性和5名女性中选出5人组成队伍，要求队伍中至少有2名女性，一共有多少种选法？

1. 1. 计算从11人中选5人的总方法数：
2. $$\binom{11}{5} = 462$$
3. 2. 计算无效结果（少于2名女性 = 0名女性或1名女性）：
4. 0名女性（全男性）：$\binom{6}{5} = 6$
5. 1名女性 + 4名男性：$\binom{5}{1} \times \binom{6}{4} = 5 \times 15 = 75$
6. 3. 总无效结果 = $6 + 75 = 81$
7. 4. 有效结果 = 总数 - 无效数 = $462 - 81 = 381$

**例题:** 8个人排成一排，如果特定的两个人A和B**不能**相邻，一共有多少种排法？

1. 1. 先计算无限制的总排列数：$8! = 40320$。
2. 2. 计算A和B**相邻**的排列数：把两人黏成一个块（共7个元素排列），再乘以2表示块内AB或BA两种顺序：$2 \times 7! = 10080$。
3. 3. “不相邻”的排列数 = 总数 − “相邻”的排列数：$40320 - 10080 = 30240$。

> **考试提示:** 对于“至少”类限制条件，总减无效法几乎总是比单独计数每个有效情况更快。

## 常见错误

- **错误做法:** 将无序选择当作排列计算
  - 原因: 你会多乘一个$r!$的因子，因为你将同一选择的所有不同排序都算作不同结果
  - 正确做法: 始终检查顺序是否影响结果：如果交换两个元素不会产生新结果，就使用组合。
- **错误做法:** 忘记除以相同元素个数的阶乘
  - 原因: 交换相同元素不会产生新排列，因此会重复计数
  - 正确做法: 计算前明确列出所有重复元素，然后除以它们阶乘的乘积。
- **错误做法:** 对独立选择使用加法而非乘法
  - 原因: 混淆了互斥事件的加法原理和独立选择的乘法原理
  - 正确做法: 对“且”类选择用乘法，对“或”类互斥情况用加法。
- **错误做法:** 忘记对必须相邻的元素进行内部排列
  - 原因: 将元素分组为一个块时，你遗漏了块内部的排列
  - 正确做法: 先计算块的排列数，再乘以块内部元素的排列数。
- **错误做法:** 对满足多个条件的结果重复计数
  - 原因: 对重叠限制的情况相加时，你会将满足多个条件的结果计数两次
  - 正确做法: 使用容斥原理或总减无效法避免重复计数。

## 速查表

| 场景 | 公式/方法 |
| --- | --- |
| 从$n$个不同元素中选$r$个，无重复排列 | $P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}$ |
| 从$n$个元素中选$r$个，允许重复排列 | $n^r$ |
| 排列$n$个元素，有重复$k_1, k_2...$ | $\frac{n!}{k_1! k_2! ...}$ |
| 从$n$个元素中选$r$个无序组合 | $\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ |
| 至少X个的限制 | 总结果数 $-$ 无效结果数 |
| 元素必须相邻 | 当作1个块处理，乘以内部排列数 |

## 下一步

排列与组合是CIE A-Level统计1中几乎所有概率问题的基础计数技能。你将在本单元下一个核心主题二项分布中直接使用组合推导和计算概率。这些计数方法也经常出现在涉及条件概率、离散随机变量以及A2阶段后续统计主题的问题中。掌握本子主题对在考试概率部分取得高分至关重要。

- [离散随机变量](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u4-discrete-random-variables/)
- [概率](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u4-probability/)
- [正态分布](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u4-normal-distribution/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u4-permutations-and-combinations/