正态分布

CIE A-Level 数学· 第4单元：概率与统计1· 15 分钟阅读

1. 正态分布的性质★★☆☆☆⏱ 5 min

📘 定义

正态分布

$X \sim N (μ, σ^{2})$

一种连续概率分布，具有对称的钟形概率密度函数。 $μ$ 是总体均值（由于对称性，均值等于中位数和众数）， $σ^{2}$ 是总体方差。

例:

成年人身高、测量误差和考试分数通常都被建模为正态分布。

正态分布有几个常考的核心性质：它关于均值对称，曲线下总面积等于1，几乎所有（99.7%）的分布都落在均值的3个标准差范围内。方差越大，曲线的分布范围越广。

📐 例题

指出分布 $X \sim N (30, 36)$ 的均值、方差和标准差。

1
记住记号 $X \sim N (μ, σ^{2})$ 中，第一个参数是均值，第二个是方差：
2
$\mu = 30, \quad \sigma^2 = 36$
3
标准差是方差的平方根，计算得：
4
$\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{36} = 6$
5
最终答案：
6
均值 = 30, 方差 = 36, 标准差 = 6

Exam tip:

一定要检查题目要求的是方差还是标准差。很多学生因为混淆这两个概念丢分。

2. 标准化与概率计算★★★☆☆⏱ 7 min

📘 定义

Z分数

$z = \frac{X - μ}{σ}$

将任意服从正态分布的变量 $X$ 转换为标准正态变量 $Z \sim N (0, 1)$ 的标准化值，可以在标准正态分布表中查询。

任意正态分布都可以通过z分数公式转换为标准正态分布，这样我们就可以使用预计算的表格查找累积概率。z分数 $z$ 对应的累积概率记为 $Φ (z) = P (Z \leq z)$ 。对于负z分数，我们利用正态分布的对称性： $Φ (- z) = 1 - Φ (z)$ 。

📐 例题

已知 $X \sim N (50, 100)$ ，计算 $P (X < 62)$ 。

1
从记号中提取参数：
2
$\mu = 50, \quad \sigma^2 = 100 \implies \sigma = 10$
3
计算 $X = 62$ 对应的z分数：
4
$z = \frac{62 - 50}{10} = 1.2$
5
在标准正态分布表中查询 $z = 1.2$ 得 $Φ (1.2) = 0.8849$ ，因此 $P (X < 62) = 0.8849$

📐 例题

对于同一分布 $X \sim N (50, 100)$ ，计算 $P (X > 45)$ 。

1
计算z分数：
2
$z = \frac{45 - 50}{10} = -0.5$
3
对负z使用对称性性质：
4
$P(X > 45) = P(Z > -0.5) = 1 - \Phi(-0.5) = \Phi(0.5)$
5
查询得 $Φ (0.5) = 0.6915$ ，因此 $P (X > 45) = 0.6915$

Exam tip:

快速画出正态曲线并给你需要的区域上色，这样可以避免尾概率计算错误。

3. 反正态分布问题★★★★☆⏱ 7 min

反正态问题是反过来的过程：给定概率，需要找到对应 $X$ 的值。这类问题在CIE考试中非常常见，通常占5-6分。

📘 定义

反正态

对于累积概率 $p = P (X < x)$ ，反正态可以找到对应正态分布p分位数的x值。

📐 例题

已知 $X \sim N (20, 25)$ ，找到满足 $P (X > x) = 0.10$ 的x值。

1
将上尾概率转换为下尾概率：
2
$P(X < x) = 1 - P(X > x) = 1 - 0.10 = 0.90$
3
提取参数：
4
$\mu = 20, \quad \sigma = 5$
5
找到累积概率0.90对应的z分数： $z = 1.282$
6
整理z分数公式求解 $x$ ：
7
$x = \mu + z\sigma = 20 + (1.282)(5) = 26.41$
8
最终答案（保留3位有效数字）： $x \approx 26.4$

Exam tip:

一定要确认题目要求的是哪个尾。例如，上10%是90分位数，不是10分位数。

4. 常见陷阱

错误做法:

计算z分数时混淆方差和标准差

原因:

记号 $N (μ, σ^{2})$ 的第二个参数是方差，因此学生经常错用方差代替标准差

正确做法:

开始计算前，一定要对第二个参数开平方得到 $σ$

错误做法:

错误计算负z分数的概率

原因:

标准正态分布表只给出正z的概率，学生经常忘记应用对称性法则

正确做法:

对于负z分数，始终使用恒等式 $Φ (- z) = 1 - Φ (z)$

错误做法:

反正态问题中直接使用上尾概率

原因:

学生直接使用给定的上尾概率查找z，而不是转换为下尾概率

正确做法:

在表中查找z之前，一定要先转换为下累积概率 $p = P (X < x)$

错误做法:

近似离散数据时忘记连续性修正

原因:

使用正态分布对计数等离散变量建模时，学生忘记将值调整0.5

正确做法:

对离散分布应用正态近似时，一定要对离散值加或减0.5

5. 速查表

概念	核心公式/法则
一般正态记号	$X \sim N (μ, σ^{2})$
标准正态分布	$Z \sim N (0, 1)$
Z分数公式	$z = \frac{X - μ}{σ}$
负z概率	$Φ (- z) = 1 - Φ (z)$
反正态求x	$x = μ + z σ$
经验法则	68%的数据落在1 $σ$ 内，95%落在2 $σ$ 内，99.7%落在3 $σ$ 内

6. 常见问题

我需要记住常用概率对应的z值吗？

不需要，CIE考试会提供标准正态分布表，但你应该记住常用值，比如95%分位数对应的 $z = 1.645$ ，以节省时间。

正态分布是离散的还是连续的？

正态分布始终是连续概率分布，这意味着它可以取区间内的任意值。

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

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下一步

正态分布是统计学最基础的概念之一，是CIE A-Level数学及更高阶几乎所有进阶主题的基础。掌握这里的计算方法是后续单元中二项分布正态近似、构造置信区间、进行假设检验的前提。它也广泛应用于从数据科学到医学研究的各类实际场景中。

→假设检验