# 正态分布

> CIE A-Level 数学 · 9709
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u4-normal-distribution/

本子主题介绍应用最广泛的连续概率分布——正态分布的性质。你将学习如何计算概率、求解反分位数问题，这是CIE A-Level统计1的核心考试要求。

**先修:** [离散随机变量（均值、方差与二项分布）](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u4-discrete-random-variables/); [基础概率法则](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u4-probability/)

## 学习目标

- 识别正态分布的核心性质
- 将任意正态变量标准化为标准正态分布
- 计算正态分布随机变量的概率
- 求解反正态问题以得到分位数
- 在 np > 5 且 nq > 5 时，使用连续性修正对二项分布进行正态近似

## 真题考频

据 OwlsPrep 对官方 CIE 9709 S1 真题的聚合（2016–2025）: **正态分布** 近 10 年出现 **124 次**——占 S1 全部真题的 **24.9%**（438 题中 124 题）.

最常考形式: 正态分布求概率 (65), 逆正态 (63), 正态近似二项分布 (58), Z值转换 (1), 标准正态分布 (1).

## 正态分布的性质

**正态分布** — 一种连续概率分布，具有对称的钟形概率密度函数。$\mu$是总体均值（由于对称性，均值等于中位数和众数），$\sigma^2$是总体方差。

*记法:* $X \sim N(\mu, \sigma^2)$

*例:* 成年人身高、测量误差和考试分数通常都被建模为正态分布。

正态分布有几个常考的核心性质：它关于均值对称，曲线下总面积等于1，几乎所有（99.7%）的分布都落在均值的3个标准差范围内。方差越大，曲线的分布范围越广。

**例题:** 指出分布$X \sim N(30, 36)$的均值、方差和标准差。

1. 记住记号$X \sim N(\mu, \sigma^2)$中，第一个参数是均值，第二个是方差：
2. $$\mu = 30, \quad \sigma^2 = 36$$
3. 标准差是方差的平方根，计算得：
4. $$\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{36} = 6$$
5. 最终答案：
6. 均值 = 30, 方差 = 36, 标准差 = 6

> **考试提示:** 一定要检查题目要求的是方差还是标准差。很多学生因为混淆这两个概念丢分。

## 标准化与概率计算

**Z分数** — 将任意服从正态分布的变量$X$转换为标准正态变量$Z \sim N(0, 1)$的标准化值，可以在标准正态分布表中查询。

*记法:* $z = \frac{X - \mu}{\sigma}$

任意正态分布都可以通过z分数公式转换为标准正态分布，这样我们就可以使用预计算的表格查找累积概率。z分数$z$对应的累积概率记为$\Phi(z) = P(Z \leq z)$。对于负z分数，我们利用正态分布的对称性：$\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$。

**例题:** 已知$X \sim N(50, 100)$，计算$P(X < 62)$。

1. 从记号中提取参数：
2. $$\mu = 50, \quad \sigma^2 = 100 \implies \sigma = 10$$
3. 计算$X = 62$对应的z分数：
4. $$z = \frac{62 - 50}{10} = 1.2$$
5. 在标准正态分布表中查询$z=1.2$得$\Phi(1.2) = 0.8849$，因此$P(X < 62) = 0.8849$

**例题:** 对于同一分布$X \sim N(50, 100)$，计算$P(X > 45)$。

1. 计算z分数：
2. $$z = \frac{45 - 50}{10} = -0.5$$
3. 对负z使用对称性性质：
4. $$P(X > 45) = P(Z > -0.5) = 1 - \Phi(-0.5) = \Phi(0.5)$$
5. 查询得$\Phi(0.5) = 0.6915$，因此$P(X > 45) = 0.6915$

> **考试提示:** 快速画出正态曲线并给你需要的区域上色，这样可以避免尾概率计算错误。

## 反正态分布问题

反正态问题是反过来的过程：给定概率，需要找到对应$X$的值。这类问题在CIE考试中非常常见，通常占5-6分。

**反正态** — 对于累积概率$p = P(X < x)$，反正态可以找到对应正态分布p分位数的x值。

**例题:** 已知$X \sim N(20, 25)$，找到满足$P(X > x) = 0.10$的x值。

1. 将上尾概率转换为下尾概率：
2. $$P(X < x) = 1 - P(X > x) = 1 - 0.10 = 0.90$$
3. 提取参数：
4. $$\mu = 20, \quad \sigma = 5$$
5. 找到累积概率0.90对应的z分数：$z = 1.282$
6. 整理z分数公式求解$x$：
7. $$x = \mu + z\sigma = 20 + (1.282)(5) = 26.41$$
8. 最终答案（保留3位有效数字）：$x \approx 26.4$

> **考试提示:** 一定要确认题目要求的是哪个尾。例如，上10%是90分位数，不是10分位数。

## 二项分布的正态近似

当二项分布的试验次数 $n$ 很大时，逐项计算二项概率非常繁琐。只要分布不太偏斜，就可以用正态分布近似 $X \sim B(n, p)$。这是 CIE 统计1（5.5）要求的考点，也是常考题型。

**二项分布的正态近似** — 若 $X \sim B(n, p)$，$q = 1 - p$，且 $n$ 足够大使得 $np > 5$ 且 $nq > 5$，则 $X$ 近似服从均值 $\mu = np$、方差 $\sigma^2 = npq$ 的正态分布。由于是用连续分布近似离散分布，必须进行连续性修正。

*记法:* $X \sim B(n, p) \approx N(np,\ npq)$

*例:* $X \sim B(100, 0.4)$ 中 $np = 40 > 5$、$nq = 60 > 5$，因此 $X \approx N(40, 24)$。

由于二项分布是离散的而正态分布是连续的，需要进行连续性修正：把每个整数边界替换为能把所需取值保留在区域内的半整数。$X \geq 5$ 用 $P(X > 4.5)$；$X > 5$ 用 $P(X > 5.5)$；$X \leq 5$ 用 $P(X < 5.5)$；$X < 5$ 用 $P(X < 4.5)$；单个取值 $P(X = 5)$ 用 $P(4.5 < X < 5.5)$。

**例题:** 某大批量元件中，40% 为优质品。随机抽取 100 个元件。用适当的近似求至少有 45 个是优质品的概率。

1. 设 $X$ 为优质元件的个数，则 $X \sim B(100, 0.4)$。用 $q = 1 - 0.4 = 0.6$ 检验近似条件：
2. $$np = 100 \times 0.4 = 40 > 5, \quad nq = 100 \times 0.6 = 60 > 5$$
3. 两个条件都满足，因此用均值 $np$、方差 $npq$ 近似：
4. $$X \approx N(40,\ 24), \quad \sigma = \sqrt{24} = 4.899$$
5. 进行连续性修正。'至少 45' 表示 $X \geq 45$，对连续变量变为 $X > 44.5$：
6. $$P(X \geq 45) \approx P(X > 44.5)$$
7. 标准化并查表：
8. $$z = \frac{44.5 - 40}{\sqrt{24}} = \frac{4.5}{4.899} = 0.919$$
9. $$P(X > 44.5) = 1 - \Phi(0.919) = 1 - 0.821 = 0.179$$
10. 因此至少有 45 个元件为优质品的概率约为 0.179（3 位有效数字）。

> **考试提示:** 最容易漏的一步是连续性修正及其方向：'至少 45'（$X \geq 45$）用 44.5，而'多于 45'（$X > 45$）用 45.5。近似前一定要先写出 $B(n, p)$ 并验证 $np > 5$ 且 $nq > 5$。

## 常见错误

- **错误做法:** 计算z分数时混淆方差和标准差
  - 原因: 记号$N(\mu, \sigma^2)$的第二个参数是方差，因此学生经常错用方差代替标准差
  - 正确做法: 开始计算前，一定要对第二个参数开平方得到$\sigma$
- **错误做法:** 错误计算负z分数的概率
  - 原因: 标准正态分布表只给出正z的概率，学生经常忘记应用对称性法则
  - 正确做法: 对于负z分数，始终使用恒等式$\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$
- **错误做法:** 反正态问题中直接使用上尾概率
  - 原因: 学生直接使用给定的上尾概率查找z，而不是转换为下尾概率
  - 正确做法: 在表中查找z之前，一定要先转换为下累积概率$p = P(X < x)$
- **错误做法:** 二项分布正态近似时忘记连续性修正
  - 原因: 用正态分布近似 $X \sim B(n, p)$（在 $np > 5$ 且 $nq > 5$ 时适用）时，学生忘记离散计数值必须平移 0.5
  - 正确做法: 先确认 $np > 5$ 且 $nq > 5$，再对二项取值加或减 0.5（例如 $P(X \geq 45) \to P(X > 44.5)$）后再标准化

## 速查表

| 概念 | 核心公式/法则 |
| --- | --- |
| 一般正态记号 | $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ |
| 标准正态分布 | $Z \sim N(0, 1)$ |
| Z分数公式 | $z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ |
| 负z概率 | $\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$ |
| 反正态求x | $x = \mu + z\sigma$ |
| 经验法则（近似） | 约 68.3% 落在 1$\sigma$ 内，约 95.4% 落在 2$\sigma$ 内，约 99.7% 落在 3$\sigma$ 内（精确值请查表） |

## 下一步

在统计1中，正态分布最主要的应用是上一节介绍的二项分布正态近似。放眼本主题之外，正态分布还是抽样与估计、置信区间和假设检验的基础——但请注意，这些属于统计2（Paper 6），是后续课程的内容，不属于统计1（Paper 5）。请先掌握这里基于查表的概率计算和反正态方法。

- [二项分布与离散随机变量（统计1）](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u4-discrete-random-variables/)
- [假设检验（统计2 / Paper 6）](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u4-hypothesis-testing/)

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