随机变量的线性组合

CIE A-Level 数学· 9709 Unit 4: 概率与统计1&2 第8节· 25 分钟阅读

1. 线性组合的期望线性性★★☆☆☆⏱ 6 min

📘 定义

期望的线性性

$E [a X + bY + c] = a E [X] + b E [Y] + c$

该恒等式对任意一对随机变量都成立，无论它们是相关还是独立，对所有实常数a、b、c均有效。

该规则可以自然推广到任意多个变量。对于n个随机变量 $X_{1}, X_{2}, ... X_{n}$ ，权重分别为 $a_{1}, a_{2} ... a_{n}$ ，其期望值满足 $E [\sum a_{i} X_{i}] = \sum a_{i} E [X_{i}]$ 。该规则没有额外附加条件，是概率论中最稳健的恒等式之一。

📐 例题

已知 $E [X] = 5$ ， $E [Y] = 3$ ，计算 $E [4 X - 2 Y + 7]$ 的值

1
直接应用期望的线性性，无需进行独立性校验
2
$E[4X - 2Y +7] = 4E[X] - 2E[Y] +7$
3
$= 4(5) - 2(3) +7 = 20 -6 +7 = 21$

✓ 快速检测

测试你对期望线性性的理解：

若 $E [A] = 2$ ， $E [B] = 1$ ，以下哪个值等于 $E [2 A + 3 B - 4]$ ？
- 3
- 5
- 7
- 9
显示答案
3 —
计算过程：22 + 31 -4 = 4 +3 -4 = 3，A和B之间的相关性不会对结果产生任何影响。

Exam tip:

CIE考试评分标准中，只要正确将数值代入期望线性性公式即可获得全部2/3分值，除非题目额外要求，否则无需写出最终计算之外的推导过程。

2. 线性组合的方差★★★☆☆⏱ 7 min

Var(aX + bY) = a^2 Var(X) + b^2 Var(Y) + 2ab \text{Cov}(X,Y)

如果X和Y相互独立，它们的协方差 $C o v (X, Y) = 0$ ，因此公式可以简化为 $V a r (a X + bY) = a^{2} V a r (X) + b^{2} V a r (Y)$ 。注意方差永远不会随常数线性缩放：所有系数都要取平方，而在线性组合中添加的常数偏移量c不会对方差产生任何影响，因为它不会改变分布的离散程度。

📐 例题

已知 $V a r (X) = 9$ ， $V a r (Y) = 16$ ，X和Y相互独立，计算 $V a r (3 X - 2 Y + 10)$

1
首先忽略常数偏移量10，因为它不会影响方差
2
将所有系数取平方，将各变量的方差乘以对应平方系数后求和
3
$Var(3X -2Y) = 3^2 Var(X) + (-2)^2 Var(Y)$
4
$= 9*9 + 4*16 = 81 + 64 = 145$

Exam tip:

你必须在作答过程中明确写出'X和Y相互独立'来证明可以消去协方差项，否则考试中会被扣掉1分。

3. 独立正态变量的线性组合★★★☆☆⏱ 6 min

✓ 计算器

📘 定义

正态分布的再生性

任意多个独立正态分布随机变量的线性组合仍然服从正态分布。

如果 $X \sim N (μ_{X}, σ_{X}^{2})$ 且 $Y \sim N (μ_{Y}, σ_{Y}^{2})$ ，X和Y相互独立，那么 $a X + bY + c \sim N (a μ_{X} + b μ_{Y} + c, a^{2} σ_{X}^{2} + b^{2} σ_{Y}^{2})$ 。该性质仅为少数常见分布所具备，在CIE Paper 6和Paper 7中考察频率很高。

📐 例题

小苹果的质量 $A \sim N (120, 1 5^{2})$ 克，香蕉的质量 $B \sim N (150, 2 0^{2})$ 克。求1个苹果和1根香蕉的总质量小于300克的概率。

1
定义总质量 $T = A + B$
2
$E[T] = 120 + 150 = 270$
3
$Var(T) = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625, \sigma_T = 25$
4
因此 $T \sim N (270, 2 5^{2})$
5
$P(T < 300) = \Phi\left(\frac{300 - 270}{25}\right) = \Phi(1.2) = 0.8849$

4. 区分$aX$与$X_1 + X_2 + ... + X_a$★★★★☆⏱ 6 min

这是本知识点考察频率最高的陷阱。如果你取单个随机变量X并将其乘以2，得到 $2 X$ ，方差为 $4 V a r (X)$ 。如果你取X的两个独立副本 $X_{1}$ 和 $X_{2}$ ，二者与X同分布，它们的和 $X_{1} + X_{2}$ 的方差为 $V a r (X_{1}) + V a r (X_{2}) = 2 V a r (X)$ 。这是两种完全不同的分布，考试题目会专门考察这一区分点。

方法对比

两种情况的并排对比：

单个变量乘以2：$2X$

X的所有取值都被翻倍，因此分布的离散程度也翻倍

+ 优点: 直接对原始分布进行简单缩放

− 缺点: 变量之间完全相关，不满足独立性

2个独立副本的和：$X_1 + X_2$

从同一分布中得到的两个独立观测值相加

+ 优点: 没有协方差项，方差可以直接线性相加

− 缺点: 分布形状与缩放后的X完全不同

📐 例题

已知 $X \sim N (10, 4)$ ，求 $V a r (3 X)$ 与 $V a r (X_{1} + X_{2} + X_{3})$ 的差值，其中 $X_{1}, X_{2}, X_{3}$ 是X的独立副本。

1
$Var(3X) = 3^2 Var(X) = 9 * 4 = 36$
2
$Var(X_1 + X_2 + X_3) = Var(X) + Var(X) + Var(X) = 4 + 4 + 4 = 12$
3
差值 = 36 - 12 = 24

Exam tip:

仔细阅读题目表述：'3个独立观测值的总和'代表3个变量的和，'单个观测值的三倍'代表3X。

5. 常见陷阱

错误做法:

将 $V a r (a X)$ 错误计算为 $aV a r (X)$ 而非 $a^{2} V a r (X)$

原因:

忘记方差衡量的是平方离散程度，将变量缩放a倍会使其方差缩放 $a^{2}$ 倍

正确做法:

计算缩放后变量的方差时，务必将常数系数取平方

错误做法:

将 $V a r (X - Y)$ 错误计算为 $V a r (X) - V a r (Y)$

原因:

将方差和期望混淆，误以为负号可以直接保留

正确做法:

将负系数取平方，因此对于独立变量 $V a r (X - Y) = V a r (X) + V a r (Y)$

错误做法:

将 $2 X$ 等同于 $X_{1} + X_{2}$

原因:

混淆了单个变量的缩放与两个独立副本的求和

正确做法:

仔细审题：如果题目提到多个独立观测值，直接将它们的方差相加

错误做法:

在方差计算中包含常数偏移项

原因:

误以为给分布加上固定数值会改变其离散程度

正确做法:

计算方差时忽略所有常数项，它们只会影响期望值

错误做法:

将正态分布再生性应用于非独立变量

原因:

忘记该规则仅适用于独立正态变量

正确做法:

使用简化方差公式前，必须确认题目明确说明变量相互独立

6. 速查表

运算	期望值	方差（独立变量）	方差（非独立变量）
$a X + b$	$a E [X] + b$	$a^{2} V a r (X)$	$a^{2} V a r (X)$
$a X + bY$	$a E [X] + b E [Y]$	$a^{2} V a r (X) + b^{2} V a r (Y)$	$a^{2} V a r (X) + b^{2} V a r (Y) + 2 ab C o v (X, Y)$
$X_{1} + X_{2} + ... + X_{n}$	$\sum E [X_{i}]$	$\sum V a r (X_{i})$	$\sum V a r (X_{i}) + 2 \sum_{i < j} C o v (X_{i}, X_{j})$

7. 常见问题

计算线性组合的期望值时，是否要求变量相互独立？

不需要。期望的线性性对所有随机变量都成立，无论它们是否相关。仅当需要简化方差计算、消去协方差项时才要求变量独立。

为什么两个正态变量的和仍然服从正态分布？

正态分布在线性变换下具有封闭性，即任意多个独立正态分布随机变量的线性组合本身也服从正态分布，其参数可由各变量的期望和方差求和推导得到。

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

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深入阅读

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下一步

掌握随机变量的线性组合是学习抽样分布的关键基础，后续你将分析大量独立观测值的和与均值的行为。该知识点也直接支撑总体均值的假设检验和线性回归分析，在这些场景中你会将观测值建模为参数与误差项的线性组合。几乎所有后续的概率与统计2主题都会复用该概念，因此你必须能够准确区分缩放后的单个变量与独立副本之和，避免在考试中丢失简单分值。