# 随机变量的线性组合 > CIE A-Level 数学 · 9709 > 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u4-linear-combinations-of-random-variables/ 本模块涵盖随机变量线性组合的期望与方差规则，包括独立正态变量的相关应用，完全匹配CIE 9709考试评分标准要求。 **先修:** [单个随机变量的基础期望与方差计算](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u4-expectation-variance-single-variables/); [正态分布的性质与标准化方法](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u4-normal-distribution-intro/) ## 学习目标 - 计算两个或多个随机变量任意线性组合的期望值，无需满足独立性要求 - 计算独立和非独立随机变量线性组合的方差，正确考虑协方差项 - 应用线性组合规则求解服从正态分布变量的和与差相关问题 - 区分多个独立变量的线性组合与单个重复变量的倍数这两种不同情况 ## 真题考频 据 OwlsPrep 对官方 CIE 9709 S2 真题的聚合（2016–2025）: **随机变量的线性组合** 近 10 年出现 **64 次**——占 S2 全部真题的 **15%**（428 题中 64 题）. 最常考形式: 连续随机变量 (60), 连续 RV 的期望、方差、中位数 (59). ## 线性组合的期望线性性 **期望的线性性** — 该恒等式对*任意*一对随机变量都成立，无论它们是相关还是独立，对所有实常数a、b、c均有效。 *记法:* $E[aX + bY + c] = aE[X] + bE[Y] + c$ 该规则可以自然推广到任意多个变量。对于n个随机变量$X_1, X_2, ... X_n$，权重分别为$a_1, a_2 ... a_n$，其期望值满足$E[\sum a_i X_i] = \sum a_i E[X_i]$。该规则没有额外附加条件，是概率论中最稳健的恒等式之一。 **例题:** 已知$E[X] = 5$，$E[Y] = 3$，计算$E[4X - 2Y + 7]$的值 1. 直接应用期望的线性性，无需进行独立性校验 2. $$E[4X - 2Y +7] = 4E[X] - 2E[Y] +7$$ 3. $$= 4(5) - 2(3) +7 = 20 -6 +7 = 21$$ **概念自测** 测试你对期望线性性的理解： 1. 若$E[A] = 2$，$E[B] = 1$，以下哪个值等于$E[2A + 3B - 4]$？ - 3 - 5 - 7 - 9 *解析:* 计算过程：2*2 + 3*1 -4 = 4 +3 -4 = 3，A和B之间的相关性不会对结果产生任何影响。 > **考试提示:** CIE考试评分标准中，只要正确将数值代入期望线性性公式即可获得全部2/3分值，除非题目额外要求，否则无需写出最终计算之外的推导过程。 ## 线性组合的方差 $$Var(aX + bY) = a^2 Var(X) + b^2 Var(Y) + 2ab \text{Cov}(X,Y)$$ 如果X和Y相互独立，它们的协方差$Cov(X,Y) = 0$，因此公式可以简化为$Var(aX + bY) = a^2 Var(X) + b^2 Var(Y)$。注意方差永远不会随常数线性缩放：所有系数都要取平方，而在线性组合中添加的常数偏移量c不会对方差产生任何影响，因为它不会改变分布的离散程度。 > **常见考试陷阱** > > 对于独立变量，差的方差$Var(X-Y) = Var(X) + Var(Y)$，而不是$Var(X) - Var(Y)$。负号会被平方，因此会消失。 **例题:** 已知$Var(X) = 9$，$Var(Y) = 16$，X和Y相互独立，计算$Var(3X - 2Y + 10)$ 1. 首先忽略常数偏移量10，因为它不会影响方差 2. 将所有系数取平方，将各变量的方差乘以对应平方系数后求和 3. $$Var(3X -2Y) = 3^2 Var(X) + (-2)^2 Var(Y)$$ 4. $$= 9*9 + 4*16 = 81 + 64 = 145$$ > **考试提示:** 你必须在作答过程中明确写出'X和Y相互独立'来证明可以消去协方差项，否则考试中会被扣掉1分。 ## 独立正态变量的线性组合 **正态分布的再生性** — 任意多个独立正态分布随机变量的线性组合仍然服从正态分布。 如果$X \sim N(\mu_X, \sigma_X^2)$且$Y \sim N(\mu_Y, \sigma_Y^2)$，X和Y相互独立，那么$aX + bY + c \sim N(a\mu_X + b\mu_Y + c, a^2\sigma_X^2 + b^2\sigma_Y^2)$。该性质仅为少数常见分布所具备，在CIE Paper 6和Paper 7中考察频率很高。 **例题:** 小苹果的质量$A \sim N(120, 15^2)$克，香蕉的质量$B \sim N(150, 20^2)$克。求1个苹果和1根香蕉的总质量小于300克的概率。 1. 定义总质量$T = A + B$ 2. $$E[T] = 120 + 150 = 270$$ 3. $$Var(T) = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625, \sigma_T = 25$$ 4. 因此$T \sim N(270, 25^2)$ 5. $$P(T < 300) = \Phi\left(\frac{300 - 270}{25}\right) = \Phi(1.2) = 0.8849$$ *计算器:* allowed ## 区分$aX$与$X_1 + X_2 + ... + X_a$ 这是本知识点考察频率最高的陷阱。如果你取单个随机变量X并将其乘以2，得到$2X$，方差为$4Var(X)$。如果你取X的两个独立副本$X_1$和$X_2$，二者与X同分布，它们的和$X_1 + X_2$的方差为$Var(X_1) + Var(X_2) = 2Var(X)$。这是两种完全不同的分布，考试题目会专门考察这一区分点。 **方法对比** 两种情况的并排对比： - **单个变量乘以2：$2X$** — X的所有取值都被翻倍，因此分布的离散程度也翻倍 - 优点: 直接对原始分布进行简单缩放 - 缺点: 变量之间完全相关，不满足独立性 - **2个独立副本的和：$X_1 + X_2$** — 从同一分布中得到的两个独立观测值相加 - 优点: 没有协方差项，方差可以直接线性相加 - 缺点: 分布形状与缩放后的X完全不同 **例题:** 已知$X \sim N(10, 4)$，求$Var(3X)$与$Var(X_1 + X_2 + X_3)$的差值，其中$X_1,X_2,X_3$是X的独立副本。 1. $$Var(3X) = 3^2 Var(X) = 9 * 4 = 36$$ 2. $$Var(X_1 + X_2 + X_3) = Var(X) + Var(X) + Var(X) = 4 + 4 + 4 = 12$$ 3. 差值 = 36 - 12 = 24 > **考试提示:** 仔细阅读题目表述：'3个独立观测值的总和'代表3个变量的和，'单个观测值的三倍'代表3X。 ## 常见错误 - **错误做法:** 将$Var(aX)$错误计算为$aVar(X)$而非$a^2 Var(X)$ - 原因: 忘记方差衡量的是平方离散程度，将变量缩放a倍会使其方差缩放$a^2$倍 - 正确做法: 计算缩放后变量的方差时，务必将常数系数取平方 - **错误做法:** 将$Var(X-Y)$错误计算为$Var(X) - Var(Y)$ - 原因: 将方差和期望混淆，误以为负号可以直接保留 - 正确做法: 将负系数取平方，因此对于独立变量$Var(X-Y) = Var(X) + Var(Y)$ - **错误做法:** 将$2X$等同于$X_1 + X_2$ - 原因: 混淆了单个变量的缩放与两个独立副本的求和 - 正确做法: 仔细审题：如果题目提到多个独立观测值，直接将它们的方差相加 - **错误做法:** 在方差计算中包含常数偏移项 - 原因: 误以为给分布加上固定数值会改变其离散程度 - 正确做法: 计算方差时忽略所有常数项，它们只会影响期望值 - **错误做法:** 将正态分布再生性应用于非独立变量 - 原因: 忘记该规则仅适用于独立正态变量 - 正确做法: 使用简化方差公式前，必须确认题目明确说明变量相互独立 ## 速查表 | 运算 | 期望值 | 方差（独立变量） | 方差（非独立变量） | | --- | --- | --- | --- | | $aX + b$ | $aE[X] + b$ | $a^2 Var(X)$ | $a^2 Var(X)$ | | $aX + bY$ | $aE[X] + bE[Y]$ | $a^2 Var(X) + b^2 Var(Y)$ | $a^2 Var(X) + b^2 Var(Y) + 2ab Cov(X,Y)$ | | $X_1 + X_2 + ... + X_n$ | $\sum E[X_i]$ | $\sum Var(X_i)$ | $\sum Var(X_i) + 2\sum_{i