假设检验

CIE A-Level 数学· 第4单元：概率与统计1· 15 分钟阅读

1. 核心术语与假设建立★★☆☆☆⏱ 4 min

📘 定义

原假设

$H_{0}$

表述不存在效应或与假设总体值无差异的命题，我们默认 $H_{0}$ 为真，除非找到足够证据拒绝它。

例:

检验一枚硬币是否有偏时， $H_{0} : p = 0.5$ ，其中 $p$ 是得到正面的真实概率。

📘 定义

备择假设

$H_{1}$

如果拒绝 $H_{0}$ 我们接受的替代命题，可以是单侧的（ $p > p_{0}$ 或 $p < p_{0}$ ）或双侧的（ $p \neq = p_{0}$ ）。

例:

检验硬币是否偏向正面时， $H_{1} : p > 0.5$ 。

任何假设检验的第一步都是定义你要检验的总体参数，然后用该参数写出 $H_{0}$ 和 $H_{1}$ 。假设永远是关于总体参数的，绝不是关于样本统计量的。

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检验你的理解：

一家面包店声称他们10%的糕点烤得不够熟。检查员认为真实比例更高。正确的 $H_{1}$ 是什么？
- $H_{1} : p > 0.1$
- $H_{1} : \overset{p}{^} > 0.1$
- $H_{1} : p < 0.1$

2. 总体比例的假设检验★★★☆☆⏱ 5 min

对于大样本，我们用正态分布近似成功次数的二项分布，然后计算p值并与显著性水平比较。所有检验都遵循标准的5步流程：

1. 定义参数并写出假设
1. 说明显著性水平
1. 说明原假设 $H_{0}$ 下检验统计量的分布
1. 计算p值（或将检验统计量与临界值比较）
1. 结合问题背景写出结论

📐 例题

一台机器生产零件，通常10%的零件是次品。保养后，抽样100个零件发现14个次品。在5%的显著性水平下检验次品率是否上升。

1
1. 定义参数和假设：令 $p =$ 保养后次品的真实比例。
2
$H_0: p = 0.10 \newline H_1: p > 0.10$
3
1. 说明显著性水平： $α = 0.05$
4
1. 在 $H_{0}$ 下，次品数量 $X \sim B (100, 0.1)$ 。用正态分布近似，均值 = $n p = 10$ ，方差 = $n p (1 - p) = 9$ ，因此 $X \sim N (10, 9)$ 。
5
1. 计算 $X \geq 14$ 的p值，应用连续性修正： $P (X \geq 14) = P (X > 13.5)$
6
$z = \frac{13.5 - 10}{3} = 1.167, \quad p\text{-value} = 1 - \Phi(1.167) = 0.1216$
7
1. 比较： $0.1216 > 0.05$ ，因此我们不拒绝 $H_{0}$ 。
8
结论：在5%的显著性水平下，没有足够证据得出次品率上升的结论。

3. 总体均值的假设检验★★★☆☆⏱ 5 min

当总体服从正态分布且方差已知时，我们对总体均值 $μ$ 使用z检验。当 $H_{0}$ 为真时，检验统计量服从标准正态分布。

📘 定义

均值的z检验统计量

$z$

对于样本量 $n$ ，样本均值 $\overset{x}{ˉ}$ ，假设均值 $μ_{0}$ 和已知总体标准差 $σ$ ： $z = \frac{x ˉ - μ _{0}}{σ / n}$ 。它衡量了样本均值与假设值之间相差多少个标准误。

例:

样本量25，均值12， $σ = 2$ ， $μ_{0} = 11$ 得到 $z = 2.5$ 。

📐 例题

一台装瓶机灌装瓶子，已知总体标准差为5ml。平均灌装量应为500ml。抽样10瓶得到平均灌装量为497ml。在1%的显著性水平下检验平均灌装量是否不等于500ml。

1
1. 定义参数和假设：令 $μ =$ 真实平均灌装量。
2
$H_0: \mu = 500 \newline H_1: \mu \neq 500$
3
1. 这是双侧检验，总显著性水平 $α = 0.01$ 。
4
1. 计算z检验统计量：
5
$z = \frac{497 - 500}{5/\sqrt{10}} \approx -1.898$
6
1. 计算双侧p值：
7
$p\text{-value} = 2 \times P(Z < -1.898) = 2 \times 0.0287 = 0.0574$
8
1. 比较： $0.0574 > 0.01$ ，因此不拒绝 $H_{0}$ 。
9
结论：在1%的显著性水平下，没有足够证据证明平均灌装量不等于500ml。

4. I类错误和II类错误★★★★☆⏱ 4 min

📘 定义

I类错误

当 $H_{0}$ 实际为真时拒绝 $H_{0}$ 。I类错误的概率永远等于检验的显著性水平 $α$ 。

例:

当硬币实际均匀时，得出硬币有偏的结论。

📘 定义

II类错误

当 $H_{0}$ 实际为假时，未能拒绝 $H_{0}$ 。II类错误的概率取决于总体参数的真实值。

例:

当硬币实际有偏时，得出硬币均匀的结论。

📐 例题

对于假设检验 $H_{0} : p = 0.1$ ， $H_{1} : p > 0.1$ ，在5%显著性水平下进行，I类错误的概率是多少？

1
根据定义，I类错误的概率是当 $H_{0}$ 为真时我们拒绝 $H_{0}$ 的概率，等于检验的显著性水平：
2
$P(\text{Type I Error}) = 0.05$

5. 常见陷阱

错误做法:

将假设写为样本统计量的形式（例如 $H_{0} : \overset{x}{ˉ} = 500$ 而非 $H_{0} : μ = 500$ ）

原因:

假设永远是关于未知总体参数的命题，不是关于已观测样本值的

正确做法:

永远用总体参数写出假设（比例用 $p$ ，均值用 $μ$ ）

错误做法:

比例检验中用正态近似二项分布时忘记连续性修正

原因:

二项分布是离散的，正态分布是连续的，不做修正得到的p值是错误的

正确做法:

在比例检验中处理成功计数时永远应用连续性修正

错误做法:

双侧检验不对p值加倍

原因:

双侧检验需要考虑两个方向的差异，因此单侧p值只是正确值的一半

正确做法:

先计算单侧p值，再加倍得到双侧检验的p值，或直接使用双侧临界值

错误做法:

当p值 > 显著性水平时说“我们接受 $H_{0}$ ”

原因:

我们永远无法证明 $H_{0}$ 为真，我们只是找不到足够证据拒绝它

正确做法:

永远表述为“我们不拒绝 $H_{0}$ ”或“没有足够证据拒绝 $H_{0}$ ”

错误做法:

考试中混淆I类错误和II类错误

原因:

压力下很容易弄混两种错误的顺序

正确做法:

使用记忆口诀第一错在拒绝，第二错在停留来区分两种错误

6. 速查表

术语	核心要点/公式	注释
$H_{0}$	原假设：无效应	除非有足够证据证明否则默认成立
$H_{1}$	备择假设：存在效应/差异	单侧 = 指定方向；双侧 = 任何差异
比例检验统计量	$z = \frac{p ^ - p _{0}}{\frac{p _{0} ( 1 - p _{0} )}{n}}$	永远对计数 $X$ 应用连续性修正
均值检验统计量（已知 $σ$ ）	$z = \frac{x ˉ - μ _{0}}{σ / n}$	要求总体服从正态分布
I类错误概率	$= α$ (显著性水平)	拒绝真原假设
II类错误概率	$P (not reject H_{0} ∣ H_{0} false)$	取决于参数的真实值

7. 常见问题

我需要在答案中定义总体参数吗？

是的，CIE考试总会给明确定义总体参数的步骤分配分数（例如 令 $p$ = 有缺陷零件的真实比例），因此永远不要跳过这个步骤。

单侧检验和双侧检验的区别是什么？

单侧检验仅检验特定方向的差异（仅检验增加或仅检验减少），而双侧检验检验与原假设有无任何差异，不区分方向。对于双侧检验，你必须将单侧p值乘以2。

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

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比例检验，I类错误计算
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总体均值的双侧检验
2021 · 4
假设检验错误的解释

下一步

假设检验是CIE A-Level数学中所有统计推断的基础，在第4卷中占比很高，通常以一道8-10分的大题形式出现。掌握结构化流程和常见考试规范（比如定义参数、正确的结论表述）就能在这些规律很强的题目中拿到满分。本主题直接引出更高级的统计推断主题，包括分类数据的卡方检验、方差未知时均值的t检验，以及相关和回归系数的假设检验，这些都是完整A-Level数学和进阶数学的核心主题。