数据表示

CIE A-Level 数学· 第4单元：概率与统计1· 15 分钟阅读

1. 频率分布★☆☆☆☆⏱ 5 min

频率分布将原始数据整理为不重叠的组，展示每个组内有多少个观测值（频率）。对于未分组离散或分类数据，每个数值/类别就是一个独立的组。对于分组连续数据，我们使用组界消除相邻组之间的间隙。

📘 定义

组界

分组数据中每个组的实际上下限，经过调整以避免组间间隙

例:

对于整数数据，标注为 $10 - 19$ 的组的组界为 $9.5$ 和 $19.5$

📐 例题

以下是20名学生的身高（单位：cm）：152, 156, 161, 162, 164, 165, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 175, 176, 178, 180, 181, 183, 185。构建一个分为4个等宽组的分组频率分布。

1
计算数据的极差并得到组距：
2
$185 - 152 = 33, \quad \text{round up to width } 9$
3
确定组及其组界，然后统计频率：
4
标注组限组界频率
150-158 149.5-158.5 2
159-167 158.5-167.5 5
168-176 167.5-176.5 8
177-185 176.5-185.5 5

标注组限	组界	频率
150-158	149.5-158.5	2
159-167	158.5-167.5	5
168-176	167.5-176.5	8
177-185	176.5-185.5	5

Exam tip:

即使题目没有要求，也要写下组界，避免后续直方图计算出错。

2. 直方图★★☆☆☆⏱ 6 min

与条形图不同，直方图中每个条形的面积等于频率，而非高度。这对于不等距分组至关重要。每个条形的高度（频率密度）使用以下标准公式计算：

\text{Frequency density} = \frac{\text{Frequency}}{\text{Class width}}

📘 定义

频率密度

直方图条形的高度，经过缩放后使得条形面积等于组频率

📐 例题

某分组频率分布中， $20 - 30$ 组的频率为12， $31 - 50$ 组的频率为28。计算直方图中每个条形的高度。

1
计算每个组的组界和组距：
2
$20-30: \text{ width } = 30.5 - 19.5 = 11 \\ 31-50: \text{ width } = 50.5 - 30.5 = 20$
3
计算每个条形的频率密度（高度）：
4
$\text{Height}_1 = \frac{12}{11} \approx 1.09, \quad \text{Height}_2 = \frac{28}{20} = 1.4$
5
验证面积： $1.09 \times 11 = 12$ 和 $1.4 \times 20 = 28$ ，与组频率一致。

Exam tip:

CIE的直方图题目几乎都使用不等距分组，因此计算频率密度前一定要先检查组距。

3. 茎叶图★☆☆☆☆⏱ 4 min

茎叶图是一种简单的可视化表示，保留所有原始数据值，因此可以直接从图中得到中位数和四分位数。背靠背茎叶图用于比较两个分布。

📐 例题

为以下满分50分的考试分数绘制有序茎叶图：12, 45, 23, 17, 31, 25, 29, 35, 41, 19, 22, 32。

1
以十位数字作为茎，因此茎为1, 2, 3, 4。将每个茎对应的个位数字（叶）按升序排列：
2
茎叶
1 2 7 9
2 2 3 5 9
3 1 2 5
4 1 5
3
添加图例说明图表：图例： $1∣2 = 12$ 分。中位数可直接通过第6和第7个数值的平均得到： $\frac{25 + 29}{2} = 27$ 。

茎	叶
1	2 7 9
2	2 3 5 9
3	1 2 5
4	1 5

Exam tip:

如果忘记给茎叶图添加图例，你一定会丢失一个准确度分。

4. 箱线图★★☆☆☆⏱ 5 min

箱线图展示数据集的五数概括：最小值、下四分位数（ $Q_{1}$ ）、中位数（ $Q_{2}$ ）、上四分位数（ $Q_{3}$ ）、最大值。异常值定义为小于 $Q_{1} - 1.5 \times I QR$ 或大于 $Q_{3} + 1.5 \times I QR$ 的值，其中 $I QR = Q_{3} - Q_{1}$ 。异常值单独用叉号绘制，须延伸到最后一个非异常值。

📐 例题

某数据集的 $Q_{1} = 20$ ，中位数 $= 28$ ， $Q_{3} = 36$ ，最小值 $= 12$ ，最大值 $= 52$ 。绘制箱线图并识别异常值。

1
计算四分位距：
2
$IQR = Q_3 - Q_1 = 36 - 20 = 16$
3
计算异常值边界：
4
$\text{Lower} = 20 - (1.5 \times 16) = -4 \\ \text{Upper} = 36 + (1.5 \times 16) = 60$
5
所有数值都在 $- 4$ 和 $60$ 之间，因此没有异常值。从20到36绘制箱体，在28处绘制中线，须延伸到12和52。

Exam tip:

比较两个箱线图时，一定要给出两个评论：一个关于集中趋势（中位数），一个关于离散程度（四分位距/极差）。

5. 常见陷阱

错误做法:

对于不等距分组，将直方图条形高度视为等于频率

原因:

这会导致条形面积错误，因此从直方图得到的所有估计都错误

正确做法:

无论组距是否相等，都要将高度计算为频率密度 = 频率 / 组距

错误做法:

忘记给茎叶图添加图例

原因:

CIE要求图例来确认数据表示正确，因此你会丢失一个准确度分

正确做法:

绘制完成后总是添加一个简单的图例，例如 $2∣3 = 23$

错误做法:

使用标注的组限而非组界计算组距

原因:

对于10-19的组，19和10的差是9，但实际组距是10，会导致频率密度错误

正确做法:

始终用组上界减去组下界计算组距

错误做法:

将箱线图的须延伸到异常值

原因:

这会错误表示分布，说明你对异常值的表示方法理解错误

正确做法:

异常值单独用叉号绘制，须终止于最后一个非异常值

错误做法:

比较两个箱线图时只评论一个特征

原因:

大多数比较题占两分，每个特征占一分

正确做法:

始终同时评论中位数（中心）的差异和离散程度（四分位距/极差）的差异

6. 速查表

图表类型	核心规则	检查要点
分组频率分布	始终先计算组界	组不重叠
直方图	面积 = 频率	高度 = 频率 ÷ 组距
茎叶图	保留所有原始数据值	必须包含清晰图例
箱线图	五数概括 + 异常值	异常值: < Q1 - 1.5×IQR 或 > Q3 + 1.5×IQR
比较箱线图	两分需要两个评论	中位数差异，2. 离散程度/IQR差异

7. 常见问题

条形图和直方图有什么区别？

条形图用于分类/离散数据，条形之间有间隙，高度等于频率。直方图用于连续分组数据，没有间隙，且面积等于频率。

如何计算组距？

组距 = 上组界 $-$ 下组界。不要使用标注的组限之差，对于整数分组数据，这样会得到错误的结果。

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2022 · 12
根据分组数据绘制直方图
2023 · 13
比较两个箱线图
2021 · 11
构建有序茎叶图

深入阅读

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下一步

数据表示是CIE A-Level所有后续统计学主题的基础，因为在计算概率、分析关系或得出有效统计结论之前，你需要先整理和解读原始数据。无论是独立题目还是需要你结合离散程度或相关性度量解读结果的综合题目，都要求掌握直方图、茎叶图和箱线图的绘制规则。本子主题在每份试卷中几乎都占5-10分，因此在这里保持稳定的准确度可以直接转化为更高的总分。