# 数据表示

> CIE A-Level 数学 · 9709
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u4-data-representation/

本子主题涵盖整理、可视化和汇总原始统计数据的核心方法：频率分布、直方图、茎叶图、累积频率图和箱线图，以及集中趋势的度量（均值、中位数、众数）和离散程度的度量（极差、四分位距和标准差）。你将学习如何构建这些表示、计算各汇总度量，并在CIE考试题目中解读它们。

**先修:** 将一组数值数据从小到大排序; 从表格中读取频率和总计，包括 Σ（求和）记号

## 学习目标

- 构建并解读分组和未分组数据的频率分布
- 绘制并解读直方图、茎叶图和箱线图
- 从表示后的数据中计算关键值并识别异常值
- 使用标准统计图表比较分布
- 计算均值、中位数、众数和标准差，包括从分组数据和编码总计中计算
- 绘制并读取累积频率图，以估计中位数、四分位数和百分位数

## 真题考频

据 OwlsPrep 对官方 CIE 9709 S1 真题的聚合（2016–2025）: **数据表示** 近 10 年出现 **95 次**——占 S1 全部真题的 **21%**（438 题中 95 题）.

最常考形式: 平均数 (46), 四分位数与四分位距 (40), 方差和标准差 (34), 累积频率 (25), 直方图 (18).

## 频率分布

频率分布将原始数据整理为不重叠的组，展示每个组内有多少个观测值（频率）。对于未分组离散或分类数据，每个数值/类别就是一个独立的组。对于分组连续数据，我们使用组界消除相邻组之间的间隙。

**组界** — 分组数据中每个组的实际上下限，经过调整以避免组间间隙

*例:* 对于整数数据，标注为$10-19$的组的组界为$9.5$和$19.5$

**例题:** 以下是20名学生的身高（单位：cm）：152, 156, 161, 162, 164, 165, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 175, 176, 178, 180, 181, 183, 185。构建一个分为4个等宽组的分组频率分布。

1. 计算数据的极差并得到组距：
2. $$185 - 152 = 33, \quad \text{向上取整为组距 } 9$$
3. 确定组及其组界，然后统计频率：
4. | 标注组限 | 组界 | 频率 |
| --- | --- | --- |
| 150-158 | 149.5-158.5 | 2 |
| 159-167 | 158.5-167.5 | 5 |
| 168-176 | 167.5-176.5 | 8 |
| 177-185 | 176.5-185.5 | 5 |

> **考试提示:** 即使题目没有要求，也要写下组界，避免后续直方图计算出错。

## 直方图

与条形图不同，直方图中每个条形的面积等于频率，而非高度。这对于不等距分组至关重要。每个条形的高度（频率密度）使用以下标准公式计算：

$$\text{频率密度} = \frac{\text{频率}}{\text{组距}}$$

**频率密度** — 直方图条形的高度，经过缩放后使得条形面积等于组频率

**例题:** 某分组频率分布中，$20-30$组的频率为12，$31-50$组的频率为28。计算直方图中每个条形的高度。

1. 计算每个组的组界和组距：
2. $$20-30: \text{ 组距 } = 30.5 - 19.5 = 11 \\ 31-50: \text{ 组距 } = 50.5 - 30.5 = 20$$
3. 计算每个条形的频率密度（高度）：
4. $$\text{高度}_1 = \frac{12}{11} \approx 1.09, \quad \text{高度}_2 = \frac{28}{20} = 1.4$$
5. 验证面积：$1.09 \times 11 = 12$ 和 $1.4 \times 20 = 28$，与组频率一致。

> **考试提示:** CIE的直方图题目几乎都使用不等距分组，因此计算频率密度前一定要先检查组距。

## 茎叶图

茎叶图是一种简单的可视化表示，保留所有原始数据值，因此可以直接从图中得到中位数和四分位数。背靠背茎叶图用于比较两个分布。

**例题:** 为以下满分50分的考试分数绘制有序茎叶图：12, 45, 23, 17, 31, 25, 29, 35, 41, 19, 22, 32。

1. 以十位数字作为茎，因此茎为1, 2, 3, 4。将每个茎对应的个位数字（叶）按升序排列：
2. | 茎 | 叶 |
| --- | --- |
| 1 | 2 7 9 |
| 2 | 2 3 5 9 |
| 3 | 1 2 5 |
| 4 | 1 5 |
3. 添加图例说明图表：图例：$1 | 2 = 12$ 分。中位数可直接通过第6和第7个数值的平均得到：$\frac{25 + 29}{2} = 27$。

> **考试提示:** 在CIE评分中，缺少图例通常会被扣一个准确度分，因此每次画完茎叶图都要加上清晰的图例。

## 箱线图

箱线图展示数据集的五数概括：最小值、下四分位数（$Q_1$）、中位数（$Q_2$）、上四分位数（$Q_3$）、最大值。在CIE约定中，须一直延伸到最小值和最大值，因此两条须的总跨度展示了极差。有些题目会给出规则：某个值若小于 $Q_1 - 1.5 \times IQR$ 或大于 $Q_3 + 1.5 \times IQR$（其中 $IQR = Q_3 - Q_1$）则为异常值；这只是一项单独的计算，仅在题目要求识别异常值时使用，并不改变标准箱线图的画法。

**例题:** 某数据集的$Q_1 = 20$，中位数$= 28$，$Q_3 = 36$，最小值$= 12$，最大值$= 52$。绘制箱线图并识别异常值。

1. 计算四分位距：
2. $$IQR = Q_3 - Q_1 = 36 - 20 = 16$$
3. 计算异常值边界：
4. $$\text{下界} = 20 - (1.5 \times 16) = -4 \\ \text{上界} = 36 + (1.5 \times 16) = 60$$
5. 所有数值都在$-4$和$60$之间，因此没有异常值。从20到36绘制箱体，在28处绘制中线，须延伸到12和52。

> **考试提示:** 比较两个箱线图时，一定要给出两个评论：一个关于集中趋势（中位数），一个关于离散程度（四分位距/极差）。

## 累积频率图

累积频率图展示频率的累计总和。每个累积频率对应绘制在其所在组的上组界处，然后用光滑曲线连接各点。该图用于估计中位数、四分位数和百分位数，以及求出大于或小于某个值（或介于两个值之间）的数据个数或比例。

**累积频率** — 直到并包括某组上组界为止的所有频率的累计总和。

*例:* 若组 $0\text{--}9$、$10\text{--}19$、$20\text{--}29$ 的频率为 $4, 11, 7$，则在组界 $9.5, 19.5, 29.5$ 处的累积频率为 $4, 15, 22$。

**例题:** 下表展示80个人完成一项任务所用的时间（t 分钟）。

| 时间（分钟） | 频率 |
| --- | --- |
| $0 \leq t < 10$ | 6 |
| $10 \leq t < 20$ | 14 |
| $20 \leq t < 30$ | 24 |
| $30 \leq t < 40$ | 20 |
| $40 \leq t < 50$ | 16 |

估计中位数和四分位距，以及用时少于25分钟的人所占比例。

1. 在上组界 $10, 20, 30, 40, 50$ 处形成累积频率：
2. | 时间 $<$ | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 累积频率 | 6 | 20 | 44 | 64 | 80 |
3. 绘制点 $(10,6), (20,20), (30,44), (40,64), (50,80)$ 并用光滑曲线连接。
4. 在累积频率 $\tfrac{n}{2} = 40$ 处读取中位数：
5. $$\text{中位数} \approx 20 + \frac{40 - 20}{44 - 20}\times 10 \approx 28.3 \text{ 分钟}$$
6. 四分位数在 $\tfrac{n}{4}=20$ 和 $\tfrac{3n}{4}=60$ 处读取，得到 $Q_1 \approx 20$ 分钟、$Q_3 \approx 38$ 分钟，因此 $\text{IQR} \approx 18$ 分钟。
7. 求少于25分钟的比例时，从 $t=25$ 向上读取：累积频率约为 $32$，因此约 $\frac{32}{80} = 40\%$ 的人用时少于25分钟。

> **考试提示:** 累积频率一定要对应上组界绘制，绝不用组中值；从曲线估计时在 $\tfrac{n}{2}$（而非 $\tfrac{n+1}{2}$）处读取中位数。

## 集中趋势的度量

三种平均数，即集中趋势的度量，是均值、中位数和众数。对于频率分布，均值为 $\bar{x} = \frac{\Sigma f x}{\Sigma f}$；对于分组数据，用组中值作为 $x$。中位数是数据按顺序排列后的中间值，众数（或众数组）是频率最高的值（或组）。

$$\bar{x} = \frac{\Sigma x}{n} \quad \text{或} \quad \bar{x} = \frac{\Sigma f x}{\Sigma f}$$

**例题:** 某队在24场比赛中的进球数汇总如下。求均值、中位数和众数。

| 进球数 $x$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 频率 $f$ | 5 | 8 | 6 | 3 | 2 |

1. 均值：形成 $\Sigma f x$ 并除以 $\Sigma f = 24$：
2. $$\bar{x} = \frac{(0)(5)+(1)(8)+(2)(6)+(3)(3)+(4)(2)}{24} = \frac{37}{24} \approx 1.54$$
3. 中位数：$n=24$，中位数是第12和第13个数值的平均。累积频率为 $5, 13, \dots$，因此第12和第13个数值都是 $1$，中位数为 $1$。
4. 众数：最高频率为 $8$，在 $x = 1$ 处，因此众数为 $1$。（对于分组连续数据，则改为说明众数组。）

> **考试提示:** 对于分组数据，均值只是一个估计值，因为你用组中值代替了每个组；除非另有说明，答案保留3位有效数字。

## 离散程度的度量：极差、四分位距与标准差

离散程度（变异性）由极差（$\text{最大值} - \text{最小值}$）、四分位距（$\text{IQR} = Q_3 - Q_1$）以及本单元考查最重的度量——标准差来衡量。标准差是各数值到均值距离的均方根；其平方是方差。

$$\text{sd} = \sqrt{\frac{\Sigma x^2}{n} - \bar{x}^2} \quad \text{或} \quad \text{sd} = \sqrt{\frac{\Sigma f x^2}{\Sigma f} - \bar{x}^2}$$

**标准差（S1 约定）** — 一种离散程度度量，除以 $n$（或 $\Sigma f$），绝不除以 $n-1$。$n-1$（无偏估计）版本不在本单元使用。

*例:* 上面两个公式都在 MF19 公式表中给出；你只需代入总计 $\Sigma x$ 和 $\Sigma x^2$。

**例题:** 一组10个数值满足 $\Sigma x = 250$ 且 $\Sigma x^2 = 6850$。求均值和标准差。

1. 均值：
2. $$\bar{x} = \frac{\Sigma x}{n} = \frac{250}{10} = 25$$
3. 标准差（除以 $n=10$，而非 $9$）：
4. $$\text{sd} = \sqrt{\frac{6850}{10} - 25^2} = \sqrt{685 - 625} = \sqrt{60} \approx 7.75$$

编码使大数字更易处理：减去一个常数 $a$ 并使用总计 $\Sigma(x-a)$ 和 $\Sigma(x-a)^2$，均值平移 $a$ 但标准差不变，因为 $\bar{x} = a + \frac{\Sigma(x-a)}{n}$，且 $\text{sd} = \sqrt{\frac{\Sigma(x-a)^2}{n} - \left(\frac{\Sigma(x-a)}{n}\right)^2}$。

**例题:** 对于五个数值 $204, 207, 201, 208, 210$，使用编码 $y = x - 200$ 求均值和标准差。

1. 编码值 $y = x - 200$ 为 $4, 7, 1, 8, 10$，因此 $\Sigma y = 30$，$\Sigma y^2 = 230$，$n = 5$。
2. $$\bar{x} = 200 + \frac{30}{5} = 206$$
3. $$\text{sd} = \sqrt{\frac{230}{5} - \left(\frac{30}{5}\right)^2} = \sqrt{46 - 36} = \sqrt{10} \approx 3.16$$
4. 要合并两个数据集，将它们的总计相加：$n = n_1 + n_2$、$\Sigma x = \Sigma x_1 + \Sigma x_2$、$\Sigma x^2 = \Sigma x_1^2 + \Sigma x_2^2$，然后使用相同的公式。

> **考试提示:** 均值和标准差公式在 MF19 中给出，因此分数来自干净的代入：写出 $\Sigma x$ 和 $\Sigma x^2$，保持完整精度，并且始终除以 $n$（或 $\Sigma f$），绝不除以 $n-1$。

## 常见错误

- **错误做法:** 对于不等距分组，将直方图条形高度视为等于频率
  - 原因: 这会导致条形面积错误，因此从直方图得到的所有估计都错误
  - 正确做法: 无论组距是否相等，都要将高度计算为频率密度 = 频率 / 组距
- **错误做法:** 忘记给茎叶图添加图例
  - 原因: CIE评分要求用图例确认数值代表的含义，因此缺少图例通常会被扣一个准确度分
  - 正确做法: 绘制完成后总是添加一个简单的图例，例如 $2 | 3 = 23$
- **错误做法:** 使用标注的组限而非组界计算组距
  - 原因: 对于10-19的组，19和10的差是9，但实际组距是10，会导致频率密度错误
  - 正确做法: 始终用组上界减去组下界计算组距
- **错误做法:** 在最小值或最大值之前就停止箱线图的须，并将异常值单独标为叉号
  - 原因: 那是其他某些考试局使用的改良箱线图；在CIE约定中，须必须延伸到最小和最大数据值
  - 正确做法: 将须画到最小值和最大值，使其展示极差；仅当题目明确要求时才单独识别异常值
- **错误做法:** 比较两个箱线图时只评论一个特征
  - 原因: 大多数比较题占两分，每个特征占一分
  - 正确做法: 始终同时评论中位数（中心）的差异和离散程度（四分位距/极差）的差异

## 速查表

| 图表类型 | 核心规则 | 检查要点 |
| --- | --- | --- |
| 分组频率分布 | 始终先计算组界 | 组不重叠 |
| 直方图 | 面积 = 频率 | 高度 = 频率 ÷ 组距 |
| 茎叶图 | 保留所有原始数据值 | 必须包含清晰图例 |
| 箱线图 | 五数概括；须画到最小值和最大值 | 须展示极差；仅在要求时才标记异常值 |
| 累积频率图 | 在上组界处绘制累积频率 | 中位数在 n/2、四分位数在 n/4 和 3n/4 |
| 均值/中位数/众数 | 均值 = Σfx ÷ Σf | 分组数据用组中值 |
| 标准差 | sd = √(Σx² ÷ n − 均值²) | 除以 n（或 Σf），绝不除以 n − 1 |
| 比较数据集 | 两个评论：一个位置，一个离散 | 例如 中位数/均值 + IQR/标准差，结合情境 |

## 下一步

数据表示是CIE A-Level所有后续统计学主题的基础，因为在计算概率、分析关系或得出有效统计结论之前，你需要先整理和解读原始数据。无论是独立题目，还是需要你结合集中趋势和离散程度度量解读结果、或引出概率与正态分布的综合题目，都要求掌握直方图、茎叶图、累积频率图和箱线图的绘制规则，以及各汇总度量（均值、中位数、众数和标准差）。本子主题在每份试卷中几乎都占5-10分，因此在这里保持稳定的准确度可以直接转化为更高的总分。

- [基础概率概念](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u4-probability/)
- [排列与组合](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u4-permutations-and-combinations/)
- [离散随机变量](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u4-discrete-random-variables/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u4-data-representation/